LIVRE SECOND
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et au lieu de — ;^ '■ -■> écrivons — ? car ces quantilés étant toutes
z^ ez* — cgz' m
données, nous les pouvons nommer comme il nous plaît : et ainsi nous
avons
y =: m ;c + 1/ "'•* + ox -+- — x'
qui doit èfie la longueur de la ligne 1«C, en laissant A13 ou x indéterminée.
Et il est évident que la question n'étant proposée qu'en trois ou quatre
lignes, on peut toujours avoir de tels termes, excepté que quelques uns
d'eux peuvent être nuls, et que les signes -t- et — peuvent diversement
être changés.
Après cela je fais Kl égale et parallèle à BA, en sorte qu'elle coupe de
BC la partie B K égale à m, à cause qu'il y a ici -h m. ; et je l'aurois ajoutée
en tirant cette ligne IK de l'autre côté, s'il y avoit eu — m; et je ne l'aurois
point du tout tirée, si la quantité m eût été nulle. Puis je tire aussi IL, en
sorte que la ligne IK est à KL comme z est à ?i; c'est-à-dire que IK étant x,
n KL est — X. Et par même moyen je connois aussi la proportion qui est
entre KL et IL, que je pose comme entre n et a : si bien que KL
7% et
étant — X, IL est - x. Et je fais que le point K soit entre L et G, à cause
qu'il y a ici x; au heu que j aurois mis L entre K et C, si j'eusse
eu H — x; et je n eusse point tire cette ligne IL, si — x eut ete nulle.
Or, cela fait, il ne me reste plus pour la ligne LC que ces termes
LG =r 1/ m- + ox -{- — x^, y m
d'où je vois que s'ils étoient nuls, ce point G se trouveroit en la ligne droite IL; et que s'ils étoient tels que la racine s'en pût tirer, c'est-à-dire
que to' et — ce' étant marqués d'un même signe -f- ou — , o' fût égal à
4 vni, ou bien que les termes rii^ et ox, ou ox et - ce' fussent nuls, ce f •) 1 m
point G se Irouveroit en une autre ligne droite qui ne seroit pas plus malaisée à trouver que IL. Mais lorsque cela n'est pas, ce point G est toujours en l'une des trois sections ou en un cercle dont l'un des diamètres est en la ligne IL, et la ligne LG est l'une de celles qui s'appliquent par ordre à ce diamètre; ou au contraire L G est parallèle au diamètre auquel celle qui est en la ligne IL est appliquée par ordre; à savoir si le
terme - se* est nul, cette section conique est une parabole; et s'il est martn
que du signe -h, c'est une hyperbole; et enfin s'il est marqué du signe — ,
c'est une ellipse, excepté seulement si la quantité a* m est égale à j? s*, et
que l'angle ILG soit droit, auquel cas on a un cercle au lieu d'une ellipse.
oz Que si cette section est une parabole, son côté droit est égal à — ? et son
diamètre est toujours en la ligne IL; et pour trouver le point N, qui en est
et 772-
le sommet, il faut faire IN égale à '■> et que le point I soit entre L et N,
oz
si les termes sont + 9)i' + ox; ou bien que le point L soit entre I et N,
s'ils sont + w- — ox\ ou bien il faudroit que N fût entre I et L, s'il y
avoit — m^ 4- ox. Mais il ne peut jamais y avoir — m*, en la façon que
les termes ont ici été posés. Et enfin le point N seroit le même que le
point I si la quantité m* étoit nulle; au moyen de quoi il est aisé de trouver
cette parabole par le premier problème du premier li\Te d'Apollonius.
Que si la ligne demandée est un cercle, ou une ellipse, ou une hyperbole,
il faut premièrement chercher le point M qui en est le centre, et qui est
aom toujours en la ligne droite IL; ou on le trouve en prenant — pour I M,
en sorte que si la quantité o est nulle, ce centre est justement au point I. Et si la ligne cherchée est un cercle ou une ellipse, on doit prendre le point M du même côté que le point L, au respect du point I, lorsqu'on a -H 05c; et lorsqu'on a — ox, on le doit prendre de l'autre. Mais tout au contraire, en l'hyperbole, si on a — ox, ce centre M doit être vers L ; et si on a + ox^ il doit être de l'autre côté. Après cela le côté droit de la figure
