DEUXIÈME MÉTHODE
Premier cas. — Les deux circonférences sont extérieures Tune à l'autre
(flg. S).
FiG. 3.
Je trace 00' op. : (2Ri + R^).
Aux notations de la première méthode, j'ajoute celles-ci : J'appelle A^ et A^ les seconds points d'intersection de 00' avec les deux circonférences et 0'.
Je prends sur le cercle les points a et a^ tels que AO = Aa m A^a^ .
op. : (2C, + C3).
a et a^ sont placés de part et d'autre de 00'; je prends sur le cercle 0' un point oJ du même côté de 00' que a et tel que A'jO' = A^a'; je trace aa' qui coupe 00' en V et a^a' qui coupe 00' en V^
op::(4R, + 2R, + 2C,4-C3).
Il me suffit maintenant de mener de V et de V^ les tangentes soit à 0, soit à 0' au moyen de Tune des deux solutions indiquées par la construction XXVI, et de remarquer qu'il faut en diminuer les symboles de op. : (Ri -f- Rj), puisque nous pouvons nous servir dans la première, comme diamètre quelconque du diamètre 00' déjà tracé, et dans la seconde également de 00' comme de la sécante quelconque qu'il faut mener ; en adoptant la première construction, on a :
Op. : (14Ri + 7R2 + 18Ci + 8C3); simplicité 48; exactitude 32; 7 droites, 8 cercles.
En adoptant la seconde :
Op. : (14Ri + 7Ra + I6C1 + lOCs) ; simplicité 48 ; exactitude 30 ; 7 droites, 10 cercles.
É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 19
Si Ton n*a à tracer que deux tangentes communes, soit extérieures, soit intérieures, on aura seulement :
Op. : (8Ri + 4R, + HCi + SCg) ; simplicité 28; exactitude 19; 4 droites, 5 cercles.
Deuxième cas. — Les circonférences se coupent.
En employant la première construction du n*» XXVI, on trouve :
Op. : (8Ri + 4R, + llCi + SC8); simplicité 28; exactitude 19; 4 droites, 5 cercles.
En employant la deuxième construction, on trouve :
Op. : (8Ri + 4R, + lOCj + eCj) ; simplicité 28 ; exactitude 18 ; 4 droites, 6 cercles.
Troisième cas. — Les circonférences se touchent extérieurement.
En employait la première construction :
Op. : (14Ri + 7R, + 13Ci + IC,) ; simplicité 41 ; exactitude 27 ; 7 droites, 7 cercles.
En employant la deuxième construction :
Op. : (14Ri + 7R, + 12Ci + 8C3) ; simplicité 41; exactitude 26; 7 droites, 8 cercles.
Quatrième cas. — Les deux circonférences se touchent intérieurement ; comme dans la première méthode.
XXX. — Construire une droite CD qui soit n fois une longueur donnée AB^: l^ sans marquer les divisions intermédiaires; 2° en marquant les divisions.
En se reportant à VIII, on trouve :
1^ Op.: [R, + (^ + 2)C, + Cj.
2« Op. : [R, + (n + 1)C, + C, + nC,].
Pour certaines valeurs de n, on peut avoir des constructions particulières plus simples.
XXXI. — Construire une droite CD qui soit la n™® partie d'une droite
donnée AR.
Je trace deux droites quelconques OH, OL op. : (2R2).
Je porte AR en OH op.: (3Ci + C,,).
Sur OL je prends la longueur OL égaleà n fois une ouverture de compas
quelconque et j'en marque les deux dernières divisions K et L . . . .
. . . . op. : (2Ci -f nCj).
20 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR l'aVANCEMENT DES SCIENCES
Par K je mène une parallèle à LH (sans tracer LH)
op.: (2R; + R, + 6Ci + 2C8)
qui coupe OH en G; GH est la longueur cherchée.
Op. : [m, + 3R, + lie, + {n + 3)63].
Simplicité 19+**> exactitude w + 10 (les C3 de OL comptent évidemment ici, sauf Tavant-dernier, pour estimer Texactitude) ; 3 droites, (n -|- 3) cercles.
Remarque. — Pour certaines valeurs de n: 2,3, 4, 2'', etc., 'par exemple, on peut trouver des constructions particulières plus simples.
XXXn. — Diviser une droite AR en p parties proportionnelles à des
droites données n,, n^, . . . n .
Je mène par R une droite RX op. : (R, + Rj) ;
Je prends sur RX, RN, r= n,; N^N, — n^, ... N ^^N = n . . .
op.: [/>(3C, + G,)].
Je trace AN^ op.: (2Ri + Ra).
En chacun des points N , N , ... N^, je fais avec N R des angles
égauxà RN/, op.: [2(p-l)R, + (p-l)R, + (2;> + l)Ct + (2/>-l)C3].
Op. : [(2p + 1)R, + {p + 1)R, + (Sp + 1)C, + {Sp - 1)C3]; simplicité Up -\-^; exactitude 7p + 2; {p + l) droites, {3p — 1) cercles.
RexMarque. — Si les parties n^, n^, ... n étaient trop petites ou trop grandes pour être employées directement, on les rendrait toutes X fois plus grandes ou X fois plus petites, ce que nous savons faire par les opérations XXX ou XXXI, et Ton calculerait facilement le symbole, lequel serait alors plus compliqué.
Si plusieurs des parties n^, n^, ... n^ sont égales sans qu'elles le soient toutes, et que Ton ait plusieurs compas (*), le symbole général se simplifie.
(*) Nous supposons toujours, si l'on ne prévient du contraire, que l'on ne se sert que d'un seul compas ; mais il y a des opérations où il est avantageux d'en avoir plusieurs ; cela arrive si, ayant pris avec le compas une certaine longueur, on a encore besoin de cette même longueur dans la suite de la construction après avoir été obligé de déranger l'ouverture du compas pour prendre une autre longueur ; chaque fois que l'on n'est pas obligé de faire ce changement d'ouverture, on gagne : op. : (2C1). Remarquons encore que si la construction se déduit du raisonnement géométrique, l'ordre des constructions n*a pas besoin de suivre l'ordre de ce raisonnement. Ainsi, si le raisonnement montre à diverses parties de son développement, que l'on a à construire plusieurs cercles de môme rayon dont les centres sont déjà fixés lorsque Ton construit le premier, il faudra évidemment les décrire tous pendant que l'on a ce rayon dans l'ouverture du compas, etc. ; aussi est-il nécessaire, pour toute construction faite avec soin, de l'étudier à l'avance dans son ensemble, d'en faire l'étude par une sorte de croquis raisonné pour arriver le plus simplement possible au résultat cherché ; il y a un art véritable des constructions géométriques dont on ne s'est jamais systématiquement préoccupé ; le géomètre, comme je l'ai déjà fait remarquer, dit aussi simplement : a Je prends la polaire de A par rapport au cercle » qu'il dit : « Je joins les deux points A et B » et la chose exécutée est bien différente. Le géomètre cherche la simplicité delà phrase, de la déduction, de l'idée ; si l'énoncé de la construction qu'il indique est simple, il dit : c La construction est simple » ; c'est de cette simplicité dont on s'est exclusivement occupé jusqu'ici. Uart de la construction géométrique ou Géométrographie se place à un tout autre point de vue.
É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 21
XXXm. — Construire la quatrième proportionnelle X à trois droites
N . P données M, N, P ; X = — ^ 7
ou : Diviser une longueur P proportionnellement à deux longueurs données
M et N.
Voici la construction classique :
a) Je trace deux droites qui se coupent en A op.: (2Ra).
Sur un des côtés et dans le même sens, je prends AB = M; AD = N; puis sur l'autre côté AC = P : op.: (OCi + SCj).
Puis, par D une parallèle à BC, je mène cette parallèle (sans tracer BC) par l'opération op.: (2Ri + Rj -f 6C1 + ^Cj).
J'ai ainsi :
Op. : (2Ri + 3R2 + 15Ci + SCj); simplicité 2S; exactitude 17;
3 droites, 5 cercles.
Remarquons même que si j'avais tiré BC, comme l'indiquent toutes les constructions classiques, j'aurais eu le symbole un peu plus compliqué (quoique en employant la méthode simplifiée, voir XVII, pour mener par un point D une parallèle à une droite BC) suivant :
Op. : (4Ri + 4Rj + 130^ + SC^); simplicité 26; exactitude 17;
4 droites, 5 cercles.
Mais il y a d* autres constructions quHlfaut employer de préférence parce qu* elles sont plus simples.
h) Je trace (fig. 4) une droite quelconque. ....
....... op. : (Rj).
Je prends sur cette droite RA:zzN;RB = P . . . . . .op.:(SCi + Cj + 2C8).
Je construis un cercle passant par les points A et B; je construis R(M) qui coupe en G le cercle passant par A et B op.: (6C, + 4C,).
Je trace la aroile liCD (D sur le cercle passant par A et B)
op.: (2R, + R,).
Op.: l2tii + 2Kj + llCi + C, + 6C3); simplicité 22; exactitude 14; 2 droites, 6 cercles.
c) Je trace (fig. 5) une circonférence d'un rayon plus grand que la moitié de la plus grande des trois lignes M, N, P op.: (Cj).
Je prends à partir d'un point quelconque R de celle circonférence des
ÀR
cordés RA, RB, RC égales respectivement à N, P,-M, op. : (8Ci+ Cj+SCa). A et B étant de part et d'autre de R, je trace AB . op. : (2Ri + ^a)-
Je prends sur la circonférence passant "-/- -. par A, B, C AE = BC, E et C étant du
même côté de AB. . .op. : (3Ci -|- Cg).
\ Je trace RE qui coupe AB en H . , .
AY^.....lil r--,VB . . . op. : (2Ri + R^).
in/ ^ l
! / I RH est X, car les deux triangles ARH,
\/. > ' CRB sont semblables, etc.
'"^^ 'T Op. : (4R, + 2R, + IIC, + C, + SCa);
pj^j g simplicité 23; exactitude 16; 2 droites,
S cercles.
Les constructions que nous indiquons dans tout ce travail sont générales^ à moins que nous n'avertissions du contraire, c'est-à-dire qu'elles peuvent toujours s'appliquer avec n'importe quelles données, et cela est indispensable pour l'étude générale de la simplicité d'une question donnée, puisque ce sont des constructions fondamentales d'où l'on part pour établir le symbole d'uùe construction à effectuer. Ainsi, par les constructions
N . P a, 6, c, quels que soient M, N, P, la quatrième proportionnelle — j^ peut
se construire. Il y a quelquefois des constructions plus simples que celles que nous venons de donner, mais alors elles ne sont pas générales; par
exemple, pour tracer la quatrième proportionnelle ' > on peut opérer
ainsi lorsque N ei P sont plus petits que 2M (voir Journal de Vuibert, 1881-82, p. 58).
d) Je trace d'un point quelconque le cercle 0(M) ; d'un point quelconque R du cercle, je trace R(N) qui coupe 0(M) en A
op.: (4C, + C, + 2C3).
Je trace A(P) qui coupe 0(M) en B (R, A, B étant dans le même sens); je trace B(P) qui coupe R(N) en A et en A'.
A A' est la quatrième proportionnelle cherchée. . .op.: (SC^ -|- ?C1,).
Op.: (8Ci 4" ^2 + ^Cs); simplicité 13; exactitude 9; 4 cercles.
Il yen a beaucoup d'autres du même genre (voir, par exemple, Journal de Vuibert, 1881-82 p. 89). Cette dernière est aussi indiquée dans Mathesis, 1892, p. 138, mais sans que l'on y ait fait observer son défaut de généralité.
Il est, du reste, fort intéressant de connaître les principales constructions non générales des problèmes fondamentaux de la ^construction, parce qu'on doit les appliquer à l'occasion, et aussi de connaître les solutions générales moins simples que celles que nous donnons ici, parce que, quand certaines lignes sont déjà tracées sur la figure, elles peuvent
devenir les plus simples; mais avant de les accepter pour établir le symbole d'une construction, il faut : pour les premières, examiner si les conditions restrictives qu'elles exigent sont remplies ; pour les secondes, si leur emploi simplifie effectivement la construction.
