Hz

— Az + 16

Ou'cn augmentant les vraies racines on •liminuc les fausses, et au lontraire.

Comment on

peut Oter le

second terras

(l'une (5qua-

lion.

OÙ kl vraie racine qui étoit 2 est 6, à cause qu'elle est augmentée de 4; et les fausses, qui étoient 5, 6 et 7, ne sont plus que 1, 2 et 3, à cause qu'elles sont diminuées chacune de 4.

Tout de même si on veut ôter le second terme de

X* — 2ax* + (2a* — c*) x* — 2a'jc + a' = 0,

pourceque divisant 2a par 4 il vient -a, il faut faire z -h ^a = x, et écrire

z* + 2a2;* 4- - a'-* + ,, cCz + -- a' 2 2 Ib

— laz^ — 3 a';:- — - ct'z — - 2 4

— c^s- — ac z — -, arc^

- a* — cM z' — (a' + «c') z + tt; a'* — a*c' = 0

et si on trouve après la valeur de c, en lui ajoutant -a on aura celle de x.

Comment on La seconde chose qui aura ci-après quelque usage est qu'on peut toujours,

peut faire que g^ augmentant la valeur des vraies racines d'une quantité qui soit plus

toutes les ^ i x i

fausses racines grande que n'est celle d'aucune des fausses, faire qu'elles deviennent toutes

d'une équation yi^^jgg gn sorte qu'il n'y ait point deux signes + ou deux signes — qui deviennent ' m j i o o ^

vraies sans que s'entre-suivent, et outre cela que la quantité connue du troisième terme soit

les vraies j^g grande que le carré de la moitié de celle du second. Car encore que deviennent r ^ ~\. -i

fausses. cela se fasse lorsque ces fausses racines sont inconnues, il est aisé néanmoins de juger à peu près de leur grandeur et de prendre une quantité qui les surpasse d'autant ou de plus qu'il n'est requis à cet effet. Comme si on a

ce" 4- nx' — 6u^x'' + 36rt'x' — 216?i''x- + 1296n''x — VTTen" = 0,

LIVRK TROISIÈME.

en faisant y — 6n =. x on fronvora

y« — 3Gn ) y* + 540»* \ 1/ + n) — 30h»

36n» / — G48h* — 21 Gn*

19440n* , y* — 4GG5G«» y 4- 4GG56)i'

777Gh« TTTGn" 7776n« 777G«'

144,1' ^ — 129Gu' + 5184«»/

129Gn»y — 777Gn« 777GJI»

504Hy — 3780uV +iônOn*>f — 2721Gu'y = 0.

Où il est manifeste que 504 »*, qui est la quantité connue du troisième

terme, est plus grande que le carré de — n, qui est la moitié de celle du

second. Et il n'y a point de cas pour lequel la quantité dont on augmente

les vraies racines ait besoin à cet elTet d'être plus grande, à proportion de

celles qui sont données, que pour celui-ci.

Mais à cause que le dernier terme s'y trouve nul, si on ne désire pas que Comment on

cela soit il faut encore augmenter tant soit peu la valeur des racines, et ce ''^'' '^^^ '"^"'^ ° ^ les places

ne sauroit être de si peu que ce ne soit assez pour cet efTet; non plus que d'une équation

lorsqu'on veut accroître le nombre des dimensions de quelque équation, et ^''^"' ^ . remplies.

faire que toutes les places de ces termes soient remplies, comme si, au lieu de x' — & =: 0, on veut avoir une équation en laquelle la quantité inconnue ait six dimensions et dont aucun des termes ne soit nul, il faut premièrement pour

X' — î> rr: 0

écrire

X* — hx = 0;

puis, ayant fait y — a = x, on aura

y^ — fôay^ 4- iôà^y' — 20a'(/^ + 15a^//' — 6«'

y 4- a" -{- ab

où il est manifeste que, tant petite que la quantité a soit supposée, toutes les places de l'équation ne laissent pas d'être remplies.

De plus on peut, sans connoître la valeur des vraies racines d'une Comment on équation, les multiplier ou diviser toutes par telle quantité connue qu'on

peut

réduit les nombres

multiplier ou veut; ce qui se fait en supposant que la quantité inconnue étant multipliée

diviser les ^^ divisée par celle qui doit multiplier ou diviser les racines est égale à

racines sans i ^ * «^

les connoitre. quelque autre; puis multipliant ou divisant la quantité connue du second

terme par cette même qui doit multiplier ou diviser les racines, et par son

carré celle du troisième, et par son cube celle du quatrième, et ainsi jusques

Comment on au dernier. Ce qui peut servir pour réduire à des nombres entiers et rationnaux les fractions, ou souvent aussi les nombres sourds qui se trouvent

rompus d'une dans les termes des équations. Comme si on a

équation à des

entiers. «26 8

ic» — ysx'- + — X = 0,

et qu'on veuille en avoir une autre en sa place, dont tous les termes s'expriment par des nombres rationnaux, il faut supposer y = x 1/3, et

multiplier par 1^3 la quantité connue du second terme qui est aussi K3 , et

par son carré qui est 3 celle du troisième qui est — » et par son cube qui

est 3 |/3 celle du dernier qui est z^ ce qui fait

Puis si on en veut avoir encore une autre en la place de celle-ci, dont les quantités connues ne s'expriment que par des nombres entiers, il faut

supposer z =: 3y, et multipliant 3 par 3, — - par 9 et ^ par 27, on trouve

où les racines étant 2, 3 et 4, on connoît de là que celles de l'autre d'aupa-

ravant étoient - > 1 et -» et que celles de la première étoient o o

1^'' ^1/5 et ^(/3.

Comment on rend la Cette opération peut aussi servir pour rendre la quantité connue de

LIVRIC TROISIÈMK.

quelqu'un des termes de l'équation égale à quelque autre donnée, comme quaniii.'

si ayant connue de lun

des termes X U X -h C ::^U, d'une lîquation

(•■gale à telle

on veut avoir en sa place une autre équation en laquelle la quantité connue autre quon du terme qui occupe la troisième place, à savoir celle qui est ici b* soit .3a*,

il faut supposer y = xt/ -j^-> puis ecnn

Au reste, tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours réelles, mais quelquefois seulement imaginaires, c'est-à-dire qu'on peut bien toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celles qu'on imagine; comme encore qu'on en puisse imaginer ti^ois en celle-ci,

x' — 6x* -+- rSx — 10 == 0,

il n'y en a toutefois qu'une réelle qui est 2, et pour les deux autres, quoiqu'on les augmente ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sauroit les rendre autres qu'imaginaires.

Or quand, pour trouver la construction de quelque problème, on vient à une équation en laquelle la quantité inconnue a trois dimensions, premièrement, si les quantités connues qui y sont contiennent quelques nombres rompus, il les faut réduire à d'autres entiers par la multiplication tantôt expliquée; et s'ils en contiennent de sourds, il faut aussi les réduire à d'autres rationnaux autant qu'il sera possible, tant par cette même multiplication que par divers autres moyens qui sont assez faciles à trouver. Puis examinant par ordre toutes les quantités qui peuvent diviser sans fraction le deiniier terme, il faut voir si quelqu'une d'elles, jointe avec la quantité inconnue par le signe + ou —, peut composer un binôme qui divise toute la somme; et si cela est, le problème est plan, c'est-à-dire il peut être construit avec la règle et le compas; car, ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée, ou bien l'équation étant divisée par lui se

Que les racines tant vraies que

fausses peuvent être

réelles ou imaginaires.

La réduction

des équations

cubiques,

lorsque le

problème est

plan.

La façon de diviser une équation par un binOme qui contient sa racine.

réduit à deux dimensions, en sorte qu'on en peut trouver après la racine par ce qui a été dit au premier livre.

Par exemple, si on a

y' — 8i/'* — i'Ihf — 64 = 0,

le dernier terme qui est 64 peut être divisé sans fraction par 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64; c'est pounj[uoi il faut examiner par ordre si celte équation ne peut point être divisée par quelqu'un des Linômes y^ — 1 ou j/* + i^ y^ — 2 ou j/* 4- 2, y^ — 4, etc. ; et on trouve qu'elle peut l'être par y^ — 16 en cette sorte :