XXXIV. — Construire la troisième proportionnelle X

Si, dans les constructions du problème XXXIII, on suppose N = P, on aura la construction cherchée.

La construction a) donnera . . . .op.: (4Ri -|- 4R2 + lOCi + 4C3);

•^ b) v . . op. : (2R, + 2R, + 9C, + C, + 6C3),

par une modification facile, en remplaçant le cercle passant en A et

en B par un cercle tangent en A à RA, puisque A et B se confondent.

c) donnera . . op : (4Ri + 2R^ + 5Ci + C^ + SCs).

Il suffira de prendre sur le cercle tracé au commencement de la construction, corde RA = corde RB = N, A et B étant pris de part et d'autre de R, de prendre corde RC = M, de tracer RC qui coupera AB en H, RH est la longueur cherchée (*).

d) Construction non générale puisqu'elle exige 2N «< M ; on trouve . .

op. : (6C, + C, + 4C,).

La plus simple construction générale que je connaisse de la troisième

proportionnelle X = — > dérivée de XXXIII, se déduit donc de c par le

symbole :

Op.: (4Ri + 2Rj + SC^ + C^ + SC,); simplicité 15; exactitude 10; 2 droites, 3 cercles.

Si l'on a ; N < 2M, en voici encore une fort simple :

Je trace B(M), B est quelconque op.: (2Ci + C3).

A étant quelconque sur B(M), je trace A(N) . .op.: (2Ci + C^ + C3).

Je trace BD qui coupe A(N) en C op. : (2Ri + ^^2)»

onaCDznX.

Op.: (2Ri + Ra + 4Ci f C^ -f- 2C3); simplicité 10; exactitude 1; 1 droite, 2 cercles.

XXXIV ^**. — Dans un triangle ABC, construire les longueurs :

6* c« c« a^ a^ b^ bc ca ab aabbccabc

La construction pour chacune d'elles est plus simple que les constructions générales XXXIII et XXXIV, parce qu'elle est exécutée dans un triangle tracé.

(*) Cette ooMtruoUon doiue lo tb($or6Me «UvAnt : 8i énnê un Irinnefte ABO on m^n^ du point A la p0rpHndiculaif4 au rayon OR du wcle circonscrit à ARC, celte perpendiculaire coupera le côté CR gn un poM^ H ef Toflâtfrd AB> = RH .RC. ' - ....... . . , ,

24 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR l' AVANCEMENT DES SCIENCES

Je fais l'angle BAK = C, K étant sur BC dans le sens BC.

Ona:AK = ^, BK=-.

Op.: (2R,4-R2 + SCi + 3C,).

JEn faisant l'angle CAH = B, H étant dans le sens CB,on aurait de

même AH = - = AK; CH = - .

On utilise fréquemment cette construction dans la géométrie du triangle.

XXXV. — Construire la moyenne proportionnelle entre deux droites données

M et N, X« = M . N.

Employons d'abord les deux solutions classiques, cependant en faisant les économies possibles de tracé que suggèrent notre méthode.

La première fondée sur la proposition :

Dans un triangle rectangle, la perpendiculaire abaissée du sommet de r angle droit sur l* hypoténuse est moyenne proportionnelle entre les deux segments de V hypoténuse;

La seconde sur :

La longueur de la tangente menée d!un point A. à un cercle est moyenne proportionnelle entre les distances du point A aux points B et C où une sécante menée par A c(mpe le cercle.

a) Je trace une ligne AB sur laquelle je prends AB = M, BC == N. .

op.:(R, + SC, + C, + 2C3),

soit AB >> BC. Je décris un cercle sur AC comme diamètre en utilisant pour prendre le milieu de AC la circonférence A(M) tracée pour avoir B,

ce qui fait une économie de op. : (C^ -f" G,), il reste

op.: (2R, + R, + 3C, + 2C3).

Au point B, j'élève une perpendiculaire sur AC qui coupe 0(0C) en D; je l'obtiens par le symbole ... op.: (2Ri + Rj + ^C^ + SC»), si j'ai eu soin, en traçant B(N) pour placer C, de marquer le second point C où B(N) coupe AC, DB est la moyenne proportionnelle cherchée.

Op. : (4Ri + 3R, + lOC^ + C^ + ÔC,); simplicité 24; exactitude IS; 3 droites, 6 cercles.

h) Je trace une ligne AB sur laquelle je prends AC = N, AB = M. . . op.: (R, + 5Ci + C, + 2C3).

Je décris sur CB comme diamètre une circonférence en utilisant pour trouver le milieu de CB la circonférence A(M) tracée pour trouver B ; soit le milieu de CB op.: (2Ri + R, -f 3Ci + 2C8).

Sur AO comme diamètre, je décris une circonférence qui coupe 0(0C) enD op.: (2Ri + R, + 4Ci + 3C8K

AD, qu'on n'a pas besoin de tracer, fest la moyenne proportionnelle cherchée.

Op. : (4Ri + 3Ri + 12Ci + C, + IC,); simplicité 27; exactitude 17; 3 droites, 7 cercles. '

Note. — Si j'emploie deux compas, je puis économiser op.: (Ci -f- Cg) en me servant, pour trouver le milieu de AO, de la circonférence A(AB), et Ton aurait :

Op. : (4Ri + 3R, + llCi + C, + 6C,); simplicité 2S; exactitude 16; 3 droites, 6 cercles.

Ce qui montre que, au point de vue graphique^ contrairement à l'observation faite généralement, les deux solutions classiques a et & sont bien près d'être équivalentes (voir Rouché et de Comberousse, Tt^aUé de Géo~ métriey 1'® partie, p. 152); elles sont d'ailleurs toutes deux très mauvaises^ quoique nous les ayions simplifiées par des économies de lignes. Voici la meilletire que je connaisse :

c) Soit toujours M la plus grande des deux lignes M et N, je trace une droite AB quelœnque op.: (Rj).

Je trace A(M), A étant un point quelconque sur AB, op. : (2Ci + ^2 + ^s)«

A(M) coupe AB en B; je trace B(N) qui coupe BA en C entre B et A; je trace C(N) qui coupe B(N) en P et Q op.: (4Ci + ZCg).

Je trace PQ qui coupe A(iM) en H op. : (2Ri + Rj).

BH est la droite cherchée.

Op. : (2Ri 4. 2R2 + 6C1 + C, + 3C8); simplicité 14 ; exactitude 9;

2 droites, 3 cercles.

Cj) On peut aussi opérer ainsi : .

D'un point quelconque C je trace C(M).

Je trace un rayon quelconque CB qui coupe C(M) en B

op. : (Ri + R, + 2Ci + C«).

Je décris B(N) qui coupe BC en K, entre B et C ; je trace K(N) qui coupe B(N)enP et en Q op.: (4Ci + 2C3).

Je trace PQ qui coupe C(M) en A op. : (2Ri + Rj).

AK ou AB est la moyenne proportionnelle cherchée, car les deux triangles isocèles ACB, BAK sont -semblables et ont AB côté commun.

Op. : (3Ri + 2R, + 6C1 + 30,) ; simplicité 14 ; exactitude 9; 2 droites,

3 cercles.

On ne peut dire que cette méthode de construire une moyenne proportionnelle soit foncièrement nouvelle, car, à une très légère modification graphique près, qui donne 14 au lieu de IS comme simplicité, on la trouve {N. A., 1857, p. 125), sous le nom de M. Edm.-Aug. Gouzy, de Lausanne, mais énoncée sans commentaire qui en fasse ressortir l'extrême simplicité.

Son symbole, en exécutant l'opération dans l'ordre où l'énoncé de

M. GoUzy l'indique, est : op. : (Rj +8Ci -{- Cj -f SCg), ce qui est la moitié de ce que serait Topération classique exécutée, comme on le fait ordinairement, sans les simplifications que nous avons faites, suggérées par ridée systématique de simplification. On n'avait du reste aucun critérium positif de la simplicité ; depuis quelques années on a signalé cette construction dans les journaux de renseignement et quelques professeurs Font indiquée- dans leurs cours, toutefois sans dire qu'elle devait 7'emplacer les constructions a et 6.

Je ne suis pas familiarisé avec les méthodes de la . statique graphique, mais je crois que la théorie de la Simplicité et de l'Exactitude des constructions y trouvera une large application. (C'est aussi la construction de M. Gouzy qui se trouve indiquée dans les Leçons de Statique graphique de M. A. Favaro, traduction Terrier, deuxième partie, p. 68, 1885.)

Voici deux autres solutions simples — moins simples cependant que c ou Cl — du même problème :

d) Je trace (fig, 6) un cercle quelconque d'un rayon OB tel que OB > -^

et j'y trace la corde BC égale à M ... op. : {%R, + R^ + 2Ci + C^ + 2C8).

Sur BG je prends BK :=: N ; K étant entre B et G . . .op. : (3Gi -f- Gg).

De K j'abaisse une perpendiculaire sur OB, sans que OB soit tracé, en me servant du cercle B(N) déjà tracé

pour avoir K ... . ,

// , . / . . . op. : (2R, + R, + 2G, + G3).

q\. =^-----^"- :/b Gette perpendiculaire coupe en A

le cercle 0(0B).

AB est la moyenne proportionnelle FiG 6 cherchée.

Op.:(4R, + 2R, + 7C, + G,+4G3); simplicité 18 ; exactitude 12 ; 2 droites, 4 cercles.

dj) On peut aussi tracer BK = N comme corde d'un cercle de rayon

suffisant et de centre quelconque. . op. ; (2Ri + 1^2 + 2Gi -f- 2G3)v

Puis prendre BG = M ; G étant sur BK dans le sens BK ..... .

op. : (3G, + G3).

Puis de G abaisser, sans tracer OB, une perpendiculaire sur OB ,qui coupe le cercle 0(0B) en A op. : 2Ri + R^ -f âG^ + Gg).

AB est la droite cherchée parce que les deux triangles BGA, BKA sont semblables et onl le côté BA commun.

d) et rfj) ont le même symbole.

e) Je signalerai encore la construction élégante que vient d'indiquer M. Lém Colette (Mathesis, p. 192, 1892)»

XA

É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 27

Je trace (fig. 7) un cercle quelconque 0(0A), QA étant plus grand que M.

De A, point quelconque de ce cercle comme centre, je trace A(M) qui coupe 0(0A) en B et en C, puis A(N) qui coupe 0(0 A) en F et en G; les '7:-

points F, B, C, G se succédant dans / \

cet ordre, F, B, C, 6

. op. : se, + C, + aCa). . \/F oy

Traçons AB, AC qui rencontrent |'\^ / . q \ /\

M.j____:hvl :u^-— 4- N

A(N) en D et en E ; puis DE \ — 1^?^""" "'ne

op. : (6Ri + 3R,) ^ ^ '' ^ ' ^

qui rencontre 0(0 A) en M ; AM est la bX>- -v^?

moyenne cherchée.

*' Fig. 7.

Op. : (6R,+ R, + 5C, + C, + 3C,); simplicité 18; exactitude 12; 3 droites, 3 cercles.