T. II

calion. 11 a dû exlslci-, sous le lili'c inJujuc, un Oiivraj^c de Gt'onn'lrie qu'Eudème a eu entre les mains et duquel il a tiré les rcnseijrnemenls relatifs aux travaux de rKcoIe de Pvlliagore.

2. Examinons d'un peu plus près cette léyende et voyons si nous pouvons en tirer quelque autre conclusion.

Il convient tout dabord de remarquer que le même passage se retrouve dans le Livre de Jamblicpie Ilspl Tyjî /.oivrjç aa'Jr,;7.'aTix7Î<; ('), avec une phrase intercalée avant la dernière :

« Les progrès des Mathématiques furent d'ailleurs dus ensuite surtout aux publications de deux hommes qui poussèrent plus avant, Théodore de Cyrcne et liippocrate de Chios. »

Cette intercalalion, dans cette seconde rédaction, n'est qu'une glose qui rompt maladroitement le bl du récit. Mais cette glose, Jamblique l'emprunte évidemment à la tradition d'Eudème, et elle nous témoigne que le compilateur du lu*^ siècle considérait l"lcTop(a •rrpoç nuOayôpo'j comme antérieure aux travaux d'Hippocrate. Il n'v a pas à douter que cette opinion ne fût aussi celle d'Eudème.

Il y a lieu, d'autre part, à examiner comment arrive, dans les deux passages de Jamblique, le récit relatif à la première publication de la Géométrie. Notre auteur vient d'exposer la différence des deux sectes qui reconnaissaient Pytbagore comme Maître, les Acousmatiqaes d'un côté, les Mathématiciens de l'autre; ces derniers prétendaient garder seuls la véritable tradition; d'après eux, l'autre secte aurait, en réalité, été fondée par Hippasos, lequel aurait seulement pris comme point de départ l'enseignement exotérique de Pytbagore. Cet Hippasos avait cependant, quant à lui, été initié aux doctrines réservées ; mais, ayant divulgué la construction du dodécaèdre inscrit dans la sphère, il aurait péri en mer, en punition de son impiété, pour avoir voulu s'attribuer la gloire d'une invention qui appartenait à Celui-là; « car c'est ainsi qu'ils désignent Pytbagore au lieu de prononcer son nom ». Suit le passage traduit plus haut, où l'on doit donc voir une légende propre à la secte des Mathématiciens.

Que cette légende soit inadmissible comme donnée première,

{') ViLLnisoN, ^/?ccf/o/a grœca, II, p. siH.

pour ce ([ui regard*^ le secret observé dès Toriglne sur les découvertes géométriques du Maître, il est à peine utile d'insister sur ce point. La Tradilioii touchant Pythagon; n'aurait pas trouvé grand débit, si, jusque-là, la Science eût été comjilèlement ignorée; cependant la légende est ancienne, et elle doit avoir un fond de vérité; en tout cas, on ne peut nier que, dès cette époque, la Géométrie ne fût en état de faire vivre ses adeptes; on ne peut guère douter qu'Hippocrate de Cbios et Théodore de Cvrène n'aient tiré de l'argent de leur enseignement; c'est l'âge des sophistes, et les géomètres imitent les autres professeurs. La Science est déjà en honneur et la publication des découvertes de Pv thagore est un travail lucratif; c'est le point qui mérite attention.

La légende concède au reste que, dès longtemps avant, des révélations partielles avaient eu lieu; tantôt il s'agit dTlippasos et de la construction du dodécaèdre régulier, comme nous l'avons vu ; tantôt (Jambl., De vita pythag., 247) d'un affilié dont on tait le nom, et qui aurait enseigné aux profanes l'existence des quantités incommensurables; les Pythagoriciens l'auraient exclu de leur société et auraient, de son vivant, élevé son tombeau comme s'il était déjà mort; plus tard, les dieux l'auraient, lui aussi, fait périr dans un naufrage (')•

Si cependant on doit ajouter foi au récit d'Apollonius (Jambl., 264-^64) sur les troubles politiques où succomba l'Institut pylhagorique, l'Ecole aurait eu, contre Hippasos, des griefs certainement plus graves que les révélations qu'elle lui reprochait. D'après ce récit, dont les circonstances ne présentent rien d'improbable, ce qu'on ne peut guère dire d'aucun autre, les discordes auraient, à l'origine, moins présenté le caractère d'une révolte populaire contre l'autorité de l'aristocratie pythagorisante que d'une scission entre les membres de l'Ecole, dont les uns favorisent la démocratie, dont les autres maintiennent les principes conservateurs. Pythagore sest retiré de Crotone à Métaponte, sans doute aux premiers svmptômes où son autorité s'est trouvée compromise;

(') Mais il y a d'autant moins de raisons de le distinguer d'Hippasos que, dans la Géométrie des Éléments, la théorie des incommensurables est intimement liée à celle des polyèdres réguliers, et que son objet semble être avant tout la définition des incommensurables que l'on rencontre dans la construction de ces polyèdres. On doit remarquer aussi que les points de doctrine en question sont de ceux que Pythagore n'a pas dû dépasser.

— <Sl —

un cIl's principaux chefs du parli arislocralifpic est ce Démocùdc dont Hérodote a raconté l'histoire, ce médecin fait prisonnier par les Perses, qui gagne la faveur de Darius, parvient à s'échapper et épouse la fille de INIilon de Crotone. Mais, dans le parti populaire, se distinguent, avant même les démagogues Cylon et Ninon, des disciples du Maître, llippasos en première ligne, et aussi un Théagès dont Slobée nous a conservé des fragments.

3. Pouvons-nous, d'après ces données, émettre quelques conjectures plausibles? Une grave difficulté subsiste, concernant la légende relative au secret imposé, dit-on, par Pythagore, pour les objets de son enseignement ésotérique. Quelle part de vérité peut contenir celte légende?

A priori, on devrait croire que si la prescription du secret a été effective, elle devait s'appliquer, non pas aux vérités géométriques ('), mais bien aux dogmes philosophiques. Tout au contraire, nous voyons ces dogmes, dans ce qu'ils ont de plus singulier, connus de très bonne heure (Xénophane, Heraclite, etc.), et c'est la révélation de découvertes mathématiques que la légende présente expressément comme l'impie violation des mvstères réservés aux seuls initiés. Il nous faut donc bien reconnaître que les dogmes philosophiques de Pythagore, la métempsyeose en particulier, étaient exotériques et que son enseignement réservé était essentiellement mathématique, sauf peut-être une partie mystique sur le caractère de laquelle nous ne serons probablement jamais bien renseignés.

Cette conclusion peut, ce me semble, recevoir une explication

(') Une jolie légende (Jamblique, 2i-25) nous montre Pythagore, au moins à Samos, jouant un rôle qui n'est guère celui d'un homme jaloux de sa science, cherchant au contraire à la répandre parmi ses concitoyens. Il prend un jeune homme qui gagne sa vie comme manœuvre, mais dont il reconnaît l'heureux naturel, et lui enseigne l'Arithmétique et la Géométrie en le payant trois oboles (le prix de la journée) par théorème qu'il apprend. Lorsque son élève est assez avancé, il feint d'être tombé dans la misère, et le jeune homme lui offre à son tour de payer trois oboles par chaque nouveau théorème. Cet élève se serait appelé du même nom que le Maître; il y a là une invention postérieure, dont le but a été d'attribuer à un personnage difféi-ent certains enseignements que la tradition reçue ne permettait plus de concilier avec celles unanimement z'econnues comme de Pythagore. Son homonyme devint donc l'auteur du régime Carnivore recommandé aux athlètes, tandis que le Pythagore de la tradition est un végétarien.

assez probable. Pylhagoïc, en fail, n'a dû tenir secrèlcs ni ses doctrines, ni sa science. Mais, pour une raison ou pour une autre, il n'écrivit pas et préféra un enseignement oral. Dès lors, pour les Mathématiques qui ne sont pas accessibles à tous, son cours se ferma naturellement et le cercle de ses élèves devint d'autant plus facilement jaloux et exclusif qu'il les choisissait avec plus de soin.

Pour la Philosophie et la Phvsique qui n'était alors, elle aussi, qu'un tissu de conjectures, l'École produisit de bonne heure divers Ouvrages ('). Tout disciple qui écrit pour son propre compte rompt nécessairement plus ou moins avec le Maître; il tend à devenir chef à son tour. Avec les liens très éU'oits de confraternité qui unissaient les Pvthagoriciens, toute publication personnelle était donc acte de dissidence; mais elle n'avait point comme conséquence forcée une rupture violente; seulement, ceux qui prétendaient garder fidèlement la tradition du Maître durent maintenir qu'aucun écrit ne pouvait exactement représenter cette tradition, et ils se bornèrent dès lors à la transmettre oralement dans un petit cercle d'initiés, jusqu'au jour où elle se trouva tellement défigurée qu'il ne fût plus possible de maintenir l'observation de la règle (-).

Mais, pour une publication mathématique, la question était toute dilférente; il ne s'agissait pins d'opinions plus ou moins plausibles, prêtant plus ou moins à controverse, mais bien de vérités indiscutables, dont la découverte était un titre de gloire, certes aussi précieux à cette époque qu'il l'est de notre temps. Si donc Hippasos écrivit sur les plus hautes connaissances acquises au sein de l'Ecole, s'il s'attribua des travaux peut-être faits en commun, et cela du vivant même de Pythagore, ce dernier dut en être vivement blessé, et les sentiments qu'il éprouva fuirent probablement partagés par la majorité de ses élèves. Les discordes qui éclatèrent à ce sujet purent être le motif de sa retraite à Mélaponte; mais elles s'envenimèrent de plus en plus à Crotone, y prirent un caractère poli-

(') Le plus ancien connu est celui d'Alcméon; plus tard Parménide et Empédocle pylhagorisent plus ou moins; Hippasos paraît aussi avoir public ses opinions sur la Physique.

(') Il est incontestable que les doctrines de IMiiloiaos, en particulier sa conception cosmologique, renferment nombre d'éléments étrangers et postérieurs à Pythagore.

— si; —

tique cL ahoiiliroiiL à des guerres civiles |)r()l()ii^('es (Joui on sail le résultai.

A la suite de ces événements, un groupe de Pytliagoriciens exilés, se trouvant sans ressources, essaya de s'en créer au moyen de la publication des travaux mathématiques si malheureusement interrompus par les séditions ('). C'est ainsi, semble-t-il, que l'on peut rétablir le sens de la légende; en tout cas, on ne peut guère douter qu'Eudème n'eût entre les mains un Ouvrage relativement considérable, caries renseignements qui nous en {)roviennent sont passablement nombreux et circonstanciés.

4. Resterait à déterminer maintenant l'époque à laquelle remonte la publication de cet Ouvrage, appelé par Jamblique la Tradition touchant Pythagore.

Il n'y a guère de doute qu'on ne doive la placer avant Hippocratede Chios; mais, d'après le caractère des découvertes attribuées [)ar Eudème à OEnoplde (-), il faut, très probablement, regarder comme antérieurs les écrits de ce dernier. Nous pouvons dès lors indiquer le milieu du v"^ siècle avant Jésus-Christ comme une date suffisamment approximative. La publication des travaux géométriques attribués à Pythagore semble ainsi tomber vers la (in des guerres civiles qui désolèrent la Grande-Grèce pendant près de cinquante ans et peu avant la pacification qui, sous l'arbitrage des Achéens, permit aux exilés de rentrer dans leur patrie, mais mit fin en même temps au rôle politique de l'association pythagoricienne (').

Il est clair dès lors que le temps qui s'érait écoulé depuis la

(') Je dis un groupe, car, d'après le récit d'Apollonius, les principaux Pythagoriciens, pendant leur exil, paraissent avoir surtout vécu comme médecins ;P3'tliagore s'était beaucoup occupé de Médecine, et nombre de ses disciples l'imilèrent.

(^) La solution des deux problèmes élémentaires : « Abaisser, d'un point donné, une perpendiculaire sur une droite donnée »; « Construire un angle égal à un angle donné, le sommet et un côté de l'angle à construire étant donnes ».

(^) G.-J. Allman [Greek Geometry froni Thaïes to Euclid, àsius Hermathcna, Vol. V, p. 186-189) a très nettement établi contre Zeller {La Philosophie des Grecs, trad. Boutroux, Vol. I, p. 325-827) que la période des guerres civiles de la Grande-Grèce n'a pu durer de l\\o à ^oB avant J.-C., qu'elle a commencé peu de temps après la ruine de Sybaris par les Crotoniates en 5io, et que la fondation de Thuriuni, en \\!\, sur l'emplacement de Sybaris. en marque dcfinilivement le terme.

- Hl —

inorL (le Pvll»ai;orc avait «Hé Irop |)('ti favoral)lc aux loisirs géométriques, pour que l'on ne doive j)as regarder l'Ouvrage pul)lié comme représentant cireclivement l'enseignement du Maître, beaucoup plutôt que des découvertes postérieures. Il reste possible et même assez probable que certaines des propositions que renfermait cet Ouvrage fussent en réalité le fruit du travail poursuivi en commun par l'Ecole sous la direction de Pylliagore et du vivant de celui-ci. Cependant on peut lui en laisser toute la gloire, ainsi que l'ont fait ses disciples.

En résumé, riiistoirc de la Géométrie, pour ce qui regarde Pythagore, semble se trouver dans une situation plus favorable que l'histoire de la Philosophie. Quand nous trouvons, dans Aristote, une doctrine attribuée aux Pythagoriciens ou à certains Pythagoriciens, nous ne savons dans quel Ouvrage elle se trouvait consignée et quelle valeur traditionnelle elle pouvait présenter; si, au contraire, Eudème attribue un théorème aux Pythagoriciens, nous avons droit de penser qu'il le trouvait dans un Traité écrit vers le milieu du v*^ siècle et ne contenant guère que des propositions réellement connues de Pythagore. A dater de cet Ouvrage anonvme, l'Ecole ne produisit rien en Géométrie jusqu'à l'époque d'Archytas, après lequel les mathématiciens qu'elle a pu donner se confondent avec les disciples de Platon.

5. Sur ce premier Traité de Géométrie grecque dont l'existence puisse être soupçonnée, je me bornerai à remarquer pour le moment que, d'après le résumé historique de Proclus, le cadre était déjà celui que remplissent les Eléments d'Euclide. La démonstration de l'égalité à deux droits de la somme des angles de tout triangle (Eudème dans Proclus, p. 3^9), nous fait partir du P' Livre, tandis que la découverte des incommensurables nous conduit jusqu'au X" et la construction des polyèdres réguliers au XlIP, où cette théorie couronne l'œuvre d'Euclide, comme elle couronnait déjà le Traité pythagoricien (').

(') Du cadre des Éléments on doit cependant retranciier, dans cette comparaison, les Livres aritlimétiques (VII à IX), qui semblent Ijien étrangers, comme forme au moins, à la tradition pythagoricienne. Quel est le véritable auteur du prototype de ces Livres? Qui le premier aura imaginé d'adjoindre aux théorèmes

Quelles lacunes présentait ce dernier Traite? C'est un j»oinl(juc nous examinerons ultérieurement; sans doute elles étaient considérables ; il n'en est pas moins vrai que toute la Géométrie élémentaire nous apj)araît ici, comme sortie brusquement de la tcte de Pythagore, de même que Minerve du cerveau de Jupiter. N'y avait-il eu vraiment rien avant ce génie créateur? C'est assez peu croyable; mais en tout cas Eudème ne connaît aucun écrit géométrique, et ses recherches ne lui permettent d'attribuer aux précurseurs qu'il nomme que des connaissances d'tin degré relativement infime. Il est donc au moins très probable que le caractère purement théorique et abstrait qui distingue si nettement la Géométrie grecque lui a été en réalité imprimé par Pythagore, ainsi que le marque expressément le résumé historique de Proclus, et que les écrits antérieurs, s'il en a existé, avaient au contraire un objet concret et des tendances pratiques.

J'ai déjà énoncé un peu plus haut les deux problèmes dont Eudème attribuait la solution à OEnopide. Ils sont assez simples pour qu'on puisse penser qu'ils n'étaient point traités dans l'Ouvrage pythagoricien, d'autant que celui-ci n'était sans doute pas encore composé avec une méthode parfaite; mais évidemment Eudème ne pouvait en dénier la connaissance ni à Pvthagore, ni même à Thaïes. Si le premier était mis hors de cause en raison de la publication postérieure de sa Géométrie, la conséquence à tirer pour ce qui concerne Thaïes est qu'Eudème n'avait sous son nom que des propositions particulières, qui pouvaient même se trouver insérées dans la Tradition touchant Pythagore. Quant à OEnopide, une des deux citations de Proelus nous enseigne clairement à quelle source Eudème avait puisé ses informations.

[Proelus, p. 283). — « Ce problème : « Abaisser d'un point donné une perpendiculaire sur une droite donnée », fut, pour la première fois, cherché par OEnopide, qui le considéra comme utile pour l'Astrologie. Il emploie au lieu de xaOiTOî (perpendiculaire)

de la Géométrie une suite de propositions rédigées suivant la même forme, mais touchant l'Arithmétique? Est-ce Hippocrate de Chios, et serait-ce là la justification véritable du titre d'Éléments (S-roi-/eîa) qu'il adopta, alors que ce titre, pour un Ouvrage traitant seulement de Géométrie, est évidemment impropre?

l'expression archaïque xarà -^^imij-ovoi (suivant le gnomon), f[ui \i('nl de ce que le gnomon est à angles droits sur l'horizon. »

Ainsi, c'était dans un Traité astronouii(|ue et non pas géométrique dOEnopide, qu'Iuidènie avait trouvé la plus ancienne solution connue de ce problème et qu'il y avait relevé la désignation primitive qu'il nous a conservée.

Le second problème (EucLin, I, 23, Proclus, p. 333) « qui est aussi plutôt une découverte d'OEnopide, comme le dit Eudème », pouvait sans aucun doute se rencontrer dans le même Ouvrage ( ' ).

G. Pour Thaïes, dont il nous reste à parler avant de revenir i\ Pvlhagoi'e, si peu assurée qu'ait pu être la tradition venue jusipi'à Eudème, ce dernier possédait-il quelques documents anciens? On pourrait le croire à ce passage de Proclus (p. 200) :

« C'est à l'antique Thaïes que l'on doit ce théorème, ainsi que tant d'autres découvertes; car il fut, dit-on, le premier à poser et à dire que dans tout triangle isoscèle les angles à la base sont égaux; au Heu à'égaux (ïcaç), il employait d'ailleurs l'expression archaïque de semblables (bij.oion;) ».

IMais cette expression archaïque, Eudème ne pouvait-il la connaître par l'Ouvrage pythagoricien et, dès lors, la mettre dans la bouche de Thaïes?

Une seconde citation (p. 299) semble bien prouver qu'il ne subsistait point de démonstrations attribuées à Thaïes en même temps que certaines propositions :

« Ce théorème que, quand deux droites se coupent, les angles opposés par le sommet sont égaux, a été découvert en premier

('•) Le nom d'OEnopide se rencontre encore dans Proclus (p. 80), un milieu d'un passage emprunté à Geminus. « D'après Zénodotc, celui qui a été un des successeurs d'OEnopide et un des disciples d'Andron, on distingue le théorème du problème en ce que, etc. » Cette distinction, sur laquelle je reviendrai, est, sans aucun doute, postérieure à Aristote, et prolialilciiient aussi à P^udème. Nous avons ainsi la preuve qu'OEnopidc avait fondé, prohablenicnt à Cliios, une école scientifique qui subsista longtemps, et de laquelle dut sortir Ilippocratc. iMallieurcusemcnt Andron et Zénodote sont complètement inconnus d ailleurs, et le. texte est, d'autre part, loin d'être parfaitement assuié.

— '.Il) —

lien par Tlialès, comme le dit l^iidrme; l'"iirlitle en a doimé la démonslration scienlifiquc. »

Si donc Proclus nous dit (p. t^)')-, dans nn endroit (jui, celle fois, doit d'ailleurs provenir directement de Geminus, que " la division en deux parties égales du cercle par le diamètre a été démontrée, dit-on, en premier lieu par Thaïes », nous devons d'autant moins croire à la justesse de rex|)ression aTrooelçai (démontrer), que cette propriété du diamètre, quoique énoncée dans les définilions d'Euclide, ne fait l'ohjet d'aucune démonstration des liléments.

Enfin la dernière citation (p. 352) nous indique de la façon la plus claire comment Eudènie procédait pour Tlialès :

K Eudème, dans les Histoires géométriques, fait remonter ce théorème (I, 2(3) à Thaïes; car il dit que ce dernier devait nécessairement s'en servir d'après la manière dont on rapporte qu'il déterminait la distance des vaisseaux en mer. »

La tradition, soit pvthagoi-icienne, soit tout autre, atlribuait à Thaïes un procédé déterminé pour mesurer la distance à un point inaccessible; Eudème en concluait, sans autre donnée, que Thaïes possédait les théorèmes indispensables pour rendre raison de ce procédé.

Malheureusement, nous ne savons nullement en quoi consistait cette solution d'un problème pratique attribuée à Thaïes. La donnée qui s'v rapporte est absolument insuffisante pour le déterminer; cependant, s'il est permis de former une conjecture, il faut avant tout rechercher la solution la plus primitive parmi celles qui sont connues historiquement.

11 n'en est point à cet égard qui puisse lutter avec la Jluiniiiis varalio de l'agrlmenseur romain Marcus Junius Nipsus ('). Si imparfaite, si impraticable même qu'elle puisse être dans la plupart des cas, du moment où nous constatons historiquement son existence, il n'v a aucun motif sérieux pour l'écarler quand il s'agit de Thaïes.

Soit à mesurer la distance du point \ au point B inaccessible;

(') Grotnatici cetcres, ex receiisioiie Carnli L^icliDinniii. noiliii, lîcimer, i8'|8, p. cfS.T-iS').

on élève, siif le Icirjiiii, à A li imc perpciidiciilaiic A( 1 de l(»iiç;ii(iii (|iielconfnic, que l'on divise en deux parlies cj^tde.s au point D. en C on élève à AC, dans la direction opposée à AB, la perpendiculaire CE jusqu'à sa rencontre en E avec la droite BD. La longueur CE que l'on mesure sera égale à la longueur chcrclu'e.

En edet, les deux triangles AB13, DCE sont égaux comme avant un côté égal (AD = ]3(j par construction) compris entre deux angles égaux chacun à chacun. Or c'est là précisément h; théorème I, -26 attrihué par Eudème à Thaïes. Quant à l'égalité des angles. «'Ile a lieu pour ceux en A et E, parce qu'ils sont droits, jiour ceux en D, parce qu'ils sont opposés [)ar le sommet, et nous rcirouvons encore ici un autre théorème que nous avons vu attrihuer à Thaïes. -Notre conjecture reçoit par là une sérieuse confirmation.

7. Des autres solutions proposées pour représenter le procèdede Thaïes, je rejette celle de Bretschneider, parce qu'elle est aussi peu avantageuse, qu'elle n'est pas constatée historiquement, parce qu'enfin elle su|)pose l'emploi d'un instrument propre à viser suivant un angle égal à un angle donné. La Jluminis varatio ne réclame au contraire que l'équerre, les jalons et les instruments pour la mesure des longueurs, c'est-à-dire le matériel qu'ont possédé les arpenteurs Lien avant la constitution de la Science.

J'écarte la solution par l'emploi de triangles semblables, parce qu'elle ne se retrouve pas chez les agrimenseurs romains, et qu'il est dès lors à présumer (pie chez les (jirecs cette solution est d'une invention relativement récente et qu'elle n'a jamais été très répandue ('). A la vérité, Plutarque (-) attribue à Thaïes d'avoirmesuré la hauteur des pyramides d'après leur ombre comparée à celle d'un bâton; mais, dans celte donnée, Plutarque est l'écho d'un condisciple d'Eudème, non pas de ce dernier, et il dénature gravement le récit primitif (•'), qui d'une part suppose l'égalité de l'ombre à l'objet, de l'autre n'indique nidlement que les Egvp-

( ' ) Il n'y a pas à s'en élonncr; la Géotlésie a dû rester longtemps dans la routine, en raison de sa séparation d'avec la (jéiiinctrie. L'emploi des triangles semblables sur le terrain se trouve au reste indiqué dans le Traité de la Dioptic de llcnm d'Alexandrie comme dans les Gestes de Sextus Julius Africanus.

(') Sept. Sap. Conviv.féA. Didol, M. \-\, 3r).

(') Diogène Laërce, I, 07. « Uiéronymn (de lUiodcs) dit qu'il mesura les pyramides en observant l'onilMCv quand elle nous est égale. >■

liens, maîtres de Tli<Tlès, ij^norasscnl ce procédé élémeiilaire.

Quoique la solution, rapportée d'après lliéronyme de Rhodes, sup|)ose l)ien une certaine notion de la similitude, ou doit en conclure que cette notion n'étiiit pas encore assez familière pour être appliquée d'une laçon rc-elleincnl pralifpie à la mesure d'une hauteur verticale, et c'est bien ainsi sans doute que nous devons nous re])résenter cette notion soit chez les Egyptiens, soit chez Thaïes.

La notion de la similitude est incontestablement une des premières que l'homme ait acquise; mais elle est restée longtemps concrète dans les arts du dessin ou de la construction, et c'est ainsi qu'elle nous apparaît en iail dans le papyrus mathématique d'Eisenlohr ('), lorsque nous y voyons, par exemple, calculer l'arête d'une ])yramide d'après son rapport à sa projection sur la base. Si précise que nous semble déjà cette notion de la similitude, il y avait un pas immense à faire avant de rap[)li(pier à des problèmes pratiques d'une autre nature, soit sur le terrain dans l'arpentage, soit même pour des mesures par les ombres. Il fallait rendre d'abord celle notion purement abstraite, puis lui donner les diverses formes concrètes dont elle est susceptible. Ce pas ne semble avoir été fait que par les Grecs et cela probablement après Thaïes (2).

8. Deux des théorèmes attribués à ce dernier par Eudème se trouvent, dans notre conjecture, rattachés, comme on l'a vu, à un problème pratique concret (alaOyiTixoj-Epov). jNIais, d'après le résumé historique de Proclus, Eudème avait connaissance, par la tradition, au moins d'une autre question traitée par Thaïes d'une façon plus abstraite (xaOoXtxtoTspov). Est-il donc possible de rattacher à un seul problème abstrait les deux autres propositions citées par Eudème?

Il me le semble, si l'on fait intervenir la dernière donnée précise que nous possédions sur les travaux géométriques de Thaïes, et que nous a conservée Diogène Laërce(I, ;>.4)- « Panqihila (eompilatrice de la fin du i*^*" siècle après J.-C.) dit qu'il appritla Géométrie chez les Egyptiens, que le premier il inscrivit le triangle rec-

(') Voir riiist-'niciisc conjcctiii-c de AF. Canlor : Ueber clen sogenannten Seqt der aegyplischcii Mathematiker [Sitzb. dcr k. Akad. der ]Vissensch. Wicn. XC, 1884 ).

(-) La mesure criine hauteur verlieale suivant le procédé indiqué |iar PhUarquc se trouve en tout cas dans les Optiques d'Euclide, 19.

— IKJ —

langlc clans le deini-cercle, et qu'à celte occasion il sacrifia un bœuf. D'autres, par ex.emple Apollodore le logisticien, attribuent ce trait à Pvlhairorc ».

11 s'agit évidemment, soit de la propriété du demi-cercle que tous les angles qui v sont inscrits sont droits, soit de la réciproque que la demi-circonférence est le lieu des sommets des angles droits dont les côtés passent par les extrémités du diamètre ('). Mais ces deux propositions se tiennent d'assez près pour que l'on n'ait pas à faire de distinction entre elles; et il semble que Thaïes a pu y être conduit en se proposant de construire sur le terrain un triangle rectangle dont l'hypoténuse est donnée de position, et un côté de l'angle droit donné de longueur seulement : problème pratique, mais conçu sous forme abstraite.

La donnée de Paniphila peut parfaitement provenir d'Eudème, car Proclus n'avait pas à parler de la proposition dont il s'agit dans son commentaire sur le P'' Livre d'Euclide. Quant à la légende sur le sacrifice d'un bœuf, elle peut venir d'une autre source; en tout cas, celle qui attribue ce sacrifice à Pjthagore ne concernait certainement pas le même théorème, quoi que semble dire Diogène Laërce ; mais nous n'avons pas à nous y arrêter pour le moment.

On conclut généralement du témoignage dePamphila que Thaïes connaissait l'égalité à deux droits de la somme des angles d'un triangle; mais il est essentiel d'observer qu'Eudème ne tirait nullement la même conclusion. D'après Proclus (p. 879), il attribuait formellement aux Pythagoriciens la découverte de ce théorème et reproduisait leur démonstration, analogue à la nôtre. A la vérité, dans Eutocius sur Apollonius (p. 9), Geminus s'exprime comme suit, en comparant à ce qui s'est passé pour ce théorème l'histoire de l'invention des coniques : « Les anciens ont considéré les deux droits d'abord pour chaque espèce de triangle, en premier lieu l'équilatéral, en second lieu l'isoscèle, en troisième lieu le scalène ; ceux qui vinrent ensuite ont démontré généralement le théorème, que dans tout triangle la somme des trois angles intérieurs est égale à deux droits. »

(') En parlant ici de lieu, j'emploie une notion qui n'a cvidcmincnt été précisée que bien plus lard.

On a aclinis (jiie la ciénionslralion des trois cas apparlcnail à Thaïes et le llu'orème général aux. P\ lliagoriciens. Mais celte conclusion est insoulenablc, du moment où lous les témoij^nagcs concordent pour établir que ni Gcminus ni Eudènie n'ont eu entre leurs mains aucun écrit géométrique remontant à Thaïes, que la tradition qui le concernait avait seulement conservé des solutions de problèmes pratiques, sans raisonnements. Ce qu'il faut dire simplement, c'est que dans l'Ouvrage géométrique des Pythagoriciens, la démonstration était faite pour les trois cas, que plus tard les deux premiers auront été supprimés comme inutiles.

Nous ne pouvons pas, en somme, juger ce que connaissait Thaïes, ni ce qu'il ignorait; peut-être sa géométrie dépassait-elle de beaucoup les limites que lui assignait Eudème, peut-être cependant ne comportait-elle aucune démonstration en forme; mais la question n'est pas là. Le fait est que, si la donnée relative à la propriété du demi-cercle remonte au disciple d'Aristote, celui-ci devait connaître une démonstration qui ne s'aj)puvait pas sur le théorème de la somme égale à deux droits. Mais cette démonstration ne pouvait évidemment se passer des deux propositions attribuées à Thaïes et relatives, d'une part à l'égalité des deux portions du cei'cle séparées par le diamètre, de l'autre à l'égalité des angles à la base d'un triangle isoscèle ( ' ).

Je crois avoir ainsi accompli la tâche que je m'étais proposée pour Thaïes; je n'ai point cherché à déterminer ce qu'il a pu savoir, mais bien à préciser comment s'est formée la tradition qui concerne ses travaux géométriques; j'ai montré qu'elle se réduit probablement à deux données relatives à des solutions de problèmes pratiques et trop simples d'ailleurs pour qu'on en puisse tirer des conclusions assurées.

(') Si dans un cercle dont AB est le diamètre, on mène par le centre O un autre diamètre COD, il est facile, avec les deux propositions précitées, et en admettant l'égalité des angles opposés par le sommet, théorème attribué à Thaïes par Eudème, de démontrer que dans le quadrilatère ACBD les quatre angles sont égaux et les côtés opposés égaux entre eux. Or on a très bien pu, à l'époque dont il s'agit, définir le rectangle d'après ces propriétés.