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La question donc <{ui avoit ("'té comnienctio à rôsuiulrti par Kii<-!i(le «'I poursuivie i>ar Apollonius, sans avoir été achevée par personne, étoit (elle : Ayant trois ou ([uatie, ou plus j^iand noml)ro de lignes droites données par position; premièronient on denumde nu point duquel on puisse tirer autant d'autres lij4n<'S droites, une sur chacune des données, (pii lassent avec elles des ani^les donnés, et que le rectangle contenu en deux de celles qui seront ainsi tirées d'un même point, ait la proportion donnée avec le carré de la troisième, s'il n'y en a que trois; ou bien avec le rectangle des deux autres, s'il y en a quatre; ou bien, s'il y en a cinq, que le parallélipipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélipipède composé des deux qui restent, et d'une autre ligne donnée; ou s'il y en a six, que le parallélipipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélipipède des trois autres; ou s'il y en a sept, que ce qui se produit lorsqu'on en multiplie quatre l'une par l'iiutre, ait la raison donnée avec ce qui se produit par la multiplication des trois autres, et encore d'une autre ligne donnée; ou s'il y en a huit, que le produit de la multiplication de quatre ait la proportion donnée avec le produit des quatre autres; et ainsi cette question se peut étendre à tout autre nombre de lignes. Puis à cause qu'il y a toujours ime infinité de divers points ({ui peuvent satisfaire à ce qui est ici demandé, il est aussi requis de connoitre et de tracer la ligne dans laquelle ils doivent tous se trouver. Et Pappus dit que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, c'est en une des trois sections coniques; mais il n'entreprend point de la déterminer ni de la décrire, non plus que d'expliquer celles où tous ces points se doivent trouver, lorsque la question est proposée en un plus grand nombre de lignes. Seulement il ajoute que les anciens en avoient imaginé une qu'ils montroient y être utile, mais qui sembloit la plus manifeste, et qui n'étoit pas toutefois la première. Ce qui m'a donné occasion d'essayer si, par la méthode dont je me sers, on peut aller aussi loin qu'ils ont été.

Et })remièrement j'ai connu que cette question n'étant proposée qu'en Képon^o à la trois, ou quatre, ou cinq lignes, on peut toujours trouver les points cherchés i"*^-^''"" de par la géonu'irie simple, c'est-à-dire en ne se servant que de la règle et du compas, ni ne faisant autre chose <|ue ce qui a déjà été dit ; excepté seulement lorsqu'il y a cinq lignes données, si elles sont toutes parallèles : auquel cas,

Descarie^.— Géoméliie. i

comme aussi lorsque la question est proposée en 6, ou 7, ou 8, ou 9 lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie des solides, c'est-à-dire en y employant quelqu'une des trois sections coniques ; excepté seulement lorsqu'il y a neuf lignes données, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, derechef, et encore en 10, 11, 12 ou 13 lignes, on peut trouver les points cherchés par le moyen d'une ligne courhe qui soit d'un degré plus composée que les sections coniques; excepté en treize, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, et en 14, 15, 16 et 17, il y faudra employer une ligne courbe encore d'un degré plus composée que la précédente, et ainsi à l'infini.

Puis j'ai trouvé aussi que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes données, les points cherchés se rencontrent tous, non seulement en l'une des trois sections coniques, mais quelquefois aussi en la circonférence d'un cercle ou en une ligne droite; et que lorsqu'il y en a cinq, ou six, ou sept, ou huit, tous ces points se rencontrent en quelqu'une des lignes qui sont d'un degré plus composées que les sections coniques, et il est impossible d'en imaginer aucune qui ne soit utile à cette question; mais ils peuvent aussi derechef se rencontrer en une section conique, ou en un cercle, ou en une ligne droite. Et s'il y en a 9, ou 10, ou 11, ou 12, ces points se rencontrent en une ligne qui ne peut être que d'un degré plus composée que les précédentes; mais toutes celles qui sont d'un degré plus composées y peuvent servir, et ainsi à l'infini.

Au reste, la première et la plus simple de toutes, après les sections coniques, est celle qu'on peut décrire par l'intersection d'une parabole et d'une ligne droite, en la façon qui sera tantôt expliquée. En .sorte que je pense avoir entièrement satisfait à ce que Pappus nous dit avoir été cherché en ceci par les anciens; et je tâcherai d'en mettre la démonstration en peu de mots, car il m'ennuie déjà d'en tant écrire.

Soient (fig. 5) AB, AD, EF, GH, etc., plusieurs lignes données par position, et qu'il faille trouver un point, comme G, duquel ayant tiré d'autres lignes droites sur les données, comme GB, CD, G F et G H, en sorte que les angles GBA, GDA, GFE, G H G, etc., soient donnés, et que ce qui e.>t produit par la multiplication d'une partie de ces lignes soit égal à ce qui est produit par la multiplication des autres, ou bien qu'ils aient