LIVRE SECOND

condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu'il arrive en cet exemple, tous les points d'une même ligne peuvent être pris pour celui qui est demandé : et si cette ligne est droite ou circulaire, on la nomme un lieu plan; mais si c'est une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme un lieu soli(ie : et toutefois et quantes que cela est, on peut venir à une équation qui contient deux quantités inconnues, et est pareille à quelqu'une de celles que je viens de résoudre. Que si la ligne qui détermine ainsi le point cherché est d'un degré plus composée que les sections coniques, on la peut nommer, en môme façon, un lieu sursolide, et ainsi des autres. Et s'il manque deux conditions à la détermination de ce point, le lieu où il se trouve est une superficie, laquelle peut être tout de même ou plate, ou sphérique, ou plus composée. Mais le plus haut but qu'aient eu les anciens en cette matière a été de parvenir à la composition des lieux solides; et il semble que tout ce qu'Apollonius a écrit des sections coniques n'a été qu'à dessein de la chercher.

De plus, on voit ici que ce que j'ai pris pour le premier genre des lignes courbes n'en peut comprendre aucunes autres que le cercle, la parabole, l'hyperbole et l'ellipse, qui est tout ce que j'avois entrepris de prouver.

Que si la question des anciens est proposée en cinq lignes qui soient Quelle est la toutes parallèles, il est évident que le point cherché sera toujours en une premi^iic et la

plus simple

ligne droite; mais si elle est proposée en cinq lignes, dont il y en ait quatre de toutes les qui soient parallèles, et que la cinquième les coupe à angles droits, et même ''="^.^ courbes que toutes les lignes tirées du point cherché les rencontrent aussi à angles en la question droits, et enfin que le parallélipipède composé de trois des lignes ainsi tirées ^^^ f"*;',*^"^.. sur trois de celles qui sont parallèles soit égal au parallélipipède composé proposée en des deux lignes tirées, l'une sur la quatrième de celles qui sont parallèles, '^'"'' ''S"^^et l'autre sur celle qui les coupe à angles droits, et d'une troisième ligne donnée, ce qui est, ce semble, le plus simple cas qu'on puisse imaginer après le précédent, le point cherché sera en la ligne courbe qui est décrite par le mouvement d'une parabole, en la façon ci-dessus expliquée.

Soient par exemple les lignes données AB, IH, ED, GF, et G A (fig. il), et qu'on demande le point G, en sorte que tirant G B, G F, CD, G H et GM à angles droits sur les données, le parallélipipède des trois G F, G D et G H soit égal à celui des deux autres GB et GM, et d'une troisième qui soit AI. Je

pose CB = ?/, CM = X, AI ou AE ou GE = a; de façon que le point G

Fifj. ii.

étant entre les lignes AB et DE, j'ai GF = 2a — y, CD = « — y, et G H = î/ -4- a; et multipliant ces trois l'une par l'autre, j'ai y^ — lay'^ — «*2/ + 2a* égal au produit des trois autres, qui est axy. Après cela je considère la ligne courbe GEG, que j'imagine être décrite par l'intersection de la parabole CKN, qu'on fait mouvoir en telle sorte que son diamètre KL est toujours sur la ligne droite AB, et de la règle GL qui tourne cependant autour du point G en telle sorte qu'elle passe toujours dans le plan de cette paral)ole par le point L. Et je fais KL =: a, et le côté droit principal, c'està-dire celui qui se rapporte à l'essieu de cette parabole, aussi égal à a, et GA ^ 2a, et GB ou MA = y, et GM ou AB = x. Puis à cause des triangles semblables GMGetGBL, GM qui est 2 a — y, est à M G qui est ac,

comme GB qui est y, est à BL qui est par conséquent -

ceque KL est a, BK est a —

1 ou bien

"•la

2a* — ay -

Et pour-

Et enfin

pourceque ce même BK, étant un segment du diamètre de la parabole, est à BG qui lui est appliquée par ordre, comme celle-ci est au côté droit qui est a, le calcul montre que y^ — 2ay^ — a- y + 2a* est égal à axy; et par conséquent que le point G est celui qui étoit demandé. Et il peut être pris en tel endroit de la ligne GEG qu'on veuille choisir, ou aussi en son adjointe cEGc, qui se décrit en mênie façon, excepté que le sommet de la parabole est tourné vers l'autre côté, ou enfin en leurs contreposées NIo,

LIVRK SFCOND, 31

)iIO, qui sont, décrites par l'intersection que fait la ligne GL on l'aulre côhî (le la paral)ole KN.

Or encore que les parallèles données AB, IIî, KD, et G F, no fussent point également distantes, et que GA ne les coupât point à angles droits, ni aussi les lignes tirées du point C vers elles, ce point G ne lai.sseroit pas de se trouver toujours en une ligne courbe qui soroit de même nature : et il s'y peut aussi trouver quelquefois, encore qu'aucune des lignes données ne soient parallèles. Mais si lorsqu'il y en a quatre ainsi parallèles, et une cinquième qui les traverse, et que le parallélipipède de trois des lignes tirées du point cherché, l'une sur cette cinquième, et les deux autres sur deux de celles qui sont parallèles, soit égal à celui des deux tirées sur les deux autres parallèles, et d'une autre ligne donnée : ce point cherché est en une ligne courbe d'une autre nature, à savoir en une qui est telle, que toutes les lignes droites appliquées par ordre à son diamètre étant égales à celles d'une section conique, les segments de ce diamètre qui sont entre le sommet et ces lignes ont même proportion à une certaine ligne donnée, que cette ligne donnée a aux segments du diamètre de la section conique, auxquels les pareilles lignes sont appliquées par ordre. Et je ne saurois véritablement dire que cette ligne soit moins simple que la précédente, laquelle j'ai cru toutefois devoir prendre pour la première, à cause que la description et le calcul en sont en quelque façon plus faciles.

Pour les lignes qui servent aux autres cas, je ne m'arrêterai point à les distinguer par espèces, car je n'ai pas entrepris de dire tout; et, ayant expliqué la façon de trouver une infinité de points par oîi elles passent, je pense avoir assez donné le moyen de les décrire.

Même il est à propos de remarquer qu'il y a grande différence entre cette Quelles sont

façon de trouver plusieurs points pour tracer une ligne courbe, et celle dont courbcs'qu'on

on se sert pour la spirale et ses semblables ; car par cette dernière on ne décrit en trou-

trouve pas indifféremment tous les points de la ligne qu'on cherche, mais ^'^"jelg"^,!^"'^

seulement ceux qui peuvent être déterminés par quelque mesure plus simple points, qui ,, . , . , . • • • .1 peuvent Ctre

que celle qui est requise pour la composer; et ainsi, a proprement parler, ,.e,;uesen

on ne trouve pas un de ses points, c'est-à-dire pas un de ceux qui lui sont ^eomctric.

tellement propres qu'ils ne puissent être trouvés que par elle; au lieu qu'il

n'y a aucun point dans les lignes qui servent à la question proposée, qui ne

se puisse rencontrer entre ceux qui se déterminent par la façon tantôt

expliquée. Et pourceque cette façon de tracer une ligne courbe, en trouvant

indifféremment plusieurs de ses points, ne s'étend qu'à celles qui peuvent

aussi être décrites par un mouvement régulier et continu, on ne la doit pas

entièrement rejeter de la géométrie.

Quelles sont Et on n'en doit pas rejeter non plus celle où on se sert d'un fil ou d'une

aussi celles QQ^de repliée pour déterminer l'égalité ou la différence de deux ou plusieurs quon decnl ^ *^ ° *

avec une lignes droites qui peuvent être tirées de chaque point de la courbe qu'on

corde, qui cherche, à certains autres points, ou sur certaines autres lignes à certains peuvent y r ? o

être ici^^ucs. angles, ainsi que nous avons fait en la Dioptrique pour expliquer l'ellipse et l'hyperbole; car encore qu'on n'y puisse recevoir aucunes lignes qui semblent à des cordes, c'est-à-dire qui deviennent tantôt droites et tantôt courbes, à cause que la proportion qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes, on ne pourroit rien conclure de là qui fût exact et assuré. Toutefois à cause qu'on ne se sert de cordes en ces constructions que pour déterminer des lignes droites dont on connoît parfaitement la longueur, cela ne doit point faire qu'on les rejette.

Que pour Or de cela seul qu'on sait le rapport qu'ont tous les points d'une ligne

trouver toutes courbe à tous ceux d'une ligne droite, en la façon que j'ai expliquée, il est des lignes aisé de trouver aussi le rapport qu'ils ont à tous les autres points et lignes

courbes il sufiii (jonnées: et ensuite de connoître les diamètres, les essieux, les centres et

de savoir le rapport qu'ont autres lignes ou points à qui chaque ligne courbe aura quelque rapport plus

tous leurs particulier ou plus simple qu'aux autres; et ainsi d'imaginer divers moyens points a ceux ^ . .

des lignes pour les décrire, et d'en choisir les plus faciles; et même on peut aussi, par

droites, et la ^gj^^ ^g^] [couver quasi !tout ce qui peut être déterminé touchant la granfaçon de tirer ? i i i r s

d'autres lignes deur de l'espace qu'elles comprennent, sans qu'il soit besoin que j'en donne

qui les coupent plus d'ouverture. Et enfin pour ce qui est de toutes les autres propriétés en tous ces * ^ *

points à qu'on peut attribuer aux lignes courbes, elles ne dépendent que de la

angles droits, grandeur des angles qu'elles font avec quelques autres lignes. Mais lorsqu'on peut tirer des lignes droites qui les coupent à angles droits, aux points où elles sont rencontrées par celles avec qui elles font les angles qu'on veut mesurer, ou, ce que je prends ici pour le même, qui coupent leurs contingentes, la grandeur de ces angles n'est pas plus malaisée à trouver que s'ils