LIVRE l'ItKMlKR

quelque autre proportion donnée, car cola ne icnd iminl la (pii.'.viiun plus

(liflicile.

Premièrement, je suppose la chose comme dr*jà laite, et pour me démêler (Jonimeni on

doit |)Oser les Fitj. 5. N. termes pour

venir à lY-quation de cet ''n^^^^^ \ exemple.

de la confusion de toutes ces lignes je considère l'une des données, et l'une de celles qu'il faut trouver, par exemple AB et CB, comme les principales et auxquelles je tâche de rapporter ainsi toutes les autres. Que le .segment de la ligne AB, qui est entre les points A et B, soit nommé x; et que BG soit nommé y; et que toutes les autres lignes données soient prolongées jusques à ce qu'elles coupent ces deux aussi prolongées, s'il est besoin, et si elles ne leur sont point parallèles; comme vous voyez ici qu'elles coupent la ligne AB aux points A, E, G, et BC aux points R, S, T. Puis à cause que tous les angles du triangle ARB sont donnés, la proportion qui est entre les côtés AB et BR est aussi donnée, et je la pose comme de s à &, de façon

que AB (fig. 0) étant x, BI\ sera --■> et la toute GR sera y -i — ^5 à cause

que le point B tombe entre G et R ; car si R tomboit entre G et B, GR seroit

!j — — ; et si G tondjoit entre B et R, GR^ seroit — y -h — • Tout de

même les trois angles du triangle DRC sont donnés, et par conséquent

aussi la proportion qui est entre les côtés G R et CD, que je pose comme

t) X c II 1} ex de 2 à c, de façon que GR étant ^ -t- - > GD sera — -\ —' Après cela,

pourceque les lignes AB, AD et EF sont doimées par position, la distance qui est entre les points A et E est aussi donnée, et si on la nomme k, on aura EB égal à k + x; mais ce seroit k — x si le point B tomboit entre E

et A; et — k -h x aï E tomboit entre A et 13. Et poiirceque les angles du triangle ESB sont tous donnés, la proportion de BE à BS est aussi donnée,

Fig. G.

dk ~\~ d X et je la pose comme de z à d, si bien que BS est ? et la toute CS

est

zy + dk

dx . . zy ; mais ce seroit • —

dk — dx

entre B et C; et ce seroit

dk

z dx

1 si le point S tomboit

1 si C tomboit entre B et S. De

plus les trois angles du triangle FSG sont donnés, et en.suile la proportion

de CS à CF, qui soit comme de z à e, et la toute CF sera —

En même façon A G que je nomme l est donnée, et B G est i — ce, et à cause du triangle BGT, la proportion de BG à BT est aussi donnée, qui soit

comme de : à f, et BT sera ^— ^^^' et CT = "^ + '^ — fx p^.^

derechef la proportion de CT à GH est donnée à cause du triangle TCH, et

gz)j + fr/l — fgx la posant comme de z k g, on aura CH = ' — '■ ^

Et ainsi vous voyez qu'en tel nombre de lignes données par position qu'on puisse avoir, toutes les lignes tirées dessus du point C à angles donnés, suivant la teneur de la question, se peuvent toujours exprimer chacune par trois termes, dont l'un est composé de la quantité inconnue y, multipliée ou divisée par quelque auti^e connue; et l'autre de la quantité inconnue x, aussi multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et le troisième d'une quantité toute connue; excepté seulement si elles sont parallèles, ou bien à

LIVRK PUEMIKH. iS

ia ligne AB, auquel cas lo terme coiDposé de la (in.inliié x sera nul; ou bien à la ligne CB, auquel cas c(>liii qui est composé de la quantité y sera nul, ainsi qu'il est trop manifeste pour que je m'arrête à l'expliquer. Et pour les signes + et — qui se joignent à ces termes, ils peuvent être changés en toutes les façons imaginables.

Puis vous voyez aussi que, multipliant plusieurs de ces lignes l'uue par l'autre, les quantités x et y qui se trouvent dans le produit n'v peuvent avoir ({ue chacune autant de dimensions qu'il y a eu de lignes à rexi)lication desquelles elles servent, (jui ont été ainsi multipliées; en sorte qu'elles n'auront jamais plus de dcwx dimensions en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes; ni plus de trois, en ce qui ne sera produit que par la multiplication de trois, et ainsi à l'infini.

De plus, à cause que pour déterminer le point G, il n'y a qu'une seule Comment on

condition qui soit requise, à savoir que ce qui est produit par la multinlica- '•"ouvcquo

'^ ^ ce probliMin;

tion d un certani nombre de ces hgnes soit égal, ou, ce qui n'est de rien plus est plan.

malaisé, ait la proportion donnée à ce qui est produit par la multiplication '^'"^i"''' """^^^

* '^ ' point propos»';

des autres; on peut prendre à discrétion l'une des deux quantités inconnues en plus de

xou 7, et chercher l'autie par cette équation, en laquelle il est évident que, *^'"*^ hgms.

lorsque la question n'est point posée en plus de cinq lignes, la quantité x,

qui ne sert point à l'expression de la première, peut toujours n'y avoir que

deux dimensions; de façon que, prenant une quantité connue pour y, il ne

restera que x^ = + ou — ax + ou — 6'; et ainsi on pourra trouver la

quantité x avec la règle et le compas, en la façon tantôt expliquée. Même,

prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne //, on en

trouvera aussi infinies pour la ligne a?, et ainsi on aura une infinité de

divers points, tels que celui qui est marqué G, par le moyen desquels on

décrira la ligne courbe demandée.

Il se peut faire aussi, la question étant proposée en six ou plus grand

nombre de lignes, s'il y en a entre les données qui soient parallèles à AB

ou BG, que l'une des deux quantités x ou y n'ait que deux dimensions en

l'équation, et ainsi qu'on puisse trouver le point G avec la règle et le compas.

Mais au contraire si elles sont toutes parallèles, encore que la question ne

soit proposée qu'en cinq lignes, ce point G ne pourra ainsi être trouvé, à

cause que la quantité x ne se trouvant point en toute l'équation, il ne sera

14 LA CKOMÉTRIE.

plus permis de prendre une quantité connue pour celle qui est nommée (/, mais ce sera celle qu'il faudra chercher. Et pourcequ'elle aura trois dimensions, on ne le pourra trouver qu'en tirant la racine d'une équation cubique, ce qui ne se peut généralement faire sans qu'on y emploie pour le moins une section conique. Et encore qu'il y ait jusques à neuf lignes données, pourvu qu'elles ne soient point toutes parallèles, on peut toujours faire que l'équation ne monte que jusques au carré de carré; au moyen de quoi on la peut aussi toujours résoudre par les sections coniques, en la façon que j'expli([uerai ci-après. Et encore qu'il y en ait jusques à treize, on peut toujours faire qu'elle ne monte que jusques au carré de cube; ensuite de quoi on la peut résoudre par le moyen d'une ligne, qui n'est que d'un degré plus composée que les sections coniques, en la façon que j'expliquerai aussi ci-après. Et ceci est la première partie de ce que j'avois ici à démontrer; mais avant que je passe à la seconde, il est besoin que je dise quelque chose en général de la nature des lignes courbes.

LIVHK SECOND, d5

en gr-omôlric.