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7. On sait du reste qu'en dehors des écrits (jui nous restent d'Arcliimèdc cl d'Apollonius, c'est uniquement dans la Collection de Pappus qu'il faut étudier la Géométrie supérieure des anciens; on sait aussi que cette Géométrie se divisait en deux branches bien distinctes : l'une, suivant les voies nouvelles ouvertes par le génie du Syraeusain, s'élevait à l'invention de courbes et de surfaces et abordait les problèmes des quadratures et des tangentes; l'autre, ne dépassant ni le domaine déjà exploré avant Euclidc, ni le cadre général de ses travaux, développait de plus près les germes contenus dans les Eléments en approfondissant la Géométrie de la droite et -du cercle et en étudiant les propriétés des coniques.

C'est sur ce terrain, dans le -ir.z- TixK'ji'j.t^tzzi comme l'appelle Pappus, que l'eiTort de la Géométrie ancienne a été le mieux suivi et a produit les résultats les plus complets; mais nous devons réserver pour une étude ultérieure l'histoire de ces travaux et revenir à ceux qui ont spécialement eonceçné les Eléments. Bornons-nous donc, pour le moment, à résumer les conclusions qui ressortent de ce Chapitre.

On semble avoir eu pleinement conscience, dès l'antiquité, des lacunes frappantes que présente le cadre étroit des Eléments. Pour combler ces lacunes, les modernes y ont, d'une part, fait entrer la matière de Livres d'Arcliimèdc : De la mesure du cerele; De la sphère et du cylindre ; d'un autre coté, ils y ont réuni les éléments de la sphérique des anciens. La Collection de Pappus témoigne déjà de quelques tentatives faites dans ce sens.

Mais ces tentatives n'ont pas abouti à une réforme de l'enseignement qui eût nécessité une refonte complète .des derniers Livres d'Euclide. Les autres lacunes de détail qu'on pourrait signaler dans les E léments se trouvèrent d'ailleurs eondjlées dans les Ouvrages consacrés à l'analyse géomélri([ue. L'œuvre d'Euclide ne reçut donc, comme adjonction, pendant toute l'antiquité, <|ue quelques travaux relalifs aux polyèdres réguliers; mais ceux (jui lurent choisis pour celte adjcmclion n'ont guère du, ce semble,

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celle faveur qu'à leur l)rièvelr, cl d'aulrcs onl clé négligés qui sans doule valaicnl mieux. I^ilin, (luoiquc l'un de ces écnls soil des derniers jours de ranli([uilé, on ne voit guère (ju'aucun Iravad sérieux de Géométrie élémentaire ait été lait après la période alexandrine, et à partir de rétablissement de l'empire romain.

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