LIVRE SECOND

à PC à cause du cercle, si liien que cherchant les lig-nes EQ el QA, par PE et PA qu'on suppose comme données, on aura la môme équation que si on

Fig. 15.

cherchoit CM et MA par PC, PA; d'où il suit évidemment que la valeur de X ou de y, ou de telle autre quantité qu'on aura supposée, sera double en cette équation, c'est-à-dire qu'il y aura deux racines inégales entre elles, et dont l'une sera CM, l'autre EQ, si c'est x qu'on cherche, ou bien l'une sera MA et l'autre QA, si c'est y; et ainsi des autres. Il est vrai que si le point E ne se trouve pas du même côté de la courbe que le point C, il n'y aura que l'une de ces deux racines qui soit vraie, et l'autre sera renversée ou moindre que rien : mais plus ces deux points C et E sont proches l'un de l'autre, moins il y a de différence entre ces deux racines ; et enfin elles sont entièrement égales, s'ils sont tous deux joints en un, c'est-à-dire si le cercle qui passe par C y touche la courbe CE sans la couper.

De plus il faut considérer que lorsqu'il y a deux racines égales en une équation, elle a nécessairement la même forme que si on multiplie par soimême la quantité qu'on y suppose être inconnue, moins la quantité connue qui lui est égale, et qu'après cela, si cette dernière somme n'a pas tant de dimensions que la précédente, on la multiplie par une autre somme qui en ait autant qu'il lui en manque, afin qu'il puisse y avoir séparément équation entre chacun des termes de l'une et chacun des termes de l'autre.

Comme par exemple, je dis que la première équation trouvée ci-dessus, à savoir

doit avoir la même forme que celle qui se produit en faisant e égal à y, et

multipliant y — e par soi-même, d'où il vient y' — 2ey + e^, en sorte qu'on peut comparer séparément chacun de leurs termes, et dire que puisque le premier qui est y', est tout le même en l'une qu'en l'autre, le second qui

est en l'une ? est égal au second do l'autre qui est — 2e v;

d'où cherchant la quantité v qui est la ligne PA, on a î; = c ^ + ô^'

ou bien a cause que nous avons suppose c égal a. y^on a.v=:y î/ + ô*'-

Et ainsi on pourroit trouver s par le troisième terme e' = ; mais

pourceque la quantité v détermine assez le point P, qui est le seul que nous

cherchions, on n'a pas besoin de passer outre.

Tout de même la seconde équation trouvée ci-dessus, à savoir

tf 2hy' + (b' — Icd + d^) y"" + {Abcd — 2d'v) ?/

-1- (c'd' — 26* cd -H d'v' — d*s') y^ — Ihc^d-y -h WcUi\

doit avoir même forme que la somme qui se produit lorsqu'on multiplie

y^ — 2ey + e^ par ^^ + fy^ ■+■ g^y^ + h^y + k" qui est

y' -i- (/■— 2e) >f + {g^ — 2ef + c^ y' + (h'' — ^eg^ + eV) y^

-h (/c'' — 2eh' + e'gf*) y^ + {e^h' — ^ek") y + e^k';

de façon que de ces deux équations j'en tire six autres qui servent à connoître les six quantités /, g, h, k, v et s. D'où il est fort aisé à entendre que, de quelque genre que puisse être la ligne courbe proposée, il vient toujours par cette façon de procéder autant d'équations qu'on est obligé de supposer de quantités qui sont inconnues. Mais pour démêler par ordre ces équations, et trouver enfin la quantité v, qui est la seule dont on a besoin, et à l'occasion de laquelle on cherche les autres, il faut premièrement par le second terme chercher f, la première des quantités inconnues de la dernière somme, et on trouve