INTRODUCTION

Le vrai problème de l'histoire des Mathématiques anciennes.

i. Ecartons de riiistoire des Mathématiques la partie proprement bibliographique, je veux dire la constatation matérielle des faits : telle phrase se trouve telle page, soit de telle édition de tel ouvrage, soit de tel manuscrit coté sous tel numéro dans telle bibliothèque; écartons encore ce qui peut, comme dans VAperru historique de Michel Ghasles^ former un des principaux attraits d'un livre, mais appartient en fait à la Science elle-même, bien loin de constituer une partie intégrante de son histoire; j'entends les développements donnés à telle méthode, les relations établies entre elles et d'autres plus récentes, enfin les démonstrations de théorèmes ou solutions de problèmes, soit conçues dans l'esprit des procédés d'autrefois, soit seulement suggérées par leur étude.

Ce départ fait, que reste-t-il en réalité? Un tissu de conjectures, qui sont d'ailleurs à tous les degrés de probabilité, depuis celui qui vaut presque la certitude jusqu'à celui qui diffère à peine du doute, pour ne pas parler des hypothèses encore moins favorisées; et encore ce tissu ressemble assez à la toile de Pénélope, car, s'il est vrai que l'on peut regarder comme allant toujours en augmentant la probabilité movenne des résultats obtenus par la critique. T. I

il n'en osl nnllcnicnl de nirnie poni- la |)rohal)ililé spéci.Tir à cliiKinc assertion pailieiilière ; celle prohahililé est siijcUe à de eonlinuelles variations, et il n'est guère de point pour lequel ro|)ini()ii aujourd'hui doniinanle se trouve garantie eontre une exclusion soit momentanée, soit définitive, à la suite ou bien de la mise en lumière de quelque fait nouveau, ou bien de l'apparition de quelque nouvelle hvpothèse.

Coordonner la totalité des faits matériels, établir la filiation logique de ceux qui concordent entre eux, expliquer comment tels autres se trouvent en désaccord et déterminer, d'après cette expb'cation, quels sont ceux qui ne devront pas être utilisés comme matériaux par l'historien futur, telle est la tâche, toujours inacbevée, à laquelle travaille le critique. Et il ne peut guère se faire d'illusions sur le sort réservé à son oeuvre; les faits dont il aura signalé l'importance, c'est aux sources mêmes, non dans ses écrits, que ses successeurs iront les rechercher pour les soumettre à un nouvel examen; les erreurs qu'il aura dissipées pourront ne plus jamais revenir embarrasser l'histoire; mais cond)ien ce résultai purement négatif était au-dessous de ses aspirations! Les thèses positives. ;iuxquelles il attachait le plus de poids et consacrait surtout ses veilles, que deviendront-elles, bientôt après sa mort, sinon avant?- Qu'il jette un regard sur les exemples que lui offre un passé récent; quelle confiance peut-il garder dans l'avenir, s'il réfléchit à ce que pèsent en réalité aujourd'hui, dans la balance des opinions, les noms encore les plus justement honorés, ainsi celui de Letronne, pour ne j)as en citer d autres?

ti. Il faut donc, dans la critique d érudition, borner son ambition au présent et, sans trop préjuger l'avenir, s'efforcer d'assurer à ses opinions le plus possible de probabilité actuelle. Or à quoi se mesure cette probabilité? En fait, c'est à la proportion plus ou moins considérable d'adhésions rencontrées dans le cercle, d'ailleurs fort restreint, des érudits vivants s'occupant de l'ordre de questions dont il s'agit. A peine est-il besoin d'ajouter que, pour une évaluation effective, il conviendrait d'introduire des coefficients personnels; un savant co?ume Moritz Cantor, comme Friedrich Hultsch, comme J.-L. Heiberg, en vaut plusieurs autres, mais il ne réclame, ni ne peut réclamer l'infaillibilité. Quant à

ceux (|iii sont disparus de la sct-ne el que [larlois on Invoque encore, ils ne coiiiplent plus guère; ils n'ont pas su ce qui a élé appris depuis, ils n'ont pu peser les nouveaux arguments, enfin et surtout, ]\> nélaicnt pas dans le courant d'idées actuel.

l*our(|U()i insist<''-je sur ce dernier point? Je vais chercher à 1 expliquei', daulant qu'il s'agit d'un élément considérable dans l'appréciation des opinions.

\ oici déjà la dixième année depuis que j'ai commencé à publier, sur l'histoire des Sciences, quelques-unes de mes conjectures personnelles; à partir du moment où mes humbles essais ont attiré quelque attention, il est une question que j'ai souvent eu à me poser; pourquoi telle hypothèse, que j émettais presque sans preuves, souvent à titre de simple possibilité, rencontrait-elle un assentiment général? Comment telle autre au contraire, que je m'étonnais d'être le première soutenir, tant elle me semblait naturelle, tant elle ressortait invinciblement pour moi de l'ensemble des faits, comment trouvait-elle des adversaires? Etudiais-je des travaux étrangers, je voyais surgir devant moi le même problème; tel point qui, à mes yeux, ne faisait pas lombre d'un doute, telle question qui me semblait devoir se régler en quelc[iies mots, devenait l'objet de discussions approfondies, de polémiques sérieuses et prolongées.

J'ai cru m'expliquer tout cela, au n)oins dans une certaine mesure, en réfléchissant sur les motifs qui me déterminaient moimême à adopter ou à rejeter telle ou telle conjecture nouvelle. Certainement, en présence d'une opinion qui n'est pas encore la sienne, le critique cherchera à être aussi Impartial que possible; il pèsera le pour et le conlre d'après les données objectives de la question, il cherchera à éliminer, autant que faire se peut, tout motif personnel de décision. Mais une pareille élimination est impossible à faire complètement; qu'on parvienne à la réaliser sans exception aucune, on ne sera plus soi-même.

Avant de se hasarder à rien produire, chaque érudita dû accomplir pour lui-même, au moins à titre provisoire, la coordination logique de l'ensemble des faits (pi'il connaît; il a dû jeter ainsi les fondements nécessaires de l'œuvre qu'il rêve. A la vérité, cette coordination, il la remanie sans cesse; mais telle qu'elle est à un moment donné, elle n'en jouera pas moins, cpi'il en ail d'ailleurs

plus on inoiiis conscience, le rôle iruti calilire ou dun gabaiil d'essai. Une llièse nouvelle s'y adaple-l-elle d'elle-même, elle aura loute chance d'être acceptée d'emblée; qu'au contraire elle ne se prête pas au cadre préétabli, elle sera l'objet d'une critique plus allentive, de réserves plus scnipiileuscs ; et cela, indépendamment de la valeur propre des arguments qui l'appuient.

Ce que je viens de dire ])our un érudit en particulier peut s'appliquer à l'eiisrinble ; nul ne peut connaître la totalité des faits à coordonner; les éléments employés ne sont donc pas exactement les mêmes pour chacun, leur connexion variera également suivant les tournures d'esprit particulières. Néanmoins, à un moment donné, il y a un ensemble d'idées commun à tous et par suite prédominant; la chance de succès d'une conjeclui-e nouvelle dillere donc selon qu'elle est plus ou moins en harmonie avec cet ensemble commun.

'A. Je n'ai nullement la prétention d'exposer c|uel est aujourd'hui le courant d'idées prépondérant; mais on pourrait croire a priori (pi'il n'est susceptible que de lentes modifications ; je voudrais, par une rapide esquisse des traits les plus importants, du moins à mes yeux, montrer qu'il est au contraire sujet à de brusques variations, soit par suite du travail interne accompli chez chaque érudit, soit en raison du renouvellement continu des savants (jui attirent le plus l'attention par leurs travaux.

Il v a une douzaine d'années, la conception générale de l'histoire des Mathématiques, telle qu'elle se dégage, par exemple, de l'œuvre de Hankel, présentait un caractère qui, jusqu'à un certain point, était marqué au sceau des doctrines de Vévolution, déjà en grande laveur dans les milieux philosophique et scientifique. Les éléments de la Science ont été élaborés, dans une mesure sans doute mal connue, mais certainement considérable; chez les peuples de l'antiquité dont la civilisation a précédé celle de la Grèce. Depuis cette obscure origine, malgré les apparences contraires, le progrès a été incessant; d'abord les Gi'ecs, pais les Hindous, enfin les Arabes; chaque peuple a développé suivant son génie propre, et en donnant tout ce qu'il pouvait donner, des branches spéciales de la Science; l'héritage sacré, fidèlement transmis et successivement accru, arrive aux nations de l'Occident moderne; la diversité

de leurs races, 1 lieurnise nvalilé qu'elles ilépluieni, la r.ipifle (lilTiision chez loiiles des découvertes dues à chacune, scnd)lent tlésonnais assurer cjuc le progrès indélini de l'avenir n'exigera pas, comme dans le passé, de parlielles et successives décadences.

Ainsi, autrefois, aux Grecs la (îéométrie, aux Hindous l'ArillinK'lique et l Algèbre ; la s[)écialilé des aptitudes est netlcmenl tranchée, Uiophante esL à peine un Grec, il n'est pas possible qud n'ait [)oinL subi quelque iniluence orientale; si ses écrits ne nous avaient pas été conservés dans la langue qu'il parlait, personne ne pourrait soupçonner qu ils soient un fruit du génie hellène.

Les deux tendances opposées se réunissent chez les Arabes; ceux-ci s'attachent s[)écialement à l'Astronomie, mais en même temps ils commencent cette longue élaboration qui s'acliè\era à la Renaissance avant d'aboutir à la révolution cartésienne, à l'ouverture de l'ère glorieuse des Mathématiques modernes. Depuis lors, aucun indice ne peut faire soupçonner qu'il nous manque, comme il manquait aux Grecs, quelque élément nécessaire pour la poursuite des travaux mathématiques, et la Science, à jamais rajeunie, pourra toujours nourrir un Ion g- espoir et de rasles pensers.

-i. Rapprochons de cette esquisse sommaire quelques-uns des traits qui se dessinent dans la partie déjà publiée (1880) des l orlesungen de M. Cantor. CeXolume marque en effet d'une façon décisive la transition mesurée de l'ancien au nouveau courant d'idées qui, depuis, va s'accentuant de plus en plus. La conception évolutive s'efface; il n'en subsiste que quelques rares éléments dont l'indiscutable vérité s'adapte au changement du point de vue. La Science, en tant que l'on n'abuse point de son nom, éclôt chez les Grecs, presque brusquement, en tout cas intégralement; après avoir donné des fruits immortels, elle subit un irrécusable déclin, végète plus ou moins misérablement pendant de longs siècles, avant de retrouver sa vitalité primitive et de prendre, dans les temps modernes, un nouvel et définitif essor.

L'explication du papvrus mathématique égvptien par Eisenlohr, le déchiffrement de quelques tablettes chargées d'écritures cunéiformes, nous ont ré\élé des faits curieux et permis de préciser un peu mieux le point de départ des découvertes hellènes; mais.

cil llicsc i^éiiéralc, ces (lucuinciils uni siiif^ulirrciiuMil lahaissc'- 1 oniriioii <jue l'on se (uisaiLcle.s connaissances jnaLluMnalK|ues cliez les l^j;\|)llens el chez les Hal)N Ioniens, c|uoic|ne d'ailleurs la plupart di;s oiienlalisles soienl Inu jours disposés à s'exagérer ces connaissances, cl que nolaninienl IhisLoire des origines de rVslronomie soit encore loin d'èlie sufïisaniment éclaircie.

Quant aux matliémaliciens hindous et arabes, leur élude plus ap|)r()rondie n'a nullement confirmé les thèses de Ilankel : certes, il resle encore bien à apprendre à leur sujel, mais les découvertes, <pii sont encore à l'aire dans leurs écrits, ne semblent |)lus devoir ollrii- un intérêt aussi puissant cpi'on était porté à l'espérer. Plus on les examine, plus ils apparaissent comme dépendants des Grecs cl, malgré quelques inventions heureuses et vraiment originales, restés en moyenne bien inférieures à leurs devanciers sous tous les rapports. J'ajoute que l'on est encore certainement assez loin d'avoir restitué aux Orccs tout ce qui leur a|ipartienl légitimement dans les travaux attribués à leurs héritiers scientifiques. J en veux donner une seule preuve :

De tous les instruments astronomiques des Arabes, étudiés par A. Sédillot et donnés par lui comme étant de leur invention, le plus intéressant est sans contredit \ astrolabe planisphère qui permettait de déterminer l'heure au moyen d'une observation de hauteur sur le Soleil ou sur une étoile, et d'une opération consistant à faire mouvoir l'un sur l'autre deux cercles figurant en projection stérébgraphique, l'un la s[)hère mobile, l'autre la sphère fixe. Cet instrument a d'ailleurs joué un rôle historique d autant plus important que jusqu'à 1 invention des horloges à pendule, les astronomes n'avaient aucun moyen exact pour déterminer l'heure pendant la nuit sans observations des étoiles, et que Vastrolabe planisphère leur permettait de résoudre le problème sans calcul. Or ce même astrolabe se trouve exactement décrit dans un Traité grec (') composé par Jean le grammairien (Philopon)au commencement du vi^ siècle après J.-(^., et la nomenclature grecque des pièces de l'instrument a même été servilement adoptée j)ar les

(') l'iiblii' |);ir IliiM' (Uiii> \c lilieuiisclics Musciini en iS.'iç). iiiiii^ n'cii r'taiil ]i;i plus connu.

\ial)('S. \olre aiilcui- l(^ doiiiir d ailliMirs coninic ("onnu dès le lcin|)s de Plolr-mée, cl ileii ne doit luire supposer cpren lait l'in- M'iilion ail »'l('; d'une date plus récenle ( ' ).

5. Ainsi d est permis tic penser (|U(; la c.uncepLion générale ac- Inellc de riiistoire des Maliiénialiques iia en s'affermissant de plus en plus, au moins |)cndanl une ou deux générations; il est clair d'ailleurs (pi'elle revient très sensiblement à celle qui dominait, d'après iMonUiela, il v a une cin(|uanlaine d'années, vers le moment où Michel Chasles ouvrit une ère nouv<'ilc pour l'étude de cette liistoire.

Je ne fais point celte remarque pour en tirer une conclusion sceptique; bien au contraire, la double évolution que j'ai indiquée n'aurait certainement pu s'accomplir sans la coordination historique d'un nombre considérable de faits inconnus ou mal connus il y a un demi-siècle. Qui ne s'est pas mis au courant du mouvement critique depuis cette époque pourrait croire à quelque découverte capitale, à quelque travail hors ligne capable de changer d'un seul cotq) l'orientation des esprits ; il n'en a rien été :1e mouvement a résulté d'une quantités de faits souvent assez minimes, de discussions minutieuses, d'études de détail et de monographies Iragmentaires,

La véritable conséquence à formuler, c'est que la plus humble contribution ne doit pas être négligée et qu'il ne faut pas se rebuter devant des détails parfois d'apparence fastidieuse; tout au |)lus convient-il d'ajouter une réserve pour ceux qui craignent les inconvénients du trop grand éparpillement des efforts (-); c'est

(') Je soupçonne que le principe en remonte aux Babyloniens, dont on a des r)bservations faites de nuit et marquées en heures temporaires ; scu]emcnl, avant la découverte de la propriété des projections stéréographiques, l'instrument devait consister en une sphère mobile autour d'un axe incliné comme l'axe du monde, (H en un licmisphère creux, fixe et concentrique, analogue à celui des cadrans solaires primitifs. Le nom à^araignée (àpâpyj), donné, dans Vastrolabe planisphère, au cercle représentant la sphère mobile ( parce qu'il était découpé à jour pour permettre d'obtenir les coïncidences avec l'autre cercle, lequel était massif), <tait également le nom donné, d'après Vitruve, au cadran sphérique d'Eudoxe. l-^n tout cas, il ne me paraît pas douteux qu'un instrument analogue n'ait servi, avant l'invention de la Trigonométrie, à résoudre mécaniquement les problèmes de la sphérique.

(-) Le danger fsl \vv\ dmis le vasle dnmaiiic de la f'iiildldgir : dans le cerrle

(iiic le li'a\ aill(Mir l'era bien de Icnii" coniplc des ((tiiranls (Fidres (loiniiianls, des (|iieslions à l'ordi-c du jour, cl de relever ainsi la minulic des détails qu'il rludie.

Mon objet niaiiilenanl va pi-éciséuienl èlre, après avoir inditpu'' les principaux problèuies qui s'imposeul aujourd'liui dans 1 liistoire des Abilliéiuali(|ucs anciennes, de montrer, par quelques exemples, comment leur solution dépend de (juestH)ns qui paraissent, à première vue, d'une importance tout à lait secondaire. On ne s'étonnera pas si je clioisis ces exemples parmi des conjectures que j'ai déjà proposées, et qui, à côté d'adhésions parfois peu espérées, ont rencontré de sérieux contradicteurs. En appelant de nouveau l'attention sur elles, j'ai le ferme espoir soit de ('onvaincre ceux qui les ont rejetées jusqu'à présent, soit de provoquer de leur part des recberclies fécondes pour la vérité.

6. L'histoire n'a pas pour unique objet la satisfaction dune vaine curiosité ; c'est l'avenir que (înalement doit éclairer l'élude du passé. Or un mathématicien, vraiment digne de ce nom, peut-il ne pas se préoccuper parfois du sort futur réservé à la Science à laquelle il s'est consacré? Peut-on vraiment parler de progrès indéfini? Ne Irouvera-t-on pas le tuf un jour, et ne faudra-t-il pas, comme disait Lagrange^ abandonner la mine trop profonde? Certes la question n'est pas urgente; à la vitesse actuelle du progrès, il semble bien que l'on ait au moins deux siècles pour se demander ce qu'il conviendra de faire en pareil cas et comment conserver au mieux les trésors acquis, si l'espoir de les accroître est enfin interdit. Mais d'ici là, quelque bouleversement social ne peut-il entraîner la ruine de la Science? Elle n'a plus, dira-t-on, rien à craindre sérieusement des crises passagères, et toute société un peu stable protégera et encouragera forcément les savants, dont les services sont, de nos jours, non seulement utiles, mais même nécessaires. Cela est incontestable pour les chimistes, les physiciens, et, si l'on veut, aussi les astronomes ; la Mathématique pure sera donc garantie par son utilité dans les sciences de la nature. Mais, si la question d'utilité se pose, n'esl-il pas à craindre que la protection et les en-

malheureusement très restreint qni s'ncriipe de l'iiisldii-p ries Matlit-matique-;, il esl loin d'être à redouter enrorp.

— SI

(•(»iiriii;ciiu'iils ne se hoiiiciil à (.•i-iliimc^ Lriincln's, cl ne (hMiiissciil les aulrcs. précMséniPnl les plus élevées el les plus ahslnises? Suj> posons niaiiileiianl que l'iiisloiic déiiionlre <pie, |)oiir la Seieiiee. Tarrèl tiaiis la iiiiiiciie en a\aiil (''(pii\ aiil, à un iceiil, (pToii ne peut vouloir se borner aux parlies nécessaires ponr les appliealnms. sans arriver peu à peu à négliger de plus en pins la théorie et à n'en conserver finalement que des débris Ion! à l'ail insuflisanls; (pn* (le\ lendraiL dès lors la garanlie de Viililih'? Si le (lani;('i' (pie je signale ici n'est pas imaginaire, peut-on allirmer cpie, comme le premier, il est encore bien loin de nous, et qu'une général ion |)ro(liaine naura pas à s'en préoccu[)er?

On peut voir, devant cesqueslions, quel intér(H majeur présente 1 histoire des Mathématiques anciennes du motnent où elles nous oflrent l'exemple d'une; décadence profonde a[)rès un brillant apogée; et l'on peut affirmer, de ce point de vue, que le x^vfii problème qui s'impose aujourd'hui dans cette histoire est (\(^ pircispiles circonslances ef de déterminer les causes de la décadence passée, en vue de con/antre les précautions éi prendre pour éviter une décadence future.

Je n'ai, bien entendu, aucunement la prétention de résoudr<un problème aussi complexe; je voudrais seulement préciser dans une certaine mesure les diverses questions qu'il soulève, et donner (|nelques indications sur la marche à suivre pour en traiter au moins une.

7. Il est à peine besoin de réiuter sérieusement l'opinion qui attribuerait aux invasions barbares la décadence des sciences grecques. ()uand, au vii*^ siècle, les Arabes entrèrent dans Alexandrie, la glorieuse cité des Ptolémées pouvait avoir encore une école, mais depuis trois cents ans au moins cette école était incapable de produire autre chose que de pales commentateurs des œuvres antiques; si parfois encore ils nous font illusion, nous n'en devons pas moins nous dire que le niveau est déjà tombé aussi bas qu'il le fut en moyenne chez les Byzantins pendant les longs siècles du moyen âge. Un exemple suffira pour le prouver :

Richard Hoche a publié ( i8()4 et iBO;) un commentaire de Jean le grammairien (Philopon) sur Vlntroduction arillimétique <\c Nicomaque et en même temps, pour le premier Livre seulement, T. -^

les iiripdilaiilcs \;iii;mlcs (|iic iiii (lonnail iiiic i-rcdilion de ce commenlaire conLemi dans (iii jnaniiscril di- la l)il)liollièque épiscopale de Zeitz. Pliilopon, (jiioique n'élauL pas parliculièrenient niaihémalicien, élail cerlainement considéré de son leinps comme un savani universel de la |)lus haule valeur; son coniniciilaire doil d'ailleurs reproduite l'ensei^nenienl d'un niaîh'<' éj;alenienl considéiable, et dont la compétence matliémali(|ue était bien reconnue, Ammonius, fils d'Hermias ; il est cependant dilliciie d'imaginer les erreurs grossières qu'il a entassées dans ses volumineuses dissertations. Or ces erreurs sont en général assez bien corrigées dans la réédition de Zeitz, et l'auteur anonyme fait certainement preuve et d'une meilleure intelligence du texte de Nicomaque et de connaissances matliématiques mieux, digérées; Hoclie a bien reconnu qiuî cet auteur était |)Ostérieur à Pliilopon, mais il a pensé que ce j)()uvait être un de ses disciples. 11 n'est rien; le manuscrit n" 2377 du fonds grec de la BiI)liothèque Nationale de Paris contient le même texte avec des annotations marginales (pii établissent que la réédition est due au moine Isaac Argvros, lequel vivait dans la seconde moitic'du xiv'' siècle.

S. La décadence de la Mathématique grecque remonte donc à une époque bien antérieure au vu*^ siècle, et en tous cas on ne peut s'arrêter avant les derniers grands noms que présente l'Ecole d'Alexandrie, ceux de Pappus et de Diophante. C'est l'âge qui précède immédiatement celui de Constantin et du triomphe du christianisme; on a pu dire, avec quelque a])parence de raison, que la ])rofonde révolution qui s'ensuivit fut fatale à la Science; il est certain que dès lors se proposa à l'humanité un idéal tout autre (pie celui qu'avaient fait briller Platon et Aristote, la vie du savant conlemplant la théorie pou/' elle-même. Mais si , depuis la Renaissance, cet idéal retrouvé a gardé d'assez nombreux fidèles, sommesnous assurés qu'une nouvelle révolution sociale ne l'éteindra pas au profit des doctrines utilitaires?

Au reste l'accusation tombe à faux sur le christianisme; comme les barbares n'ont pas eu la peine de faire crouler la société grécoromaine, déjà tombée d'elle-même, le christianisme n'a eu qu'à liquider la banqueroute de la philosophie officielle, après le siècle des Antonins. L'idéal platonicien avait dès longtemps disparu de-

vanl celui tics Sloïcions, utilitaire au fmul et par suite eontraire à la Scienee, malgré les apparences de sa morale sublime. T.a secte du Porlique arriva, il esl vrai, d'assez, lionne heure à rallier assez d'inlelligences pour qu'il lui fallût tenir en quelque honneur les connaissances scientifiques négligées par ses fondateurs; mais ses doctrines ne jiouvaient sérieusement favoriser le développement de ces connaissances, et la suprématie qu'elle oblint semMe avoir été au moins inutile pour la Science, aussi bien (pTellc le fut pour le maintien des inslitutions sociales. Bientôt peut-être l'iilstoire portera sur cette secte, souvent exaltée, un jugement j)lus sévère encore.

()uoi qu'il en soit, ])Our la question qui nous occupe, il s'agit sans contredit d'étudier la période qui remonte depuis Pappus et Diophante jusqu'à l'apogée de la Géométrie grecque, au temps d'Apollonius de Perge. Dans cet intervalle de cinq siècles environ, nn nouveau ])oint de repère nous permet de diviser le problème; la décadence a-t-elle réellement commencé avant l'extension de la domination romaine sur la Grèce et l'Orient hellénisé? \-l-elle au contraire suivi cette extension, qui semblerait dès lors avoir été une des causes déterminantes de cette décadence?

Actuellement la question est très obscure ; a priori, la perte de Tindépendance pour les Etats hellènes, la domination d'un pcu|)le dont le génie pratique n'a jamais pu se plier aux abstractions scientifiques, ont du porter un coup funeste aux étucîes mathématiques sérieuses; mais on peut diie d'un autre côté que, les ruines de la conquête une fois réparée^, les pays grecs purent profiter des bienfaits d'une longue paix cpii leur avait toujours manqué, que les Romains reconnurent de très bonne heure la supériorité intellectuelle de la race hellène, et que les études scientifiques retrouvèrent bien vite une protection très largement suffisante. Enliii l'histoire montre que, malgré leur défaite momentanée, les Grecs possédaient encore plus de vitalité que les Romains.

V). Il n'est d ailleurs ni établi historiquement, ni unanimement reconnu que le niveau moyen de la Science pendant la période gréco-romaine ait été inférieur à celui de la période gréco-alexandrine. C'est en ces termes que peut se préciser la première question à résoudre, et, pour l'étudier, il convient de dresser séparé-

riiciil le l)il;iii pour clincune des branches principales à considérer: Vrillmiéliqiic. Ali;rhre, Géométrie élémentaire, (jéoméli'ie supérieure, \stronomie.

Pour r \ritliiMéLi(|uc, la cpieslioii. je crois, est aujoui-d'liui hieii Iranchéc; j)crsounc ue peut |)lus considérer comme des autf-urs ori<;inau\, ainsi que le Taisait >iesselmann, de pseudo-niatliématiciens^ tels que Nicomaque ouTliéon de Smvrtx". Les connaissances qu'ils nous ont transmises appartiennent en lotalilé soit à la période purement hellène, soit à la période alexandrine; si la forme de l'exposition est leur propriété, elle constitue un symptôme irrécusable de décadence. L' Arilhméliipie théorique n'a été cultivée scieutiliquement chez les anciens qu'avec ra})|)areil géométrique euclidien, et comme travail de ce genre postérieur à notre ère. nous ne connaissons que l'opuscule des nombres polygones de Diophante, essai incontestablement malheureux.

En ce qui concerne l'Astronomie, la question de supériorité a été très vivement controversée entre Hipparqueet Ptolémée; mais elle ollre, pour le problème qui nous occupe, moins d'intérèl qu'on ne pourrait le penser tout d'abord ; l'Astronomie comporte en ellet deux sortes d'éléments, les uns empruntés à l'observation, les autres à la théorie; pour les premiers, l'astronome le plus récent a toujours l'avantage; Ptolémée a donc incontestablement réalisé des progrès sur Hipparque, de même que les Arabes en ont réalisé sur lui; la question à résoudre pourrait être de savoir si les uns ou les autres ont bien tiré des matériaux dont ils disposaient tout le parti possible; mais nous ne sommes encore capables d'v répondre sérieusement ni pour Hipparque, ni pour Ptolémée, ni pour les Arabes, et en tout cas la réponse n'aurait pas de portée réelle en ce qui concerne la Mathématique pure. Quanta la partie théorique du svstème de Ptolémée, on est d'accord pour reconnaître qu'elle appartient, comme fond, aux premiers Alexandrins ; la théorie des épicvcles et la Trigonométrie remontent à Apollonius et à Hipparque. Toutefois il reste nombre de points secondaires à éclaircir, et en tout cas une histoire réelle de la sphérique ancienne est à peu près entièrement à faire.

Pourl" Vlgèbreetla Géométrie supérieure! Diophante et Pappus), la question est au contraire particulièrement grave et passablement obscure; à la \érité, personne ne soutiendrait plus les paradoxes

(le lliiiilvcl ([lie |(' rii|»|)cl;iis loiil ;"i I luuiii', cl I (tii :i rciim eissez il'iiulices pour cire assure que les [irohlètnes Irailés |t:ir Dioplianlc lui sOQl en réalilé hieii anlérieurs: Pappus, d'aulr*- |)arl, nous a laissé un recueil précieux, mais ipii iicsl, eu lail, (pi'uuc conipilation de Iravaux renioiilauL pour la pluparl à une dale anléricuie à l'ère clirélicnui;. Ces deux couleuiporaïus paraissent ainsi avoir obéi au même rnouvenicul cpii, à leurépo(pii',aprcs la cliulcdu stoïcisme ofiiciel, ramenait les philosophes vers les sources antifpies, et donnait ainsi la passa<^ère illusion d'une renaissance bientôt condamnée à l'avortenient. Il n'en est pas moins vrai que le degré d'originalité de DiophariLe reste incertain, de même que le degré tle nouveauté de ses méthodes et de ses notations. Pour être résolues, les questions qu'il soulève réclament de longues discussions et avant tout la publication d'une édition critique de son Ouvrage. Je crois devoir d'autant plus préciser ainsi l'état actuel du problème, que mon opinion personnelle est mieux arrêtée sur le peu de valeur propre de Diophante, et que cette opinion a été plus favorablement accueillie jusqu'à présent, malgré le délaut de preuves pérenqotoircs.

Pour Pappus, nous possédons désormais ce c[ui manque pour Diophante, une bonne édition, celle de Hultsch ; mais il reste à l'étudier à fond, ce qui demandera des efforts soutenus et répétés, car la mine à exploiter sera difficilement épuisée. Les travaux de (jéométrie entre Apollonius et Pappus sont en fait très peu connus, et leur caractère s'apprécie aussi mal que leur importance; si, après les Coniques du géomètre de Perge, il n'est paru aucun Ouvrage (]ui soit devenu classique, le sort qui attendait ses successeurs a peut-être eu son niotil dans le déclin des études plutôt tpie dans l'imperfection de l'œuvre. D'un autre côté, il est certain que les traités classiques d'anaivse géométrique ont été l'objet, après leur rédaction, de travaux approfondis qui avaient au moins pour biil de faciliter l'étude des matières dont traitaient ces Ouvrages. I^es indications que Pappus donne sur ces travaux, les lemmes qu'il en a tirés, doivent être soigneusement examinés pour déterminer (pi(ds |)rogrès réels ont pu êlre réalisés.

10. Ainsi, des cinq branches cpie nous avons dislingui'es dans la Science, (\('\\\ soul à nieltre iuji's de com|)te; deux autres présentenl pniir Icm hisloirr des diCdcullés majeures (pu ix' pernid-

Iciil. |i;is (rcsiK'icr iiiic pioiiiplc soliilioii, cii (:<■ (|iii li's coiicciiic. (lu problème que j'ai |)Osé. lleureusemcnl, pour la (-iiupiiruif hraiiclic, il u'eti est f)as ainsi.

Pour la ( i(''0!ii(;Lrie élénienlaire eu eircl, eu r('i;ar(l de roMivic (l'iMielide, nous |)Osséilous le Cdinmenlairc sur I:' jireinier Li\r(\ écrit au v*^ siècle après .l.-C par Proclus, clief de l'Ecole d'AihèiK's. S'il esl possible de déinonlrer, par l'examen de ce comrucnlaire, qu'aucune idée nouvelle n'a él- émise sur les pi-incipes de la Science, depuis le premier siècle avant l'ère c lire lie une jusqu'à Proclus, la question sera trancliée pour la branche qui nous occupe, comme elle l'est, avons-nous diL, pour !" Viillimélique théorique, et il est clair que pour toute la période correspondante, il \ aura un motif suffisant de préjnger défavorablement ce (jui concerne les branches supérieures; alors que les cléments sont négligés, il n'est guère à penser que des progrès se réalisent plus haut.

Le Commentaire de Proclus peut être divisé en deux Parties bien distinctes : la première, après un double prologue consacré à des considérations générales, d'abord sur l'ensemble des Mathématiques, puis sur la Géométrie en parlicidier, traite des définilions^ des postulats et des axiomes; la seconde Partie commente les propositions du Livre J d'Euclide. Or j'ai déjà avancé à diverses reprises que Proclus avait enq^riinté à très peu près tout ce (pii est réellement mathématique dans son commentaire, pour la première partie à Geminus, auteur du i*"' siècle avant l'ère chrétienne, pour la seconde à Por|)hyre, qui, au lii'^ siècle après J.-C., avait commencé à écrire sur les propositions d'Euclide. Si cette double thèse était établie, il ne resterait qu'à constater, ce qui esl lacile, que le commentaire relatif aux propositions ne présente aucun intérêt réel au point de vue mathématique.

Hei berg (PA/Zo/o ^'7/.ç, XLTII, 2, p. 345) m'a objecté que j'estimais trop peu Proclus et que j'exagérais en le qualifiant de copiste infatigable. Nous avons cependant un témoignage bien connu depuis longtemps de la façon dont notre philosophe entendait la rédaction d'ouvrages mathématiques : c'est le Traité De la sphère de Proclus, c'est-à-dire une copie textuelle des chapitres IH, IV, XM et 11 de V Introduction aux plténomènes qui nous reste, précisément de ce Geminus si souvent cité dans la pieunèrc partir du Commentaire sur Euclide.

Mais je sul> le premier à reconnaître ([iic ce téaioignage n'ot

|)iis siillisanl |iour élHljlir scrleuscmenl lu conjecliirc que jai t'niise ; »|iiel est trailleurs l'inlérrl de ceUo conjecture, peut-être d'apparence assez insignifiante de prime abord, je crois l'avoir suffisainrnent montré; comment donc la di-^ciiler à fond? Il faut procéder à une analyse complète, à un examen circonstancié de l'Ouvrage de Proclus, et faire, en procédant suivant les règles de la critique, le départ entre ce qui peut lui appartenir et ce qu'il a dû emprunter à autrui. On reconnaîtra sans aucun doute que Proclus n'est pas simplement un copiste, que de longs développements sont bien de son propre cru; mais on s'apercevra également que son originalité ne s'exerce que sur les questions qu'il considère comme toucbanl la Philosophie, qu'en somme pour nous, elle n'a (pi'une conséquence Jàcheuse, c'est que ce qui nous intéresse vraiment, se trouve no\é dans un fatras ])seudo-philosophique dont nous n'avons que faire.

11. Le travail dont jindique le plan peut sembler devoir être fastidieux dans ses détails, surtout à cause de cet élément néoplatonicien introduit par Proclus dans les questions mathématiques, et qu'il s'agit décarter. Mais ce travail n'en est pas moins nécessaire, si l'on veut vraiment résoudre les problèmes posés ; d'ailleurs il offrira un attrait spécial qui suffirait à lui seul pour soutenir lattention.

Proclus est en fait la source capitale pour l'histoire de la Géométrie chez les Grecs; en excejjtant Pappus, c'est-à-dire la géométrie supérieure, on ne trouve en dehors de lui qu'un petit nombre de documents épars, qu'il serait absolument impossible de coordonner s'il nous manquait. Dès lors la question de savoir où il puise ses renseignements historiques est une des plus graves qui se présentent pour le critique.

Que Proclus n'ait connu par lui-même aucun Ouvrage géomé- Irique antérieur à Euclide, c'est un point unanimement concédé; mais qu'il n'ait pas même utilisé directement Vhistoire géométrique composée un peu avant Euclide par le disciple d'Aristote, l'Ludème de Pihodes, alors qu'il le cite assez fréquemment, je crois a voir été le premier à soutenir cette thèse (').Helberg(/or.r//.. p. 492),

(' ) Sur les fragments d'Eudème de Bltodes relatifs à l'histoire des Mat/iematiques {Annales de la Faculté des Lettres de Bordeaux. ilSS.!).

fil ht <l('cl;ii'iinl iii^iiHisaiiimciil loiidrc, rt'iiiarfjiu- lit'> iiisloinciil qu'elle dépend d'une queslion plus importanle, dil-il, mais troj» peu débattue, celle de savoir ce que les derniers siècles de l'antiquité possédaient encore de l'ensemble des écrits plus anciens.

La f^ravité de cette dernière question n'écbappera à personne; mais il est clair que, si elle touche la Philologie en général, elle ne peut être résolue que par des travaux spéciaux pour les dillérentes branches de la littérature. L'historien des Mathématiques n'a pas à se préoccuper de savoir au juste (|uels poètes, perdus pour nous, Proclus pouvait encore hre; il lui suilît de savoir, en thèse générale, que, dès le \" siècle de notre ère, des Ouvrages qui, cependani, avaient dû rester longtemps accessibles, étaient désormais introuvables; mais, ce point incontestable étant bien admis, il ne peut se dérober devant la tâche qui lui incombe, de discerner si Proclus a, en réalité, directement puisé à telle source antique.

La question ne peut être résolue autrement que [)ar l'élude approfondie du Coninienlaire sur Euclide ; c'est seulement après s'être familiarisé avec les procédés de Proclus qu'il est possible de juger quand il lait une citation de première ou de seconde main. Le problème se rattache d'ailleurs à ceux c[ue j'ai posés plus haut; car, à partir du moment où une œuvre aussi intéressante pour le mathématicien que celle d'Eudème a commencé à être négligée, où son autorité n'a plus été invoquée que sur la foi d'autrui, il est bien à présumer que la Science était déjà sur la pente de l'irrémédiable déclin; mais, en même temps, la question se transforme et s'élargit.

Il ne s'agit de rien moins, en fait, que de la tradition de l'histoire de la Géométrie chez les Grecs; comment et sur quels documents a-t-elle été composée à l'origine, avec quelle fidélité a-t-elle été transmise, quel degré de probabilité présente donc cliacune des données de cette histoire, voilà en effet quels problèmes soulèvera à chaque instant l'étude du Commentaire dû à Proclus. 11 est clair, par exemple, que tel texte, relatif aux temps avant Euclide, prendra une signification toute différente, suivant que l'on devra le considérer comme emprunté à Eudème, ou comme, au contraire, venant de Geu)inus; dans certains cas même, l'interprétation littérale pourra changer.

Le travail, ainsi conçu, ne pourra évidemment se borner à Proclus. quoique ce dernier doive toujours fournir, et de beaucoup.

la somiiic (le inalriiaiix la plus coiisidcialtlc. (hn' ce liavail soil (railleurs iiulis|iciisahlc cl tloivc précéder lout essai d'une liisloirc véritahle et réelle de la Géomélrie, il est à peine utile de le faire remarquer; il s'agit de Tapplicalion d'une des règles les plus élémentaires delà critique; cependant^ ce sujet n'a pas encore été traité d'une façon systématique, et, par suite, il est presque neuf. Sans doute, lorsque Bretsclineider (') a recueilli soigneusement les documents relatifs à la période préeuclidienne, si mal traitée dans Montucla, il lui a bien fallu discuter la valeur de chacun de ces documents; c'est bien aussi ce que lait aujourd'hui, plus com- })lètement et plus judicieusement, G.-J. Allman, qui a repris la lâche de Brelschneider (-). Mais l'examen critique a toujours porté, en thèse générale, plutôt sur les documents considérés en eux-mêmes, dans leur probabilité intrinsèque, que sur leur origine réelle et sur leur filiation. 11 y a là un point de \ue important, qui jusqu'à présent, a été trop négligé.

(') Die Géométrie uncl die Geometer vor Euklid, F^eipzig;. iS-o. (-) Greek Geometry front Thaïes to Eiiclid piiljliée dans V llernialhena (I>iil)lin, vol. lit, 1877; '^^ '8î^i; ^'' "" 1^'' '''^^i: "" "' '''^*^'')-