LIVRE TROISIEME

quantité, cela témoigne que cette autre quantité n'est la valeur d'aucune de ses racines. Comme cette dernière

x" — Ax' — 19.

peut Ijien être divisée par x — 2, et par x — 3, et par x — i, et par x — 5, mais non point par x -f- ou — aucune autre quantité; ce qui montre qu'elle ne peut avoir que les quatre racines 2, 3, 4 et 5.

On connoît aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines et combien de fausses en chaque équation: à savoir il y en peut avoir autant de vraies que les signes + et — s'y trouvent de fois être changés, et autant de fausses qu'il s'y trouve de fois deux signes + ou deux signes — qui s'entre-suivent. Comme en la dernière, à cause qu'après + x'' il y a — ix\ qui est un changement du signe + en — , et après — IDx'^ il va + 106 a;, et après -f- 106 oc il y a — 120, qui sont encore deux autres clianiiornents, on connoît qu'il y a trois vraies racines; et une fausse, à cause que les deux signes — de Ax^ et 19 as' s'entre-suivent.

De plus, il est aisé de faire en une même équation que toutes les racines qui étoient fausses deviennent vraies, et par même moyen que toutes celles qui étoient vraies deviennent fausses, à savoir en changeant tous les signes + ou — qui sont en la seconde, en la quatrième, en la sixième, ou autres places qui se désignent par les nombres pairs, sans changer ceux de la première, de la troisième, de la cinquième, et semblables qui se désignent par les nombres impairs. Comme si, au lieu de

si quelque

quantité

donnée est la

valeur d'une

racine.

«lombien il

leul y avoir de

vraies racines

en rhaque

''(|uation.

Comment on

fait que les

fausses racines

d'une équation

deviennent

vraies, et les

vraies fausses.

x" Ax' — idx' 4- 106u; — 120 = 0,

on écrit

19x2 — 106ic — 120 = 0,

on a une équation en laquelle il n'y a qu'une vraie racine qui est 5, et trois fausses qui sont 2, 3 et 4.

Que si, .«:ans connoître la valeur des racines d'une équation, on la veut augmenter ou diminuer de quelque quantité connue, il ne faut qu'au lieu du terme inconnu en supposer un autre qui soit plus ou moins grand de cette même quantité, et le substituer partout en la place du premier.

Descartes. — Céomclrie ^

Conimciit on pcul augmenter ou diminuer les racines d'une équation sans les connoitre.

Comme si on veut augmenter de 3 la racine de cette équation

x' + Ax' — 19a;* — 106x — 120 = 0,

il faut prendre y au lieu de x, et penser que cette quantité y est plus grande que X de 3, en sorte que y — 3 est égal à x; et au lieu de ce' il faut mettre le carré de y — 3, qui est y* — Qy ■+■ 9; et au lieu de ce' il faut mettre son cube qui est r/' — 9y- + 27^/ — 27; et enfin au lieu de as'' il faut mettre son carré de carré qui est y'* — 12?/' + 54?/' — 108y + 81. Et ainsi, décrivant la somme précédente en substituant partout y au lieu de x, on a

-f- hf — 36//' + 108^ — 108

— 19y* + iUy — 171

ou bien

y- sy— y'+ 8y*o =0,

y^-Sy'-y + S = 0,

où la vraie racine qui étoit 5 est maintenant 8, à cause du nombre 3 qui lui est ajouté.

Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de cette même équation, il faut faire y + 3 ^= x, et y* + 6?/ + 9 = ce*, et ainsi des autres, de façon qu'au lieu de

on met

x' + Ax^ — 19cc* — 106cc — 120 = 0,

y'' + 16^' + 71^* — Ay — 420 = 0.

(1) Descartes indique raljsence d'un terme par le signe ' mis à la place de ce terme; nous l'ôlerons comme inutile, de mÊme que le facteur 1 qu'il laisse quelquefois.