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az — 6*,

je fais NM (/fgf. 4j égale à - a, et LM égale à 6, comme devant; puis, au

Fîg. //.

lieu de joindre les points LN, je tire LQR parallèle à MN, et du centre N, par L, ayant décrit un cercle qui la coupe aux points Q et R, la ligne cherchée z est LQ, ou bien LR; car en ce cas elle s'exprime en deux façons, à savoir

et

Et si le cercle, qui ayant son centre au point N passe par le point M, ne

de Pappus.

HVl'.K l'IlKMIFR. 7

coupe ni no touche la lif^ne droile LQIi, il n'y a aucune racine en l'équation, de façon ([u'on peut assurer (jiie la consli-ncfinii du problème proposé est impossible.

Au reste, ces mêmes racines se peuvent liouviii' pai- une inlinilé d'autres moyens, et j'ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin «le faire voir qu'on peut construire tous les problèmes de la ^'éométrie ordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que j'ai expliquées. Ce que je ne crois pas que les anciens aient remarqué; car autrement ils n'eussent pas pris la peine d'en écrire tant de i^ros livres où le seul ordre de leurs propositions nous fait connoître qu'ils n'ont point eu la vraie méthode pour les trouver toutes, mais qu'ils ont seulement ramassé celles qu'ils ont rencontrées.

Et on peut le voir aussi fort clairement de ce que Pappus a mis au Exemple tincommencement de son septième livre, où après s'être arrêté quelque temps à dénombrer tout ce qui avoit été écrit en géométrie par ceux qui l'avoient précédé, il parle enfin d'une question qu'il dit que ni Euclide, ni Apollonius, ni aucun autre, n'avoient su entièrement résoudre; et voici ses mots (1) :

Quem autem dicit (Apollonius) in tertio libro locum ad très et quatuor lineas ah Euclide perfection non esse, neque ipse perficere poterat, neque aliquis alius; sed neque paululum quid addere iis, quie Euclides scripsit, per ea tantuni conica, quœ usque ad Euclidis tempora prœmonstrata sunt, etc.

Et un peu après il explique ainsi quelle est cette question :

At locus ad très et quatuor lineas, in quo (Apollonius) magnifice se jactat, et ostentat, nulla habita gratia ei, qui prius scripserat, est hujusmodi. Si positio7ie datis tribus redis lineis ah uno et eodem puncto, ad très lineas in datis angulis rectve linex ducantur, et data sit proportio rectanguli contenti duabus ductis ad quadratum reliqux : punctum contingit positione dation solidu}ii locum, hoc est unam ex tribus conicis sectionibus. Et si ad quatuor rectas lineas positione datas in datis angidis linex ducantur; et rectanguli duabus ductis contenti

'M ie cite plutôt la version latine que le texte grec, afin que chacun rcutcndc plus aisément.

ad contentum duabus reliquis j^rojoortio data sit : sinnliter pnncliitti datant coni ^ectionew positione continget. Si quidem igitur ad duaa tantum loctis planus ostensus est. Quod si (td phircs qnam quatuor, punctum continget locos non adhuc cognitos, xed lineas tantum dictas; qualcs aulcm sint, vel quani liahcant proiiriclatcw , non constat : eariini ■unam, ncqiie primani, et qux manifestissitiHi videtur, composuerunt ostendentes utileni esse. Propositiones autcni ipsarum liœ sunt.

Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas qainqne ducantur rectie lineie in dalis angidis, et data sit projjortio solidi paraJlelepipedi rectanguli, quod tribus ductis lineis continetur ad soliduin parallelepipedum rectangulwm, quod continetur reliquis duabus, et data quapiam linea, punctum positione datam- lineani continget. Si autem ad sex, et data sit proportio solidi tribus lineis conte^iti ad solidum, quod tribus reliquis continetur ; rursus punctum continget positione datam lineam. Quod si ad plures quam sex, non adhuc habent dicere, an data sit proportio cujuspiam contenti quatuor Wieis ad id quod reliquis continetur, quoniam non est aliquid contentum plurihus quam tribus dimcnsionibus.

Où je vous prie de remarquer en passant que le scrupule que faisoieni les anciens d'user des ternies de l'arithmétique en la géométrie, qui ne pouvoit procéder que de ce qu'ils ne voyoient pas assez clairement leur rapport, causoit beaucoup d'obscurité et d'embarras en la façon dont ils s'e.\])liquoient ; car Pappus poursuit en cette sorte :

Acquiescunt autem Jiis, qui paulo ante talia interp)retati sunt; nr(jac xinum aliquo pactu comprehensibile significatites quod Jiis continetur. Licebit autem per conjunctas proportiones luec, et dicere, et denwnstrare universe in dictis proportionibus, atque liis in hune modum. Si ah aliquo puncto ad positione datas rectas lineas ducantur rectse lineie in datis angidis, et data sit proportio co7ijiincta ex ea, quam habet una ductarum ad unam, et altéra ad cdteram, et alia ad aliam, et reliqua ad datam lineam, si siiit septem; si vero octo, et reliqua ad reliquam : punctum continget positione datas lineas. Et similiter quotcumque sint impares vel pares multitudine, cum hœc, td dixi, loco ad quatuor lineas respondeant, nullum igitur posuerunt ita ut linea nota sit, etc.