LIVRE SECOND. i

Voyez les lij^nes AB, AD, A F et semblaljles (fir/. 1), que je suppose avoir été décrites p.ir l'aide de riiisfniiri<'nt VZ, (pii est composé de plusieurs

Fiç). 7.

règles tellement jointes que celle qui est marquée YZ étant arrêtée sur la ligne AN, on peut ouvrir et fermer l'angle X Y Z, et que lorsqu'il est tout fermé, les points B, C, D, E, F, G, H sont tous assemblés au point A; mais qu'à mesure qu'on l'ouvre, la règle BC, qui est jointe à angles droits avec X Y au point B, pousse vers Z la règle CD, qui coule sur YZ en faisant toujours des angles droits avec elle; et CD pousse DE, qui coule tout de même sur YX en demeurant parallèle à BC; DE pousse EF, EF pousse F G, celle-ci pousse GH, et on en peut concevoir une infinité d'autres qui se poussent consécutivement en même façon, et dont les unes fassent toujours les mêmes angles avec YX et les autre? avec YZ. Or, pendant qu'on ouvre ainsi l'angle XYZ, le point B décrit la ligne AB, qui est un cercle; et les autres points D, F, H, où se font les intersections des autres règles, décrivent d'autres lignes courbes AD, AF, AH, dont les dernières sont par ordre plus composées que la première, et celle-ci plus que le cercle ; mais je ne vois pas ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive aussi nettement et aussi distinctement la description de cette première que du cercle, ou du moins que des sections coniques ; ni ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive la seconde, et la troisième, et toutes les autres qu'on peut décrire, aussi bien que la première; ni par conséquent qu'on ne les reçoive toutes en même façon pour servir aux spéculations de géométrie.

Je pourrois mettre ici plusieurs autres moyens pour tracer et concevoir des lignes courbes qui seroient de plus en plus composées par degrés à l'infini; mais pour comprendre ensemble toutes celles qui sont en la nature, ligues courbes Descaktes. — Géumitrie. 3

La laçon de distinguer toutes les

lignes droites

tîn certains et les distinguer par ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur

génies, e e ^^^^ ^^ j-^.^ ^^^^ ^^^^^ j^^ points de celles qu'on peut nommer g-éométriques,

rapport c'est-à-dire qui tomlient sous quelque mesure précise et exacte, ont

leurs"" "^ts à nécessairement quelque rapport à tous les points d'une ligne droite, qui

ceux des peut être exprimée par quelque équation, en tous par une même; et que,

lorsque cette équation ne monte que jusqu'au rectangle de deux quantités

indéterminées, ou bien au carré d'une même, la ligne courbe est du

premier et plus simple genre, dans lequel il n'y a que le cercle, la parabole,

l'hyperbole et l'ellipse qui soient comprises; mais que lorsque l'équation

monte jusqu'à la troisième ou quatrième dimension des deux, ou de l'une

des deux quantités indéterminées (car il en faut deux pour expliquer ici le

rapport d'un point à un autre), elle est du second; et que lorsque l'équation

monte jusqu'à la cinquième ou sixième dimension, elle est du troisième;

et ainsi des autres à l'infini.

Comme si je veux savoir de quel genre est la ligne KC (fig. 8), que

Fig. 8.

j'imagine être décrite par l'intersection de la règle GL et du plan rectiligne GNKL, dont le côté KN est indéfiniment prolongé vers G, et qui, étant mu sur le plan de dessous en ligne droite, c'est-à-dire en telle sorte que son diamètre KL se trouve toujours appliqué sur quelque endroit de la ligne B A prolongée de part et d'autre, fait mouvoir circulairement cette règle GL autour du point G, à cause qu'elle lui est tellement jointe qu'elle passe toujours par le point L. Je choisis une ligne droite comme AB, pour rapporter à ses divers points tous ceux de cette ligne courbe EC; et en cette ligne AB je choisis un point comme A, pour commencer par lui ce

l.lVr.K SECOND. 19

calcul. Je dis que je choisis et Tuu et l'autre, à cause qu'il est libre de les preudre tels qu'on veut; car encore ({ii'il y ait l)eauci»u[» de choix pour rendre l'équaliou plus courte et plus aisée, toutefois eu quelle façon qu'on les prenne, on peut toujt)urs faire que la li^nc parf)iss(' de même genre, ainsi qu'il est aisé à démontrer. Après C(da prenani un point à discrétion dans la courhe, comme C, sur lequel je suppose que l'instrument qui sert à la décrire est appliqué, je tire de ce point C la ligne CB parallèle à GA, et pourceque CB et BA sont deux quantités indéterminées et inconnues, je les nomme l'une y et l'autre x; mais afin de trouver le rapport de l'une à l'autre, je considère aussi les quantités connues qui déterminent la description de cette ligne courbe, comme G,\, que je nomme o, KL que je nomme h, et NL, parallèle à G A, que je nomme c ; puis je dis, comme N L est à L K, ou c à b, ainsi C B ou jy est à B K,

qui est par conséquent - y : et BL est - j/ — /»? et AL est x -\ — y — b.

De plus, comme CB est à LB, ou y à - ^ ^ 6, ainsi A G ou a est à LA

h ou X- H — y — h; de façon que, multipliant la seconde par la troisième,

, . (ih . h

on produit — y — ab qui est égale à xy -\ — y* — by, qui se produit

en multipliant la première par la dernière : et ainsi l'équation qu'il falloit trouver est

'f = <^>J — -^ y + 'OJ — «c,

de laquelle on connoît que la ligne EG est du premier genre, comme en effet elle n'est autre qu'une hyperbole.

Que si, en l'instrument qui sert à la décrire, on faitcju'au lieu de la ligne droite CNK, ce soit cette hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan CNKL, l'intersection de cette ligue et de la règle GL décrira, au lieu de Ihyperbole EC, une autre ligne courbe qui sera d'un second genre. Comme si CNK est un cercle dont L soit le centre, on décrira la première conchoïde des anciens; et si c'est une parabole dont le diamètre soit KB, on décrira la ligne courbe que j'ai tantôt dit être

20 LA GliOMÉTRIE.

la première et la plus simple pour la question de Pappus, lorsqu'il n'y a que cinq lignes droites données par position; mais si au lieu d'une de ces lignes courbes du premier genre, c'en est une du second qui termine le plan CNKL, on en décrira, par son moyen, une du troisième, ou si c'en est une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l'infini, comme il est fort aisé à connoître par le calcul. Et en quelque autre façon qu'on imagine la description d'une ligne courbe, pourvu qu'elle soit du nombre de celles que je nomme géométriques, on pourra toujours trouver une équation pour déterminer tous ses points en cette sorte.

Au reste, je mets les lignes courbes qui font monter cette équation jusqu'au carré, au même genre que celles qui ne la font monter que jusqu'au cube; et celles dont l'équation monte au carré de cube, au même genre que celles dont elle ne monte qu'au sursolide, et ainsi des autres : dont la raison est qu'il y a règle générale pour réduire au cube toutes les difficultés qui vont au carré de carré, et au sursolide toutes celles qui vont au carré de cube; de façon qu'on ne les doit point estimer plus composées.

Mais il est à remarquer qu'entre les lignes de cliaque genre, encore que

la plupart soient également composées, en sorte qu'elles peuvent servii- à

déterminer les mêmes points et construire les mômes problèmes, il y en a

toutefois aussi quelques unes qui sont plus simples, et qui n'ont pas tant

d'étendue en leur puissance; comme entre celles du premier genre, outre

l'ellipse, l'hyperbole et la parabole, qui sont également composées, le cercle

y est aussi compris, qui manifestement est plus simple; et entre celles du

second genre, il y a la conchoïde vulgaire, qui a son origine du cercle; et il

y en a encore quelques autres qui, bien qu'elles n'aient pas tant d'étendue

que la plupart de celles du même genre, ne peuvent toutefois être mises

dans le premier.

Suite de l'ex- Or, après avoir ainsi réduit toutes les lignes courbes à certains genres, il

plication de la j^'gg^ ^jg^ ^jg poursuivre en la démonstration de la réponse que j'ai tantôt question de ^ i i o

Pappus, mise faite à la question de Pappus; car premièrement, ayant fait voir ci-dessus

que, lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, l'équation

qui sert à déterminer les points cherchés ne monte que jusqu'au carré, il

est évident que la ligne courbe où se trouvent ces points est nécessairement

au livre précédent.

Livr\K SRCONn. 2i

quelqu'une de celles du premier ^enrc, à cause que celfe mriiif r-qualioii

explique le rapport qu'ont tous les points des lij^nes du premier ^^enre à

ceux d'une ligne droite; et que lorsqu'il n'y a point plus de huit lij,'nes

droites données, cette équation ne monte que jusqu'au carré de carré tout

au plus, et que par conséquent la ligne cherchée ne peut être que du second

genre, ou au-dessous; et que lorsqu'il n'y a point plus de douze lignes

données, l'équation ne monte que jusqu'au carré de culte, et que par

conséquent la ligne cherchée n'est que du troisième genre, ou au-dessous ;

et ainsi des autres. Et même à cause que la position des lignes droites

données peut varier en toutes sortes, et par conséquent faire changer tant

les quantités connues que les signes + et — de l'équation, en toutes les

façons imaginables, il est évident qu'il n'y a aucune ligne courbe du premier

genre qui ne soit utile à cette question, quand elle est proposée en quatre

lignes droites; ni aucune du second qui n'y soit utile, quand elle est proposée

en huit; ni du troisième, quand elle est proposée en douze; et ainsi des

autres : en sorte qu'il n'y a pas une ligne courbe qui tombe sous le calcul

et puisse être reçue en géométrie, qui n'y soit utile pour quelque nombre

de lignes.

Mais il faut ici plus particulièrement que je détermine et donne la façon solution di-

de trouver la ligne cherchée qui sert en chaque cas, lorsqu'il n'y a que trois ^^^^^'^ question

° ^ 1 ' -1 j ^ quand elle

ou quatre lignes droites données; et on verra, par même moyen, que le n'est proposée

premier genre des lignes courbes n'en contient aucunes autres ci ue les trois ''" *'" ''"'"^ "" * ° ^ '■ quatre lignes.

sections coniques et le cercle.

Fùj. .0.

Pieprenons les quatre lignes AB, AD, E F et GH (fig. 9) données ci-dessus

et qu'il faille trouver une autre ligne en laquelle il se rencontre une infinité de points tels que G, duquel ayant tiré les quatre lignes CB, CD, CF et G H, à angles donnés sur les données, CB multipliée par CF produit une somme égale à CD multipliée par G H ; c'est-à-dire, ayant fait

czy + hcx ezy + dek + dex CB— ^j, CD = j CF = ,

et cH = g^y + fa'-fa'°, l'équation est (*)

{cfglz — dckz^) y — (dez- -+- cfgz — hcgz) xy 4- hcfglx — hcfgx^

ez^ — cy.

au moins en supposant ez plus grand que cg, car s'il étoit moindre il

faudroit changer tous les signes + et — . Et si la quantité y se Irouvoit

nulle ou moindre que rien en cette équation, lorsqu'on a supposé le point G

en l'angle DAG, il faudroit le supposer aussi en l'angle DAE, ou EAR,

ou FiAG, en changeant les signes + et — selon qu'il seroit requis à cet

effet. Et si en toutes ces quatre positions la valeur de y se trouvoit nulle,

la question seroit impossible au cas proposé. Mais supposons-la ici être

cfolz ~~ dckz^

possible, et pour en abréger les termes, au lieu des quantités — — -^

ez^ — cgz^

. . ^ ,. , dez- + cfgz — bcgz , . 27i. . .

écrivons 2m; et au heu de ; ? écrivons — > etamsinous

ez^ — cgz^ z

aurons

y^ = 2my - ^^ xy 4- ^.MÉ^^^IlM^, z ' ez^ — cgz^

dont la racine est

nx ■ / . '■Ininx n-x^ y = m T" + 1/ *>^ + -Zï"

hcfglx — bcfgx^

ez^ — cgz^

2î???i hcfol

et de rechef pour abréger, au lieu de 1 -.■> écrivons o:

^ "^ ' z ez' — cgz*

(1) Les termes contenus entre deux parcr.tlii'ses sont placés l'un sous l'aulre Jans les anciennes éditions, comme, par exemple, T ^,1^ î y.