LIVRE TrtOISlKMK

démonstration soit plus évidente, que d'y employer les lignes courbes qui se décrivent par l'instrument XYZ (firj. 25) ci-dessus expliqué. Car, voulant trouver deux moyennes proportionnelles entre YA et YE, il no faut que décrire un cercle dont le diamètre soit YE, et pourceque ce cercle coupe la courbe AD au point D, YD est l'une des moyennes proportionnelles cherchées, dont la démonstration se voit à l'œil par la seule application de cet instrument sur la ligne YD; car, comme YA ou YB, qui lui est égale, est à YG, ainsi YG est à YD, et YD à YE.

Tout de même pour trouver quatre moyennes proportionnelles entre Y A et YG, ou pour en trouver six entre YA et YN, il ne faut que tracer le cercle YFG qui, coupant AF au point F, détermine la ligne droite YF qui est l'une de ces quatre proportionnelles; ou YHN qui, coupant AH au point H, détermine YH l'une des six; et ainsi des autres.

Mais pourceque la ligne courbe AD est du second genre, et qu'on peut trouver deux moyennes proportionnelles par les sections coniques qui sont du premier; et aussi pourcequ'on peut trouver quatre ou six moyennes proportionnelles par des lignes qui ne sont pas de genres si composés que sont AF et AH, ce seroit une faute en géométrie que de les y employer. Et c'est une faute aussi, d'autre côté, de se travailler inutilement à vouloir construire quelque problème par un genre de lignes plus simple que sa nature ne permet.

Or, afin que je puisse ici donner quelques règles pour éviter l'une et l'autre De la nature de ces deux fautes, il faut que je die quelque chose en général de la nature **^^ équations, des équations, c'est-à-dire des sommes composées de plusieurs termes partie connus et partie inconnus dont les uns sont égaux aux autres, ou plutôt qui, considérés tous ensemble, sont égaux à rien: car ce sera souvent le meilleur de les considérer en cette sorte.

Sachez donc qu'en chaque équation, autant que la quantité inconnue a Combien il

de dimensions, autant peut-il v avoir de diverses racines, c'est-à-dire de P<'"*y^™""*'<^ ' ^ •• ' racines en

valeurs de cette quantité; car, par exemple, si on suppose x égale à 2, ou rhaquc bien x — 2 égal à rien ; et derechef jc = 3, ou bien x — 3 = 0; en '-"^"at'O"multipliant ces deux équations

X — 2 =:= 0, et X- — 3 = 0,

Quelles sont

les fausses

lacines.

l'une par l'autre, on aura

ou bien

Comment on peut diminuer le nombre des

dimensions d'une équation

lorsqu'on connoît quelqu'une de ses racines.

Comment on peut examiner

X* — ox + () = 0,

qui est une équation en laquelle la quantité x vaut 2 et tout ensemble vaut 3. Que si derechef on fait

et qu'on multiplie cette somme par

jc« 5x + 6 =z 0,

on aura

xs — 9x' + 26x — 24 = 0,

qui est une autre équation en laquelle x, ayant trois dimensions, a aussi trois valeurs, qui sont 2, 3 et 4.

Mais souvent il arrive que quelques unes de ces racines sont fausses ou moindres que rien ; comme si on suppose que x désigne aussi le défaut d'une quantité qui soit 5, on a

X + 5 = 0, qui, étant multiplié par

x^ — 9x* ■+■ 26x — 24 = 0, fait

pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir trois vraies qui sont 2, 3, 4, et une fausse qui est 5.

Et on voit évidemment de ceci que la somme d'une équation qui contient plusieurs racines peut toujours être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue moins la valeur de l'une des vraies racines, laquelle que ce soit, ou plus la valeur de l'une des fausses; au moyen de quoi on diminue d'autant ses dimensions.

Et réciproquement que si la somme d'une équation ne peut être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue + ou — quelque autre