LIVRE SECOND
Si
étoient compris entre deux lignes droites. C'est pourquoi je croirai avoir mis ici tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes, lorsque j'aurai généralement donné la façon de tirer des lignes droites qui tombent à angles droits sur tels de leurs points qu'on voudra choisir. Et j'ose dire que c'est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j'aie jamais désiré de savoir en géométrie.
Soit CE (fg. iQ) la ligne courbe, et qu'il faille tirer une ligne droite par
Fig. i2.
Façon générale pour trouver des
lignes droites, qui coupent les courbes données ou leurs contingentes, à
angles droits.
le point C, qui fasse avec elle des angles droits. Je suppose la chose déjà faite, et que la ligne cherchée est CP, laquelle je prolonge jusqu'au point P, où elle rencontre la ligne droite GA, que je suppose être celle aux points de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne CE; en sorte que faisant MA ou CB = y, et CM ou BA = a;, j'ai quelque équation qui explique le rapport qui est entre ce et ;/; puis je fais PC = s, et PA == v, ou PM =zv — y\ et à cause du triangle rectangle PMC, j'ai s*, qui est le carré de la base, égal k x^ + v^ — 2i'i/ + y*, qui sont les carrés îles deux côtés; c'est-à-dire j'ai
ou bien
u* -f- 2u^ — g-, 4 Ks^ x*;
et par le moyen de cette équation, j'ôte de l'autre équation, qui m'exi)lique le rapport qu'ont tous les points de la courbe CE à ceux de la droite G A, l'une des deux quantités indéterminées x ou y ; ce qui est aisé à faire en mettant partout
au lieu de a?, et le carré de cette somme au lieu de x*, et son cube au lieu
Descartes. — Géométrie. o
de a;^ et ainsi des autres, si c'est x que je veuille ôter; ou bien si c'est y, en mettant en son lieu
■y + Ks* — as',
et le carré ou le cube, etc., de cette somme au lieu de yf ou y', etc. De façon qu'il reste toujours après cela une équation en laquelle il n'y a plus qu'une seule quantité indéterminée se ou ?/.
Gomme si CE est une ellipse, et que MA soit le segment de son diamètre, auquel CM soit appliquée par ordre, et qui ait r pour son côté droit et q pour le traversant, on a, par le treizième théorème du premier livre
d'Apollonius, x* = ry y^, d'où ôtant x^, il reste
ou bien
qry — Iqvy 4- qv^
qs^
car il est mieux en cet endroit de considérer ainsi ensemble toute la somme que d'en faire une partie égale à l'autre.
Tout de même si CE (fig. 13) est la ligne courbe décrite par le mouve-
Fig. i3.
yïï\
ment d'une parabole en la façon ci-dessus expliquée (page 18), et qu'on ait posé b pour GA, c pour KL, et d pour le côté droit du diamètre KL en la parabole, l'équation qui explique le rapport qui est entre ce et ?/ est
7/' — hy'^ — cdy + hcd -t- dxy = 0,
L1VRI-: SECOND. 35
d'où ôtant ce on a
7/3 — h)j^ — cdij + bcd -+- clij |/s* — v'^ -h 'I VI) — ?/* = 0;
et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication, il vient
î/ — 261/» + {lb\— Icd -h d") if + {ihcd — 2d«u) y'
+ (c-d^ — d's'- + d'v* — 2b'cd) if — Ihc'd'y + h^c'd- = 0,
et ainsi des autres.
Même, encore que les points de la ligne courbe ne se rapportassent pas en la façon que j'ai dit à ceux d'une ligne droite, mais en toute autre qu'on sauroit imaginer, on ne laisse pas de pouvoir toujours avoir une telle équation. Comme si CE (fig. i4) est une ligne qui ait tel rapport aux trois
Fiff. i4.
points F, G et A, que les lignes droites tirées de chacun de ses points comme C jusques au point F, surpassent la ligne FA d'une quantité qui ait certaine proportion donnée à une autre quantité dont G A surpasse les lignes tirées des mêmes points jusques à G. Faisons GA :=: b, AF = c, et prenant à discrétion le point C dans la courbe, que la quantité dont CF surpasse FA, soit à celle dont G A surpasse G G, comme rf à c; en sorte que si cette quan-
tité qui est indéterminée se nomme z, CF est c + z, et GC est h — -z.
Puis posant MA = j/, G M est h — i/, et FM est c + i/, et à cause du triangle rectangle CM G, ôtant le carré de G M du carré de GC, on a le carré de CM, qui est
puis ôtant le carré de FM du carré de CF, on a encore le carré de CM en
d'autres termes, à savoir z- + lez — 2c ,7 — >f\ et ces termes étant égaux
aux précédents, ils font connoître y ou M A, qui est
d'^z' + 2crf^c — c'^z^ + Ihdez 26d* + 2cd* '
et substituant cette somme au lieu de y dans le carré de CM, on trouve qu'il s'exprime en ces termes :
hd^z'' + ce'z^ + 1hcd''z — Ihcdez
bd}T~cd} '^"'
Puis supposant que la ligne droite PC rencontre la courbe à angles droits au point C, et faisant PC=:set PA = t' comme devant, PM est v — y; et à cause du triangle rectangle PCM, on a s^ — d' + Ivy — y^ pour le carré de CM, ou derechef, ayant au lieu de y substitué la somme qui lui est égale, il vient
, 'ihcdH—1hcdez—1cd'vz—1hdevz — hdH'^+ bd\^—cd'^s^ -hcd^v'' __ bd^ + ce^ -+■ e*v — d^v
pour l'équation que nous cherchions.
Or après qu'on a trouvé une telle équation, au lieu de s'en servir pour connoître les quantités ;r, ou y, ou z, qui sont déjà données, puisque le point C est donné, on la doit employer à trouver v ou s, qui déterminent le point P qui est demandé. Et à cet effet il faut considérer que si ce point P est tel qu'on le désire, le cercle dont il sera le centre, et qui passera par le point C, y touchera la ligne courbe CE sans la couper; mais que si ce point P est tant soit peu plus proche ou plus éloigné du point A qu'il ne doit, ce cercle coupera la courbe, non seulement au point C, mais aussi nécessairement en quelque autre. Puis il faut aussi considérer que lorsque ce cercle coupe la ligne courbe CE, l'équation par laquelle on cherche la quantité x ou y, ou quelque autre semblable, en supposant PA et PC être connues, contient nécessairement deux racines qui sont inégales. Car par exemple, si ce cercle coupe la courbe aux points C et E (fig. 15), ayant tiré EQ parallèle à CM, les noms des quantités indéterminées x eiy conviendront aussi bien aux lignes EQ et QA qu à CM et MA; puis PE est égale
