CHAPITRE XII

Les continuateurs d'Euclide.

1. Les AV^^me/i!/.? d'Euclide, et surtout le premier Livre, n'avaient, à vrai dire, nul besoin d'être commentés, si par commentaire on entend l'explication des endroits obscurs^ le travail que Proclus a consacré à ce Livre n'olTrc donc quelque int('rèt, en dehors des minces renseignements historiques qu'il renferme, que])arce qu'il permet, jusqu'à un certain point, d'apprécier les tentatives faites dans l'antiquité pour améliorer les Eléments, soit par d'autres tours apportés aux démonstrations, soit par l'adjonction de nouvelles propositions plus ou moins intéressantes.

Mais, avant d'aborder l'analyse du commentaire proprement dit de Proclus, avant de chercher à préciser le caractère, la date et les auteurs des tentatives en question, il ne sera pas inutile de considérer celles qui ont été faites, non pas pour simplifier ou pour grossir les Eléments, mais pour les continuer, notamment en développant davantage la théorie des polyèdres réguliers, qui fait l'objet du Livre XIll.

Euclide se borne, en fait, dans ce Livre, à construire les cinq polyèdres réguliers, inscriplibles dans une sphère donnée, et à comparer, entre eux et au diamètre de la sphère, les côtés de ces cinq polyèdres.

Déjà un géomètre qui fut probablement son contemporain ('), qui, en tout cas, doit avoir vécu à Alexandrie, Aristée, écrivait un Livre intitulé : Comparaison des cinq figures, dans lequel il énonçait ce théorème : que, pour le dodécaèdre et l'icosaèdre inscrits

(') Si du moins il s'agit de celui que Pappus appelle l'ancien (ô Tîpïo-fi'jTepo? ) et qui écrivit cinq Livres sur les Lieux solides; mais, comme HypsicJcs ne désigne pas davantage celui dont il parle, ce peut être l'Aristée plus jeune (6 vEWTspo?), dont on n'a pas d'autres traces. Il est assez curieux que, vers la même époque, il y a eu aussi à Alexandrie deux mathématiciens d'un nom très voisin, connus d'ailleurs seulement comme astronomes; 'Apicr-r-jX/o; [jiyaç, 'Apio-T-jV/oç [At-/pô; (Aristylle le grand et le petit). Urunologion de Petau. p. p.67 (Catalogue des comme 11 ta leurs d'Ara tu s).

— ir;o -

dans une même sphère, la sphère inscrite est aussi Ja même, que par suite h' raj^port des vohimes des deux, polyèdres est éfî^al à cehii de leur surface. Il n'est pas à douter ([u'il ne démontrai de même le théorème analogue pour le cube et l'octaèdre inscrits dans la même sphère et qu'en général il ne fît, pour les volumes et les surfaces, la comparaison qu'Euchde s'était borné à donner pour les côtés.

Les démonstrations d'Aristée pour les deux solides les plus complexes étaient probablement assez pénibles, puisque Apollonius de Perge crut devoir reprendre le même sujet en écrivant une Comparaison du dodécaèdre et de V icosaèdre inscrits dans la même sphère; et lui-même ne fut pas bien satisfait de son premier travail, puis(pi'il en donna une seconde édition améliorée.

Enfin cette même question spéciale est l'objet du Livre d'Hypsiclès d'Alexandi^ie, qui compte comme XIV*^ dans la vulgate des Eléments; c'est dans la dédicace de ce Livre ( ' ), adressée à un certain Protarque, géomètre et ami du père d'Hypsiclès, que celui-ci, évidemment encore assez jeune, nous fournit les indications qui précèdent. Il ajoute que son père (déjà mort quand il écrit) avait, en commun avec un Basilide de Tyr, travaillé sur la première édition du Traité d'Apollonius pour l'améliorer; il reconnaît que la seconde édition ne laisse pas prise à la critique comme la première; il présente toutefois sa méthode comme nouvelle en ce qu'il part de cette proposition que, pour le dodécaèdre et l'icosaèdre inscrits dans la même sphère, les faces sont inscriptibles dans un même cercle. Enfin il donne, comme expression du rap[)ort des volumes ou des surfaces du dodécaèdre et de l'icosaèdre, le rapport des côtés du cube et de l'icosaèdre inscrits dans la même sphère.

2. Il est assez clair, d'après ce qui précède, qu'Hypsiclès devait appartenir à la génération qui suivait immédiatement celle d'Apollonius, et vivre par conséfjuent vers le commencement du ii*' siècle avant. J.-C iNous connaissons d'ailleurs en outre cet Alexandrin :

i" Par une citation de Diophante (Sur les nombres poly-

(') El aussi dans renoncé de la pruposilion II.

— 15<i — "DUCS ) tjui (Joiiric la diTinition ordinaire de ces noinhres en l'al- Irilniant à Hypsiclès. Ou doit en conchirc seulement (juc ce dernier avait écrit sur ce sujet, et sans doute sous la forme géométrique, un Traité <]ui était classique au temps de Diopliante; ce Frai té peut, au reste, être aussi considéré comme une continuation des livres arithmétiques d'Euclide;

1° Par un Opuscule très court, qui fait partie de la collection des petits écrits astronomiques, et qui est intitulé 'Avaçcpi/.:; (').

Je m'arrête un moment sur cet Opuscide peu connu, et dont l'importance historique dépasse de beaucoup la valeur intrinsèque (-).

Il s'agit de calculer, pour le climat d'Alexandrie, les ascensions obliques correspondant aux diflerenls degrés de longitude sur l'écliptique. Le problème est résolu avec une grossière approximation et de telle sorte qu'il est impossible de supposer qu'Hipparque (^) ait eu quelque précurseur pour l'invention de la Trigonométrie. Mais en même temps le Traité d'Hvpsiclès nous donne le premier exemple de la division du cercle en Sôo" et en fractions sexagésimales, minutes, secondes, tierces. Il marque donc le moment où cette division s'introduit dans la science grecque, mais où l'idée de dresser une Table des cordes n'est pas encore venue.

La solution d'Hypsielès consiste d'ailleurs, connaissant les ascensions pour o", 90", 180" (''), à interpoler en supposant que, si

(') Achille (Tatius), éd. Petau, p. i3G, cite cucorc H3'psiclùs comme ayant Ocrit, après Aratus et Eralosthène, sur l'harmonie des sphères.

(-) Il a été publié en grec latin par Jacques Mcntel en iGôy (Paris, Cramoisy) à la suite de VOptiquc de Damicn, éditée ])ar Bartholin; mais le texte est passablement incorrect et, pour apprécier la traduction, il suffira de dire que Vomicron, employé comme zéro dans la notation sexagésimale, est couramment rendu par le nombre 70.

(') Le grand astronome vécut vers le milieu du 11° siècle, c'est-à-dire (ju'il semble appartenir à la génération suivant celle d'Hypsielès.

(') La première est en effet o", la troisième 180°; quant à la seconde, elle se

rcpi'éscnte par iSo", si le climat est défini iiar le raiiport — des durées

1)1 '[ ti ^ ^ n

(lu plus lun^ jour cl de la nuit la plus courte.

- io7 -

les loii^iliulcs croisscnl cii progression arilliniélique, il en sera de même pour les difTércnces des ascensions.

Grâce à quelques lemmes préliminaires, il détermine la progression des diCTércnces, d'abord pour les signes, ensuite pour les degrés, et indique comment de cette progression se déduit la série des ascensions.

Nous rencontrons ainsi le premier essai d'une interpolation ayant lieu en fait suivant les ordonnées d'une courbe de la forme y = a -h l>x + cx-^ ou encore, si l'on veut, le premier pas de la théorie des différences finies.

Mais est-ce bien à Hypsiclès qu'il faut attribuer le principe de la solution qu'il expose? J'ai peine à le croire, car il nous apparaît moins comme un esprit original que comme un géomètre reprenant et éclaircissant des questions déjà connues. Il s'agit, d'autre part, d'un problème évidemment déjà posé chez les Chaldécns, et rien ne doit empêcher de croire qu'ils fussent capables de lui donner la même solution, surtout si l'on considère que les anciens s'attachaient en première ligne aux différences ascensionnelles et que c'étaient ces différences qu'ils appelaient proprement ascensions (à'ixozpyJ.) ('). L'idée de les faire progresser arithmétiquement s'introduisait donc d'elle-même.

3. L'adjonction aux Eléments du Livre d'Hj'psiclès, sur la comparaison du dodécaèdre et de l'icosaèdre inscrits dans la même sphère, a été d'autant moins légitime qu'il s'agissait là d'un problème plus spécial. Quant au Livre XV de la vulgate, la question a un autre aspect.

Si l'on écarte le début, l'examen de cinq cas, particuliers et sans intérêt, d'inscription d'un polyèdre régulier dans un autre, on ne peut nier que les deux questions suivantes : détermination du nombre des côtés et du nombre des sommets, construction de l'angle dièdre pour chaque polyèdre régulier, méritaient de figurer dans les Eléments.

Mais le style général du Livre trahit une époque de décadence

(') Ainsi ils disaient « ascension du Taureau » poiii' iliiïcrencc des ascensions rorrcspondant aux longitudes fio" et 3o", etc.

— i:is —

Ijica loiiU;iinc de j'àj^c cliissi(|iic ;hi(|ucI iippatliciil du moins H) [)slclès, et l'on esl d'accord désoinniis pour considérer cetOpuscule comme seiilemenl du vi'^ siècle après .I.-(l.

Le maître de l'auteur anonyme, le ^raiid Isidore, comme il l'appelle, et d'après lequel il résout la dernière question, doit être un des deux architectes de Sainte-Sophie, soit l'oncle, soit le neveu, qui portèrent ce nom sous Justinien. Nous avons donc là, moins un travail de vérilables géomètres, que l'une des rares œuvres subsistantes de l'école d'ingénieurs qui illustra encore cette époque, au moment où s'éteignaient les derniers représentants de la Science pure.

Il est incontestable (pic les constructions d'Isidore de Milet sont aussi élégantes que sont pénibles les démonstrations qui en sont données. Cette difFérence même doit faire jeter un doute sur leur véritable origine, d'autant plus que l'invention n'en est pas expressément attribuée au personnage en question. Cependant, tant qu'on n'aura pas retrouvé une preuve de l'élude de problèmes semblables dans l'époque gréco-alexandrine, on peut rester dans l'indécision. En tout cas, les constructions dont il s'agit seraient bien ce qui aurait été fait de mieux en Géométrie élémentaire, au moins depuis Pap|)us.

4. C'est certainement dans ce dernier auteur qu'il aurait convenu de chercher de quoi compléter les Eléments, s'ils en avaient eu besoin.

On ne peut nier en thèse générale que les trois Livres d'Euclide sur les solides ne soient sensiblement inférieurs aux précédents ( ' ), et l'on ne doit pas s'étonner que surtout la théorie des polyèdres réguliers ait été l'olqet de tentatives de remaniement.

Or la quatrième Partie du Livre III de la Collection niathématique de Pappus (p. i32-i63) nous offre tout d'abord précisément un remaniement complet du dernier Livre des Eléments. Le problème traité est absolument le même, l'inscription dans une sphère

(') On voudra pcut-cU-c cxccpLer de ces derniers le X"= Livre sur les irrationnelles; c'en était un qu'Apollonius avait aussi essayé de compléter par son travail sur les irrationnelles non classées.

- lo9 -

doniit'O (les cim| poKrtlres réguliers; mais la nirlliddc ost toulc dilférenle, cl, au lieu des théorèmes préliminaires d'Euclide, lesquels appartiennent à la Géométrie plane, on part de lemmes sur la sphère, où sont d'ailleurs apj)liquées des propositions que nous ne retrouvons que dans les Sphci-irjiies de Théodose (').

Rien ne nous indique quel est l'auteur de ce remaniement. S'il était de l'appus lui-même, il aurait sans doute pris soin de le marquer, surtout dans un Livre qui, à partie début, est évidemment une compilation. Le style et l'allure générale semblent d'une bonne époque, mais déjà assez loin d'Euclide. En tout cas, il est incontestable que l'auteur a eu pleine conscience de la véritable lacune de la stéréométrie d'Euclide; elle aurait dû comprendre en efTet les éléments de la sphère, que le maître a laissés aux Traités composés en vue de l'étude de l'Astronomie.

La troisièiue et dernière Partie du Livre V de Pappus nous offre sur les polvèdres réguliers un autre travail qui ne correspond pas, à la vérité, à la comparaison des volumes et des surfaces de ces polyèdres inscrits dans une même sphère, telle que l'avait étudiée Aristée, mais qui, dans une certaine mesure, peut en tenir lieu. Pappus compare en fait les volumes de polvèdres réguliers avant la même surface.

11 dit très nettement que les démonstrations synthétiques qu'il donne sont de lui; mais il reconnaît en même temps que plusieurs anciens avaient traité analvtiquement la même question. D'autre part, il appuie ses démonstrations sur seize lemmes qui contiennent tous les éléments de la mesure des surfaces et volumes des polyèdres réguliers; mais ces lemmes, au milieu desquels nous retrouvons les propositions II et VII du livre d'Hypsiclès, n'appartiennent guère à Pappus que comme rédaction.

3. Les deux premières Parties du Livre V de Pappus sont, au reste, de celles où il est le plus facile de se rendre compte de la façon dont il composait sa Collection inaihématique .

Après un curieux pr('am])ule où il j)réscnte la forme hexagonale

(') Quoiqu'elles fussent iiiconlpslalttcineiil CDUiiues Ijicii ;i\aiil opl auteur >.\\\ " siècle avant J.-C.

- IGO -

des cellules (les abeilles (;oninie molivée pai- la (Ltiihlr- nnKliliiiii d'offrir un poljgone réf^ulier dont l'angle fùl une partie aliquole de qualrc droits, et en m«';nie temps de correspondre au périmètre minimum pour une surface donnée, Pajipus aborde en général la théorie des figures planes isopérimètres au point de vue de leur surface. Or nous possédons sur le même sujet un autre écrit qui, inséré dans le premier Livre du Commentaire de Tliéon d'Alexandrie sur la Syntaxe de Plolémée, est mis sous le nom d'un Zénodore ({ui vivait probablement peu de temps après Arebimèdc ('). La comparaison nous montre que Pappus s'est borné à donner une rédaction un peu différente de l'œuvre de Zénodorc et n'a apporté aucun changement essentiel à une théorie d(''jà complète. Toutefois, il a ajouté la comparaison des segments de cercle dont l'arc est égal, et démontre que le plus grand est le demi-cercle.

Dans la seconde Partie du Livre V, Pappus, avant de passer à l'exposé des théories analogues relatives à la comparaison des solides ayant même surface, croit intéressant d'énumérer les treize polyèdres semi-réguliers découverts par Arebimèdc et qui jouissent de cette propriété que leurs faces sont des polvgoncs réguliers de différentes natures. Il indique, pour chacun de ces polyèdres, la composition des faces, le nombre des sommets et celui des arêtes; puis, abandonnant ce sujet (-), il démontre qu'à surface égale la sphère est supérieure en volume soit à un polyèdre régulier quelconque, soit à un cône ou à un cylindre. Zénodorc avait déjà également traité les mêmes propositions; il les avait même étendues à tout solide engendré par la révolution d'un polygone rectiligne quelconque.

Pappus omet cette dernière démonstration, tandis qu'il reprend longuement la démonstration des théorèmes d'Archimède sur la mesure du volume et de la surface de la sphère, du cône et du cylindre. La marche qu'il suit se rapproche d'ailleurs sensible-

(') Ilultsch, p. 1189 de l'édition de Pappus. Le commentaire allribué à Thcon est au reste, en assez grande partie, dû à Pappus; on a encore un autre petit travait anonyme sur tes isopérimètres, public par Hultsch (Pappus, p. ii56-ii65) et pi'ovcnant d'un Recueil de commentaires sur Ptolémée; mais, cette fois, on est plulût en présence d'un i-emaniement de l'œuvre de t^appus.

(-) On sait ([uc la curieuse théorie des polyèdres d'Arcliimède a clé restituée ])ar Kepler {ITarmouid muiu/i, p. G:>-G5;, i'jh))

- Ifil -

mcnl (le ccllo qu'on ohsorve d'ordinaire aiijourdliiii pour la mémo llK-oric on Géoniclric t'Irniciilairc ; il y a là évidemment, au point do vue de la forme, un progrès réalisé depuis Archinièdc, mais comme fond il n'y a rien de nouveau.

Même en admettant que cette nouvelle exposition appartienne exclusivement à Pappus, on voit qu'au moins, dans tout son Li\Te V, il travaille plutôl à exposer ce qui est déjà connu et à améliorer les théories dues aux anciens mathématiciens qu'à poursuivre des travaux originaux. L'ensemble de la Collection m a thé ma II que porte en général le même caractère, et il est certain qu'on attribue à Pappus beaucoup de propositions qui ne hii appartiennent pas plus que la plupart des théorèmes développés dans nos livres d'enseignement n'appartiennent aux auteurs de ces Ouvrages (').

G. Si l'on cherche dans le recueil de Pappus d'autres théories rentrant dans le cadre des Eléments, il ne faut pas s'écarter des Livres m et IV (2).

Dans le premier de ces deux Livres, on peut signaler les propositions 28 à ^'.i., qui paraissent empruntées à un Ouvrage intitulé Paradoxes et composé par un Erycinos dont l'époque est inconnue, mais qui vivait probablement bien longtemps avant Pappus.

Il s'agit, dans ces Paradoxes, de construire à l'intérieur d'un triangle (ou plus généralement d'un polygone) un autre triangle (polygone) ayant pour base une partie de l'un des côtés et tel que la somme des autres côtés du triangle (polygone) intérieur soit à celle des autres de l'extérieur dans un rapport donné (égal ou plus grand). Ou bien encore il s'agit de construire un triangle ou un parallélogramme de surface plus petite qu'une figure similaire, mais avant chacun de ses côtés plus grand suivant une- relation donnée. Les solutions d'Erycinos sont assez élégantes, et, malgré

(') Il faut cependanl excepter le lliéorérne connu sous le nom de Guldiii, que Pappus énonce comme étant son invention et qui constitue, sans contredit, son véritable titre de gloire.

( = ) On sait que le Livre I est perdu ; ce qui reste du II" concerne l'Aritlirnctique; VI est relatif à l'Astronomie, VII à l'Analyse gcomclrique, VIII à la Mécanique.

- lfi^2 -

le i)Cii (l'iiilrrnl que pn'scnli'nl ces jjroblèmcs en eux-iiiêmes, la première série pourrait encore aujourdlmi offrir quelques exercices utiles.

La première proposilion de ce qui nous reste du Livre IV nous offre une intéressante généralisation du théorème sur le carré de l'hypoténuse.

Soit un triangle quelconque ABC: sur les cotés AB, BC on construit deux parallélogrammes quelconques ABED, BGFIL On prolonge les droites DE, FH jusqu'à leur rencontre en G, on joint GB. Pour construire sur la base AC du triangle un j)arallélogramme dont la surface soit égale à la somme de celles des deux premiers, il suffit de mener par A, G des parallèles à GB jusqu'à leur rencontre en L, M avec les cotés des parallélogrammes DE, FH et de joindre L, M.

Nous pouvons certainement regretter le début du Livre IV, si court qu'il paraisse avoir été, car il devait être consacré à des théorèmes analogues.

Les dix-sept propositions de Pappus qui suivent appartiennent encore au même ordre d'idées que les Eléments; mais elles paraissent empruntées, comme fond, soit aux Livres des Contacts d'Apollonius (Pappus traite notamment le problème de mener un cercle tangent à trois cercles qui se louchent entre eux), soit à des travaux sur la figure de l'i:p6r,Acv (tranchet) inventé par Archimède (' ).

Soient deux demi-cercles A et B se touchant extérieurement à une extrémité de leurs diamètres; soit un troisième demi-cercle G, ayant son centre sur le même diamètre elles enveloppant en les touchant. Dans l'espace compris entre A, B et G, on inscrit un cercle Do \ dans l'espace entre G, Do et A (supposé plus grand que B), un second cercle D, ; entre G,, D, et A, un troisième Do et ainsi de suite; soient c/q, c/i, «r/o, ••• les dislances des centres de Do, D,, Do, ... au diamètre sur lequel sont construits les demi-cercles A,

(') Dans récrit arabe, les Leinmcs attribues à Arcbinicdc, les lemmes i,4, 5 et G se retrouvent chez Pappus. Celui-ci dit seulement que la proposition qu'il développe est ancienne et se trouve dans divers Ouvrages; peut-être l'Ouvrage original dArchiméde était-il déjà perdu, et l'appus n'était-il pas suffisamnienl assuré de la valeur de la Iradilion Jtlalive à rip[ir,),ov.