CHAPITRE m

Le classement des Mathématiques, d'après Gemiiius.

1. La queslloii du classement des Matliénialicpies dans ranli- (jiiiLc peut, au premier al)or.d, paraître étrangère à l'histoire de la Géométrie proprement dite; elle s'y rattache cependant par des liens étroits, car d'un coté la forme de démonstration géométrique étant la seule connue des anciens pour la Science, ils roiit employée dans toutes les branches ; d'autre part, leurs écrits sur les applications renfermaient souvent des théorèmes ou des problèmes purement théoriques, dont plusieurs nous sont parvenus seulement par cette voie.

L'historien de la Géométrie grecque a donc à préciser, en faisant abstraction de la forme des Ouvrages mathématiques, ce qui était considéré comme Géométrie, ce qui au contraire étaitregardé comme appartenante une autre branche de la Science, Il a aussi à dresser le bilan des Ouvrages conservés ou perdus, qui, quoique étrangers à la Géométrie au sens restreint du mot, intéressent son histoire, considérée au sens général. Il doit donc aborder celte question du classement des Mathématiques dans l'antiquité, et, eu égard à l'importance qu'elle présente par elle-même, il sera facilement entraîné à la traiter dans toute son extension.

Je donne ci-après la traduction de l'extrait de Geminus inséré par Proclus sur cette question dans la première partie du prologue du Commentaire sur Euclide. J'en rapprocherai ensuite les fragments relatifs au même sujet, qui se rencontrent dans les Variœ collectiones àc l'édition de Héron par Hultscii, et je présenterai quelques observations sur les conclusions à tirer de ces rapprochements.

Extrait de Geminus {Proclus, p. 38,1-43,8).

« Tel est le discours des Pythagoriciens et leur distinction des quatre sciences. Un autre mode de division de la Mathématique

- ao -

a clé adoplé par d'aulios, par exemple Gcniimis; ils considèrent, d'une part, celle qui concerne seulement les clioses intelligibles; de l'autre, celle qui concerne les choses sensibles. Les choses intelligibles sont d adleurs pour eux hs objets de contemplation fpie l'âme éveille en elle-même, en s'élevant au-dessus des espèces matérielles. La Alathémalique qui traite des choses intelligibles comprend, d'autre part, d'après eux, deux parties qui sont premières et principales, l'Arithmétique et la Géométrie; pour les choses sensibles, il y a six parties, la Mécanique, l'Astrologie, rOptique, la Géodésie, la Canonique, la Logistique.

» Quant à la Tactique, ils ne pensent pas qu'on doive la regarder, ainsi que d'autres le font, comme formant une partie de la Mathématique ; seulement elle se sert tantôt de la Logistique, comme pour le dénombrement des troupes ( * ), tantôt de la Géodésie, comme pour les divisions et mesures des surfaces. Mais de même et a fortiori, ni l'Histoire, ni la Médecine ne sont des branches de la IMalhématique, quoique les historiens emploient souvent des théorèmes mathématiques, alors qu'ils parlent de la situation des climats ou qu'ils calculent la grandeur des villes, leur diamètre ou leur enceinte (-), quoique les médecins éclaircissent aussi par des moyens semblables les questions qui sont de leur ressort. L'utilité de l'Astrologie en médecine est assez évidente chez Hippocrate, et chez tous ceux qui ont parlé des saisons et des contrées. De même donc, le tacticien se sert des théorèmes de Mathématiques, mais n'est pas un mathématicien pour ranger ses troupes en cercle (•'), s'il veut faire paraître leur nombre aussi |)etit que possible, ou bien pour les disposer autrement afin de les faire paraître plus nombreuses, que ce soit en carré, en pentagone ou suivant quelque autre polygone.

» Telles sont les différentes branches de l'ensemble de la Mathématique. La Géométrie se divise à son tour en théorie du plan et en stéréométrie ; car elle ne peut avoir une partie qui traite en particulier des points et des lignes, en tant qu'on ne peut former

(') L. 16: Je lis lôyoyj au lieu de Xoywv.

{') L. 22-23 : -/al ôia[jL£ipojç y) uEpiaéxpoijç est à supprimei' comme une seconde leçon, au lieu de xai ûta[A£Tpou; v) 7r£pip6).0"ji;.

(') I^reuve que la lliéorie des isopérimètrcs élail bien connue dés longtemps avant Geminus.

avec CCS éléments quelque figure qui ne soit ou plane ou solide. Or, en général, l'œuvre do la Géomélrie consiste à construire des figures planes et solides, ou bien à comparer ou à diviser les figures construites.

» L'Arilhméti(|ue se divise de même en théorie des nombres linéaires, théorie des nombres plans, et théorie des nombres solides; elle considère en effet les espèces du nombre en ellesmêmes dans leur progression à partir de l'unité, la génération des nombres semblables el dissemblables ('), et les augmentations suivant la troisième dimension.

)) La Géodésie et la Logistique sont analogues aux branches pi'écédenles ; seulement, au lieu de traiter des nombres ou des figures intelligibles, elles s'occupent des sensibles; car l'œuvre de la Géodésie ne consiste pas à mesurer le cône ou le cylindre, mais bien les monceaux comme cônes ou les puits comme cylindres; les droites qu'elle emploie ne sont pas intelligibles, mais sensibles, tout en étant d'ailleurs, par rapport aux intelligibles, des représentations tantôt plus exactes, comme les rayons du soleil, tantôt plus grossières, comme des cordeaux ou des règles.

)) De même le logisticien ne considère pas les propriétés des nombres en eux-mêmes, mais sur les choses sensibles, d'où vient qu'il leur donne des noms d'après les objets qu'ils dénombrent, les appelant, par exemple, méliles (de pommes) ou phialites (de fioles). D'autre part, il n'admet pas, comme le fait l'arithméticien, qu'il y ait un minimum, à moins que ce ne soit pour quelque genre spécial; ainsi un homme, par rapport à une multitude, sera pour lui une mesure et comme est l'unité.

)) A leur tour l'Optique et la Canonique dérivent de la Géométrie et de l'Arithmétique. La première emploie les lignes de vision et les angles qu'elles forment. Les subdivisions sont : l'Optique proprement dite, qui rend compte des erreurs dues à la distance dans les apparences des objets vus, par exemple de la convergence des parallèles ou de l'arrondissement des carrés en cercles; la Catoptrique, consacrée tout entière aux réflexions sur

(■) Des carrés et des hctéromèques — n{ii^ i). Voir .lamhliquc sur Nicomaque (ii5,rf). Ce rapprochement permet tle considérer Gemiiiiis comme une des sources utilisées par Jamblique.

les miroirs de loule sorle, el à l'étude comjDliquée des images; la Scénogrdphifjdc, comme on l'appelle, qui montre à faire des dessins représentant des objets à différentes distances et différentes hauteurs, tout en conservant, pour la vue, la proportion et la forme de ces objets.

» Quant à la Canonique, elle étudie les rapports expérimentaux des longueurs harmoniques et recherche les divisions des canons ( * ), en employant toujours les sens et, comme le dit Platon, en mettant l'oreille avant l'intelligence.

» Vient ensuite ce qu'on appelle la Mécanique, partie de l'étude des objets sensibles et matériels; sous elle se rangent : Vorganopœïqiie, pour la construction des engins propres à la guerre, comme ceux qu'inventa, dit-on, Archimède pour défendre Syracuse assiégée; la thaumatopœïque [construction d'artifices merveilleux], soit qu'elle emploie ingénieusementles mouvements de l'air, comme dans les Traités de Ctésibios et de Héron, soit qu'au moven de poids (dont le mouvement est du au défaut d'équilibre, et l'immobilité à l'équilibre, suivant les distinctions du Timée), ou encore par des fds ou fibres, elle imite les mouvements et les actions des êtres animés.

» La Mécanique comprend encore la connaissance de l'équilibre en général, et de ce qu'on appelle les centres de gravité; la sphéropée qui imite les révolutions célestes, que, par exemple, Archimède a traitée ; en un mot, toute la cinétique de la matière.

» Enfin l'Astrologie s'occupe des mouvements du monde, des grandeurs et des formes des corps célestes, de leur éclairement et de leurs distances à la Terre, ainsi que de toutes les questions semblables; elle emprunte beaucoup à l'expérience des sens et, d'autre part, a beaucoup de rapport avec la Théorie physique. Elle a comme parties : la Gnonionique, qui s'occupe delà détermination de l'heure au moyen des gnomons ; la Méléoroscopique , qui recherche les différentes hauteurs et distances des astres et enseigne nombre d'autres théorèmes variés d'Astrologie; la Dioptrique, qui, au moyen d'instruments propres, enseigne les positions du Soleil, de la Lune et des différents astres {-).

(') Règles servant à mesurer les longueurs des cordes de lu lyre. (^) P. 42, \. \: z 7.Tzoyâ.c„ c'esL-à-dire àTio"/â;, corrigé en i%oy%^ qui doit cire la T. G

» Voilà co f|ue j';ii cnipninh' aux ('-crils des anciens sur les brandies de la Mallu'inali(|ue (*). »

3. Une seule ohjeclion peut èlr(! l'aile conlre raLlrihulion à Geniinus des renseiynemenLs fournis par l'exlrail qui précède (^). La dernière phrase de Proclus parle de plusieurs écrits où ilaurail, puisé; on peul, il est vrai, y comprendre ceux qui exposaient la doctrine pythagoricienne. Mais, au début de l'extrait, Proclus oppose précisément à ces derniers auteurs d'autres (parmi lesquels Geniinus). IS'a-t-il donc pas mélangé, dans cet Extrait même, ce qu'il trouvait dans plusieurs écrits différents? Quels, pouvaient être ces écrits, en dehors de celui de Geminus?

11 n'y a pas en réalité à se préoccuper beaucoup de ces questions. Si Proclus avait possédé un auteur plus ancien que Geminus, il auraitsansdoute fait appela sonautorité ou au moins citésonnom : quant à de plus récents, s'ils donnaient le même classement, c'est sans doute qu'ils l'avaient copié, et dès lors Proclus a dû de préférence recourir à Geminus, comme étant la véritable source.

Nous pouvons dans une certaine mesure contrôler cette assertion; il existe en effet un auteur qui, sur le classement des Mathématiques, a suivi Geminus; c'est Anatolius (•'), celui sous le nom

véritable leçon. \Jépocjue était, à proprement parler, le lieu du zodiaque occupé par une planète, ce qui revient à la longitude astronomicjue.

(') Voici la citation unique de Geminus par Pappus (102G), citation qui se rapporte à la Mécanique :

« Tous ces elTets ont été connus, dit-on, dans leur cause et dans leur raison, par Archimède de Syracuse; il est le seul homme connu qui ait su appliquer à toutes choses les dons variés de sa nature et de son génie d'invention, comme le dit Geminus le mathématicien dans son Livre Sur le classement des Mathématiques. »

(^) Il est inutile de faire remarquer quelques phrases comme celles oii JMaton est cité, et qui doivent être évidemment attribuées à Proclus lui-même, non à Geminus.

(^) Anatolius d'Alexandrie, d'après Eusèbe {I/ist. eccl., VII, 3:2,6), fut chrétien, mais en même temps un des hommes les plus signalés de son temps par ses connaissances en Arithmétique, en Géométrie, en Astronomie, comme en général dans la Philosophie hellénique; il occupa à Alexandrie la chaire de l'enseignement aristotélique et s'y trouvait lors de la guerre civile sous Gallien. Un peu plus tard, sous Aurélien, il devint évèque de Laodicée de Syrie. Rien n'empêche de le regarder comme ayant été le maître de Jamblique (d'après Eunape), et comme l'auteur des fragments qui portent son nom dans les Tkéologoumènes arithmétiques; car, au m" siècle, les chrétiens jouissaient à Alexandrie d'une to-

duquel soiil iiiscrils les dciiiicrs li;iL;in(iil.s (-() — 86) des I iirid' rollrctionrs ; ces (ra^iueiils concorncnl : — yc), la pliilosopliie dans son ensemble, lliéori(|ue el |>ralif|ue; — 80, l'oi'ij^ine du lernie tie Malhénialique ; — (Si, la délinilion de la Malhémaliquc ; — 82, sa subdivision ; — 83, les rapports de ses diilerentes branches; — 84, rhvpolhèse, soit comme principe de la Mathématique, soit dans les autres acceptions du mol; — 85, Timporlance attachée par Pythagore à rArillinu;li(juc ; — 86, le but de l'Arithmétique.

Or il est facile de reconnaître, en thèse générale, sur ces divers fragments ('), que Proclus n'a pas utilisé Anatolius, quoiqu'il dut le connaître et le comprendre parmi ceux qui suivaient la classification de Geminus. Il y a donc probabilité suffisante que ce dernier est bien la source unique de l'Extrait que je viens de traduire.

4. J'arrive maintenant aux autres fragments des Variœ collectioncs (5 — 17.) qui ont été attribués à Geminus; ils concernent : — 5, la définition de la Géométrie; — (), la notion du continu ; — y, les trois dimensions des corps; — 8, le but de la Géométrie; — 9, la Logistique; — 10, sa matière; — 11, la Géodésie; — 12, sa matière.

Il est évident à première vue que celle série semble faire suite aux fragments d'Anatolius, et il est à noter que le fragment 8 suppose comme antérieur un fragment analogue au 8fi (-).

Pour examiner si cette apparence n'est pas illusoire, il faut considérer comment est constituée cette compilation des Variœ collectiones. Elle suit dans les manuscrits le Traité des Définitions géoniêlriqiies du pseudo-Héron (■*), commence par un l'ragment

iérance aussi complète que possible, et y vivaient en bons termes avec les païens; l'hostilité des deux religions ne s'est accusée qu'après les massacres de Dioclétien. Si le témoignage d'Eusèbe est exact sur la situation d'Anatolius comme professeur laïque à Alexandrie, Jaml>liquc a très bien pu suivre ses leçons; d'autre part, un chrétien dans cette situation pouvait très bien compiler, pour un simple intérêt (l'érudition, les écrits mystiques des Pythagoriciens sur les dix premiers nombres, et les réunir dans dix Livres d' Introductions arithmétiques.

(') Comparer notamment le Cr. 80 avec Proclus, p. 45.

{') Je reviendrai sur l'origine de cette compilation particulière.

(^) Fr. 8. « I^c but de la Géoiijétrie est analogue à celui de l'Aritiimétique, si

(i — 'i) qui d(''rivc des Métriques de Héron, — énuniéralion des figures qui y élaicnl traitées, — continue (3-4) par les postulats et les axiomes d'Euclide. Après la série attribuée à Geminus, viennent deux fragments (i3 — 14) sur l'Optique, qui se retrouvent dans le petit Traité de Damianos (tou 'HXtoSoipou), et que Hultscli a regardés comme tirés des Catoptriques de Héron ; suit un court abrégé (i5) de la Notice historique de Proclus sur la Géométrie, puis (i6 — 78), dans un désordre complet, de très nombreux fragments du Commentaire de Proclus sur Euclide (prologue et partie relative aux définitions et axiomes); après ces fragments mêlés de quelques rares intercalations d'origine inconnue ('), on rencontre la série provenant d'Anatolius, enfin, terminant le tout, la Notice historique sur l'Astronomie, extraite par Théon de Smyrne de l'Ouvrage du platonicien Dercyllidas.

Il semble bien, d'après ce résumé, que le compilateur a pu n'utiliser en fait qu'Anatolius et Proclus, prenant d'abord du premier ce qui lui paraissait intéresser la Géométrie, passant au second, puis reprenant dans le premier la partie antérieure qu'il avait sautée; de même, en faisant ses extraits de Proclus, il est souvent revenu sur ses pas.

Geminus a certainement dû traiter des mêmes matières que les fragments 5 — i4 ; mais Anatolius est dans le même cas (-), et s'il a utilisé Geminus, cela suffit pour expliquer les ressemblances de ces fragments avec l'extrait de Proclus.

Contre l'attribution à Geminus, on peut faire observer :

1° Que ce dernier ne semble point avoir cherché, pour définir

ce n'est qu'elle cherche à comprendre ce (jui arrive à l'essence non pas discrète, mais bien continue. »

Fr. 86. « Le butque poursuit l'Arithmétique est principalement la contemplation scientifique (il n'y a pas de but plus grand ni plus beau), accessoirement la compréhension d'ensemble de tout ce qui arrive à l'essence discrète ».

(') Les plus importantes de ces intercalations, qui concernent les définitions des Livres V et X des Éléments, peuvent provenir de la partie perdue du commentaire de Proclus.

( = ) 11 avait laissé, dit Eusèbe (VII, Sa, 20), des Introductions arithmétiques en dix Livres et d'autres preuves de sa science, très nombreuses (VII, Sa, i3); l'Ouvrage dont nous avons ici des extraits doit avoir été composé en dehors du Traite arithmétique; en tous cas, après avoir énuméré les parties de la science ( fr. 82). il devait parler de chacune d'elles; il annonce même de plus amples détails.

les difTérenles sciences, des formules bien précises, comme celles des rraj;nients on queslion; du moins on ne retrouve rien de semblable dans l'roclus, et ces délinilions n'ont aucun caractère qui indique la main de Geminus ( ' ) ;

2" Que le fragment 6, sur le continu, n'a guère de rapport avec le passage où Proclus (p. 278, 12-26) cite nommément Geminus sur la même queslion ;

3" Que le début du fragment 3 (qui porte d'ailleurs la mention Evtot cf-actv, quelques-uns disent) semble bien indigne de Geminus (^).

Je crois au contraire que le fragment sur l'Optique, quelle que puisse y être la part des Catoptriqaes de Héron, a passé par l'intermédiaire de Geminus, auquel Anatolius a pu l'emprunter plus ou moins fidèlement. Au moins j'y retrouve, dans la distinction entre l'hypothèse mathématique et les explications physiques relatives aux phénomènes de la vision, le même ordre d'idées que dans le fragment de V Exégèse des météorologiques de Posidonius, que Simplicius nous a conservé. D'autre part, l'opinion que l'are-enciel est dû à une simple réflexion, paraît avoir été propre à Posidonius et à Geminus.

Quant aux deux Notices historiques, il est possible qu'elles viennent aussi toutes deux d'Anatolius qui les aurait empruntées, l'une à Geminus, l'autre à Théon de Smyrne.

o. Quoi qu'il en soit, je vais maintenant aborder la comparaison, avec l'extrait de Geminus fait par Proclus, des fragments que je considère comme appartenant à Anatolius.

Il est clair que, dans la première énuniératlon des branches de la

(') Je me contente de traduire celle de la Géométrie (fr. 5 = scholicsur le Char. mide, p. 5i2, 02). « La Géométrie est la science théorétirjue des grandeurs et des figures, ainsi que des surfaces et lignes qui les déterminent et les limitent, et avec leurs accidents (7iâf)r|) et manières d'être (<j-/£(7£t;), les propriétés de leurs formes réalisées et les natures des mouvements qui les engendrent. On désigne sous le nom d'accident ce qui concerne les divisions; sous celui de manières d'être les rapports des grandeurs entre elles et les situations, soit que nous les considérions en elles-mêmes, soit que nous les comparions réciproquement. »

{') « Quelques-uns disent que les principes de la Géométrie sont les dimensions du corps mathématique. »

— iG —

Science ap|)lif[iu''C, Procliis n'a pas suivi Tordre loqi(|iic. Analoliiis donne le suivant, qui concorde nneux avec l'enseinhle de Texlrail : Logislique, Géodésie, Optique, Canonique, Mécanique, Astronomie, et remarque, ce qui paraît bien d'accord avec les idées de Geminus, que la Logistique et la Canonique ont plus de rapport avec rAritlimélicjtic, la Géodésie et l'Optique avec la Géométrie, (juc la Mécanique et l'Astrologie en ont également avec les deux sciences pures.

Anatolius, avec la Tactique, exclut d'autre part l'arcliitectoni(juc, la musique vulgaire, ce qui concerne les phases, enfin ce (ju'il appelle xo (/.rj/avixdv, c'cst-à-dirc la Mécanique appliquée.

Sur les deux derniers points, il paraît en désaccord avec Geminus; ce qui concerne les phases désigne évidemment les prédictions météorologiques liées aux levers et couchers apparents des étoiles, comme dans le petit Traité de Ptolémée : «Pâaei; àTCÀavwv, puisque les prédictions de ces levers cl couchers sont certainement affaire de Mathématiques. H y a donc là, semble-t-il, négation d'une possibilité de prédire le temps d'après un système auquel Geminus croyait dans une certaine mesure, et sur lequel il s'est longuement expliqué dans son Introduction aux phénomènes. Quant à la Mécanique pratique, Anatolius paraît en contradiction aussi bien avec l'extrait de Geminus qu'avec le Liv. VIII de Pappus.

En tout cas, la classification de Geminus, malgré son caractère plus empirique que rationnel, est plus satisfaisante que l'incomplète division des Pythagoriciens. Elle s'en distingue d'ailleurs non moins par l'adjonction de quatre branches non reconnues dans cette division. Logistique, Géodésie, Optique, Mécanique, que par le changement de nom de deux des sciences qui y figuraient; la Musique est réduite à la Canonique, c'est-à-dire à sa partie purement mathématique; à la Sphériquc se substitue l'Asti'ologie, c'est-à-dire que la théorie de la sphère est conçue comme devant être constituée indépendamment de ses applications aux mouvements célestes, comme devant former une partie intégrante de la Géométrie. A la vérité, cette conception n'a pas été réalisée dans l'antiquité, mais elle n'en est que plus remarquable.