LIVRE SECOND

soit au point C, en sorte que la corde CMC et la llèche Y M du l'arc CYC sont données. La question va là, que premièrement il faut considérer de

Fig. ?5.

Fig. ?"/.

l'uiic de «es

siipcrflcics.

qu'on voudra qui riis.scmblc

h un point donné tous \cs

rayons qui viennent d'un

autre i>oint donné.

laquelle des ovales expliquées la superficie du verre YC doit avoir la figure, pour faire que tous les rayons qui étant dedans tendent vers un même point, comme vers H, qui n'est pas encore connu, s'aillent rendre vers un autre, à savoir vers F, après en être sortis. Car il n'y a aucun effet touchant le rapport des rayons, changé par réflexion ou réfraction d'un point à un autre, qui ne puisse être causé par quelqu'une de ces ovales; et on voit aisément que celui-ci le peut être par la partie de la troisième ovale qui a tantôt été marquée 3 A3 (fig. 2i), ou par celle de la même qui a été marquée 3Y3, ou enfin par la partie de la seconde qui a été marquée 2X2 (fig. i9). Et pourceque ces trois tombent ici sous même calcul, on doit, tant pour l'une que pour l'autre, prendre Y (fig. 23 et 2i) pour leur sommet, G pour l'un des points de leur circonférence, et F pour l'un de leurs points brûlants; après quoi il ne reste plus à chercher que le point H qui doit être l'autre point brûlant. Et on le trouve en considérant que la différence qui est entre les lignes F Y et F C doit être à celle qui est entre les lignes H Y et HC comme d est à e, c'est-à-dire comme la plus grande des lignes qui mesurent les réfractions du verre proposé est à la moindre, ainsi qu'on peut voir manifestement de la description de ces ovales. Et pourceque les lignes FY et FC sont données, leur différence l'est aussi, et ensuite celle qui est entre H Y et HC, pourceque la proportion qui est entre ces deux différences est donnée. Et de plus, à cause que Y M est donnée, la différence qui est entre M H et HC l'est aussi; et enfin pourceque CM est donnée, il ne reste plus qu'à trouver MH le côté du triangle rectangle CM H dont on a l'autre côté CM, et on a aussi la différence qui est entre CH la base et M H le côté

Descartes. — Géométrie. 7

demandé; d'où il est aisé de le trouver : car si on prend k pour l'excès de CH

sur MH, et n pour la longueur de la ligne CM, on aura — — -k pour M H.

Et après avoir ainsi le point H, s'il se trouve plus loin du point Y (fig. 24) que n'en est le point F, la ligne CY doit être la première partie de l'ovale du troisième genre, qui a tantôt été nommée 3 A3 (fig. 21). Mais si H Y (fig. 23) est moindre que FY'^ : ou bien elle surpasse H F de tant, que leur différence est plus grande à raison de la toute F Y que n'est e la moindre des lignes qui mesurent les réfractions comparée avec d la plus grande, c'est-à-dire que faisant HF r= c, et KY = c + h, dh est plus grande que 2 ce + eh, et lors CY doit être la seconde partie de la même ovale du troisième genre, qui a tantôt été nommée 3Y3 (fig. 21) : ou bien dh est égale ou moindre que 2c e + e/i, et lors CY (p.g. 23) doit être la seconde partie de l'ovale du second genre, qui a ci-dessus été nommée 2X2 (fig. 10) : et enfin si le point H (fig. 23) est le même que le point F, ce qui n'arrive que lorsque F Y et FC sont égales, cette ligne YC est un cercle.

Après cela il faut chercher CAC l'autre superficie de ce verre, qui doit être une ellipse dont H soit le point brûlant, si on suppose que les rayons qui tombent dessus soient parallèles; et lors il est aisé de la trouver. Mais si on suppose qu'ils viennent du point G, ce doit être la première partie d'une ovale du premier genre dont les deux points bridants soient G et H, et qui passe par le point C ; d'où on trouve le point A pour le sommet de cette ovale, en considérant que GC doit être plus grande que G A d'une quantité qui soit à celle dont HA surpasse HC, comme d k e; car ayant pris k pour la différence qui est entre CH et H M, si on suppose x pour A M, on aura x — k pour la différence qui est entre AH et CH; puis si on prend g pour celle qui est entre G C et G M qui sont données, on aura g + x pour celle qui est entre GC et G A; et pourceque cette dernière g -h x est k l'autre x — k comme d est à e, on a

ge + ex =z dx — dk,

ou bien —z pour la ligne x ou A M, par laquelle on détermine le

point A qui étoit cherché.

LIVRK SKCONl). 51

Posons maintenant pour l'autre cas, qu'on no donne que les points (i, C commcnUn et F (fîg. "24), avec la proportion qui est entre les lignes AM et Y M, et (lu'il '"^"' '•'»'''•= ""

- .,, , I f> 1 « /-ixr • n . verre qui ail lo

faille trouver la ligure du verre AC^ qui fasse que tous les rayuiis fjui infimecna

viennent du point G s'assemblent au point F. •'"*^ '•-' f^^''''-

^ il 1 /. • • • , , , , '■'•"'> cl n"c la

On peut derechef ici se servir de deux ovales dont l'une AG ait G <>l H ...nvcxité àv

lune de ses supcrflcicsalt

pour ses points brûlants, et l'autre G Y ait F et H pour les siens. Et pour les

trouver, premièrement, supposant le point H, qui est commun à toutes deux, la 'proporiion

être connu, je cherche AM par les trois points G, G, H, en la façon tout

maintenant expliquée, à savoir, prenant k pour la différence qui est entre G H

et H M, et g pour colle qui est entre G G et G M, et A G étant la première

o c • I ■ dk partie de l'ovale du premier genre, j'ai —- pour AM; puis je cherche

aussi M Y par les trois points F, G, H, en sorte que G Y soit la première

partie d'une ovale du troisième genre; et prenant y pour M Y, et /'pour la

différence qui est entre GF et FM, j'ai f -h y pour celle qui est entre GF

et FY; puis ayant déjà k pour celle qui est entre GH et HM, j'ai k -i- y pour

celle qui est entre G H et H Y, que je sais devoir être h f -h y comme e est

à d, à cause de l'ovale du troisième genre, d'où je trouve que y ou M Y

fe — dk ... , , , ,

est — ; puis joignant ensemble les deux quantités trouvées pour A M

et MY, je trouve '— pour la toute AY : d'où il suit que, de quelque

côté que soit supposé le point H, cette ligne A Y est toujours composée d'une

quantité qui est à celle dont les deux ensemble G G et G F surpassent la

toute G F, comme e, la moindre des deux lignes qui servent à mesurer les

réfractions du verre proposé, est à d — c la différence qui est entre ces

deux lignes, ce qui est un assez beau théorème. Or, ayant ainsi la toute A Y,

il la faut couper selon la proportion que doivent avoir ses parties A M et M Y;

au moyen de quoi, pourcequ'on a déjà le point M, on trouve aussi les points A

et Y, et ensuite le point H par le problème précédent. Mais auparavant il

gc faut regarder si la ligne AM ainsi trouvée est plus grande que ? ou

plus petite, ou égale. Gar si elle est plus grande, on apprend de là que la courbe AG doit être la première partie d'une ovale du premier genre, et CY

'Ion nrc avec rtllcdc l'aulrc.

la première d'une du troisième, ainsi qu'elles ont été ici supposées ; au lieu

que si elle est plus petite, cela montre que c'est CY qui doit être la première

partie d'une ovale du premier genre, et que AC doit être la première d'une

du troisième; enfin si A M est égale à -^ j les deux courbes AC et CY

doivent être deux hyperboles.

On pourroit étendre ces deux problèmes à une infinité d'autres cas que je ne m'arrête pas à déduire, à cause qu'ils n'ont eu aucun usage en la dioptrique.

On pourroit aussi passer outre et dire (lorsque l'une des superficies du verre est donnée, pourvu qu'elle ne soit que toute plate, ou composée de sections coniques ou de cercles) comment on doit faire son autre superficie, afin qu'il transmette tous les rayons d'un point donné à un autre point aussi donné; car ce n'est rien de plus difficile que ce que je viens d'expliquer, ou plutôt c'est chose beaucoup plus facile à cause que le chemin en est ouvert. Mais j'aime mieux que d'autres le cherchent, afin que s'ils ont encore un peu de*peine à le trouver, cela leur fasse d'autant plus estimer l'invention des choses qui sont ici démontrées.

Comnicuion Au reste je n'ai parlé en tout ceci que des lignes courbes qu'on peut peut appliquer j^(,pjj.g g^, ^^^g superficie plate; mais il est aisé de rapporter ce que j'en ai

ce qui a 6lé dit r r ' ii no

ici des lignes dit à toutes celles qu'on sauroit imaginer être formées par le mouvement

courbes, régulier des points de quelque corps dans un espace qui a trois dimensions :

une superficie à savoir, en tirant deux perpendiculaires de chacun des points de la ligne

plaie, à celles çQm.jjg qu'on veut considérer, sur deux plans qui s'entre-coupent à angles

qui se décri- '■ 711 1 <j

vent dans un droits, l'une sur l'un et l'autre sur l'autre ; car les extrémités de ces espace qui a perpendiculaires décrivent deux autres lignes courbes, une sur chacun de dimensions, ces plans, desquelles on peut en la façon ci-dessus expliquée déterminer tous les points et les rapporter à ceux de la ligne droite qui est commune à ces deux plans, au moyen de quoi ceux de la courbe qui a trois dimensions sont entièrement déterminés. Même si on veut tirer une ligne droite qui coupe cette courbe au point donné à angles droits, il faut seulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, une en chacun, qui coupent à angles droits les deux lignes courbes qui y sont aux deux points où tombent les perpendiculaires qui viennent de ce point donné ; car ayant élevé deux