LIVRE rnKMIF.R

pom- tirer la racine carrée de a^ -+- 6*; et VCa^ — />* -f- a/**, pour tirer la racine cnl)i([ue de a^ — 6' ■+- ah^, et ainsi des autres.

Où il est à remarquer que par a*, ou h"^ ou scnihlaMes, je ne conçois ordinairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usités en l'al^èljre je les nomme des carrés on des cubes, etc.

Il est aussi à remarquer que toutes les parties d'une même lijjrne se doivent ordinairement exprimer par autant de dimensions l'une que l'autre, lorsrpiK l'unité n'est point déterminée en la question, comme ici a* en contient autant que ab* ou b^ dont se compose la ligne que j'ai nommée

Q/C.a3 63 ^ ab';J

mais que ce n'est pas de même lorsque l'unité est déterminée, à cause qu'elle peut être sous-entendue partout où il y a trop ou trop peu de dimensions : comme s'il faut tirer la racine cubique de a*fe* — b, il faut penser que la quantité a'*b- est divisée une fois par l'unité, et que l'autie quantité b est multipliée deux fois par la même.

Au reste, afin de ne pas manquer à se souvenir des noms de ces lignes, il on faut toujours faire un registre séparé à mesure qu'on les pose ou (ju'cn les change, écrivant par exemple (*) :

AB = i, c'est-à-dire AB égal à 1.

GH = a.

BD = &, etc.

Ainsi, voulant résoudre quelque problème, on doit d'abord le considérer <;ouiinciit il

comme déjà fait, et donner des noms à toutes les liiïnes aui semblent '^"' \*?""^ ^"'^

«> 1 «'fiualinns qui

nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu'aux servent à

autres. Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et ^''^^^J^ ^^^

^ problèmes,

inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l'ordre qui montre le plus

naturellement de tous en quelle sorte elles dépendent mutuellement les

unes des autres, jusques à ce qu'on ait trouvé moyen d'exprimer une méuie

quantité en deux façons, ce qui se nomme une équation ; car les termes de

l'une de ces deux tarons sont égaux à ceux «le l'autre. Et on doit trouver

autant do telles équations (ju'on a supposé de lignes qui étoient inconnues.

(•} >'ous sulsliluoiis parloul le signe = au signe oo Jont se scrvoit Dcscarlcs.

4 LA CiKOMETRIE.

Ou hien, s'il ne s'en trouve pas tant, et que nonol)stant on n'omette rien de ce qui est désiré eu la question, cela témoigne qu'elle n'est pas entièrement déterminée. Et lors on peut prendre à discrétion des lignes connues poui' toutes les inconnues auxquelles ne correspond aucune équation. Après cela, s'il en reste encore plusieurs, il se faut servir par ordre de chacune des équations qui i-estt.'ut aussi, soit en la considérant toute seule, soit en la comparant avec les auties, pour expliquer chacune de ces lignes inconnues, et faire ainsi, en les démêlant, qu'il n'en demeure qu'une seule égale à quelque aulre (jui soit connue, ou bien dont le carré, ou le cube, ou le carré de carré, ou le sursolide, ou le carré de cube, etc., soit égal à ce qui se produit |)ar l'addition ou soustraction de deux ou plusieurs autres quantités, dont l'une soit connue, et les autres soient composées de quelques moyennes proportionnelles entre l'unité et ce carré, ou cube, ou carré de carré, etc., multipliées par d'autres connues. Ce que j'écris en cette sorte :

ou c- = — (i: -+ /'-,

ou c' =4- ar- -{- Irz — c*,

ou z'' rr: rtr* — c'r -h d*, etc.;

c'est-à-dire z, que je prends pour la quantité inconnue, est égale à 6; ou le carré de - est égal au carié de h moins a multiplié par z; ou le cube de z est égal à a multiplié par le carré de z plus le carré de l) multiplié par z moins le cube de c; et ainsi des antres.

Et on peut toujours réduire ainsi toutes les quantités inconnues à une seule, lorsque le problème se peut construire par des cercles et des lignes droites, ou aussi par des sections coniques, ou mêjne par quelque autre ligne qui ne soit que d'un ou deux degrés plus conqmsée. Mais je ne m'arrête point à expliquer ceci plus en détail, à cause que je vous ôterois le plaisir de l'apprendre de vous-même, et l'utilité de cultiver votre esprit en vous y exerçant, qui est à mon avis la principale qu'on puisse tirer de cette science. Aussi que je n'y remarque rien de si difficile que ceux qui seront un peu versés en la géométrie commune et en l'algèlire, et (jui prendront garde à tout ce qui est en ce traité, ne puissent trouver.

LiVRF-: i>ri:mier. 5

C-'est ivjurquoi je me conlonterai ici rlo vous avcitii- (|iie, j)i)urvu qu'en

démêlant ces équations, ou ne man(ino point à s(> servir de toutes les divisions

({ui sei'ont possibles, on aura infaillihlemcnl les plus sini|iles termes auxquels

la question paisse être réduite.

Et que si elle peut être résolue par la i^éoméfrie ordinaire, c'est-à-dire eu qucIs somI i

ne se servant que de lignes droites et circulaires tracées sur une superficie i"'o''i'"'t*<

'■ piniis.

plate, lorsque la dernière équation aura été entièrement démêlée, il n'y restera tout au plus qu'un carré inconnu, égal à ce qui se produit de l'addition ou sousti-action de sa racine multipliée pai- quelque ipumtité connue, et de quelque autre (juantité aussi connue.

Ht lors cette racine, ou ligne inconnue, se ti'ouve aisément; car si j'ai par exemple

-J = az -^ h\

(loimnciil ils se résolvent.

je fai.s le triangle rectangle NLM (jj(j. 3j. dont le côté LM est égal à h,

Fig. 3.

racine carrée de la quantité comme 6', et l'autre LN est- a, la moitié de

l'autre quantité connue qui étoit multipliée par s, que je suppose être la ligne inconnue; puis prolongeant MN, la base de ce triangle, jusques à 0, en sorte que NO soit égale à NL, la toute OM est c, la ligne cherchée; et elle s'exprime en cette sorte :

vy

Que si j'ai ;j- = — ay + Ir, al ({uc // soit la ({uantité (pi'i! faut trouver, je fais le même triangle rectangle NLM, et de sa base MN j'ôto NP égale

6 LA GKOMKTRIE.

à NL, et le reste PM est y, la racine cherchée. De façon que j'ai

-hWl

Et tout de même si j'avois

X* = — ax^ + b^y

PM seroit x', et j'aurois

et ainsi des autres.

Enfin, si j'ai