BC

a, p, Y, 8 étant des nombres entiers.

A cette question d'analyse indéterminée, assez imprévue à propos de notre sujet et que je crois très difficile et fort intéressante par elle-même sans que je puisse l'étudier en détail, s'en rattachent une foule d'autres comme les suivantes : Parmi les nombres 1, m, n, d, p, q; combien peuvent être choisis arbitrairement pour que Von puisse déterminer les autres de façon que Vune des quantités HF, FC, e^c, ait une valeur donnée, ou encore :

Etant donné un triangle AB'C dont les côtés sont des nombres entiers, peut-on toujours trouver une transversale DEF qui divise les côtés du triangle en segments qui soient des ncmbres entiers, ou à quelles conditions le pro^ blême estAl possible? On ramène immédiatement, par le théorème de Méiiélaiis, cette dernière question à celle-ci : a, b, c étant des nombres entiers, l'équation ayz — bzx — cxy -j- bcx — cay — abz -f- abc := 0, Ort-elle toujours pour x, y, z des solutions entières, positives ou négatives, dont aucune n'est zéro? - .

La nouvelle géométrie du triangle rend encore plus évident combien il est indispensable de s'occuper systématiquement de Vart des constructions y car tout ce qui se rapporte à elle, en fait de constructions, revient en dernière analyse à la construction des points remarquables^ c'est-à-dire de ceux dont les coordonnées normato (*) présentent, exprimés en fonction des éléments du triangle, une symétrie tournante.

Or, chaque propriété trouvée pour un point, donne une construction de ce point plus ou moins simple, plus ou moins directe ; il est donc nécessaire de classer ces constructions, de présenter la plus simple pour déterminer chaque point remarquable étudié dans cette géométrie et de connaître les principales constructions parmi les autres moins simples^ mais qui pourront devenir fréquemment les plus simples dans tels ou tels tracés d'ensemble.

^jC

tf

FiO. 11.

Le premier problème à résoudre dans la géométrie du triangle où les diverses coordonnées employées doivent se traduire pour les solutions graphiques en coordonnées normales est le suivant :

XLK. — Placer un point M dont on connaît les coordonnées normales proportionnelles 1, m, n, par rapport au triangle de référence ABC.

Je suppose que /, m, n sont des droites (autrement il faudrait déterminer d'abord des droites proportionnelles à ces quantités, nous en donnons plus' loin un exemple).

. a) Je trace (fig. 41) trois perjpendiculaires, une à chaque côté, en

<*) Je dis fwrmalea à Texclasion de harycentrîqwB, parce que ces dernières sont des coordonnées très utiles à la spéculation géométrique, mais se prêtent mal à la (xmtiiruction directe qui n'utilise immédiatement que des droites et des cercles et non des poids ou des surfaces.

É. LEMOINE. — LA GÉ0MÉTR06RAPHIE 41

décrivant des sommets trois cercles d'un même. rayon suffisant mais quelconque. Les intersections de ces cercles deux à deux donnent les trois médiatrices, il est évident que les rayons des trois cercles n'ont pas besoin d'être égaux pour tracer des perpendiculaires qui ne seraient pas les médiatrices, mais c'est plus commode. . . op. : (6Ri + SR^ + SC^ + ^C,). • Sur chaque côté du triangle, BC par exemple, je prends le pied A' de la perpendiculaire menée à ce côté, et je détermine le sommet A^ opposé à A' d'un carré A'aAja^ de côté / dont les côtés seraient dirigés suivant A'B et la perpendiculaire à A'B menée en A'.

Je trace A^a^, j'ai ainsi fait . . . . op. : 3 r2Ri -j- Rj -|- ^^i + SC^I. Les trois lignes A^a^, B^Pi, C^yi déterminent un triangle A^BjC^ homothétique à ABC ; le centre d'homothétie que j'obtiens par. . op. : (4Ri + 2R51), est le point M cherché.

Symbole de l'opération totale : op. : (16Ri + SR, + ISC^ + ISC,) ; simplicité 54 ; exactitude 34 ; 8 droites, 12 cercles.

Nous avons traité la même question {Bulletin. de la Soc. math,^ 1888, p. 163), en nous appuyant sur le mé^me principe géométrique (c'est-^à-dire que le point M appartient au lieu- des points dont le rapport des distances

/ à BC et à CA est —, etc.) ;

Nous trouvions pour symbole : op. : (34Ri -f* ^'^^^ + 13Ci + ''^j) ; simplicité 71 ; exactitude 47 ; 17 droites, 7 cercles.

Cette construction est moins simple que la précédente ; de plus, dans l'article cité, nous n'en avions pas même tiré le meilleur parti possible.

Je ferai remarquer à ce propos qu'il ne nous vient pas à l'idée que nous fixons ici les symboles fondamentaux de Y art de la construction géométrique^ comme si nous donnions les constructions définitivement les plus simples, car:

1® Un autre géomètre pourra trouver une meilleure interprétation graphique de la solution que nous avons adoptée;

2° Il pourra imaginer une autre solution conduisant à un meilleur résultat; disons même que les constructions ne pourront jamais être théoriquement fixées, puisqu'il n'y a aucun critérium pour reconnaître si une solution est la plus simple qu'il soit possible et si elle est conduite graphiquement le mieux possible; maX^ pratiquement la chose sera bientôt faite quand les géomètres auront dirigé leur attention sur un sujet aussi clair et aussi nettement défini ; il suffira d'enregistrer chaque perfectionnement, l'on aura rapidement les résultats effectivement définitifs.

h) Les coordonnées normales 1, m, n sont des coordonnées normales absolues et Von en connaît deux, 1 et m par eocemple :

1® Je prends/ op.: (2Ci).

Je décris C(/) et je mène les deux perpendiculaires en C à CA et

àCB . . op. : (4Ri + 2R2 + se, + 5C,).

Je prends m que je porte dans le sens convenable en Cfx sur la perpendiculaire à G A ; ce transport n'a pas besoin d'être fait pour l qui se trouve placé sur le cercle C(/) . . . , op. : (3Gi -f- ^a).

Par les extrémités ainsi obtenues de l et de m, je mène des perpendiculaires aux droites qui joignent ces extrémités à C (XX 2^ 6) . . . . . .

. op. : (8R, -t- 4R, + 2C, -f 2C,).

Elle se coupent au point cherché.

Op. : (12Ri + 6R, + 120^ + 8C,) ; simplicité 38; exactitude 24; 6 droites, 8 cercles.

2® Je trace un cercle passant par C au moyen duquel je trace les deux perpendiculaires à CB et à CA menées en C (XX 2^ b, en économisant Cl 4- Cj puisqu'un seul cercle suffit) ... op. (SR^ -|- ^^% + Ci + G,).

Sur ces perpendiculaires, je place dans le sens convenable les coordonnées ^ et m . op. : (6G1 + 2C,),

et, comme dans la construction précédente, je trace par les extrémités ainsi obtenues des perpendiculaires aux droites qui joignent ces extrémités à C op. : (8R1 + 4R, + 2G, + 2G,).

Op. : (1 6R1 4- 8 R, + 9Gi 4- SC,) ; simplicité 38 ; exactitude 2S ; 8 droites, 5 cercles.

Ghaque point remarquable peut évidemment se construire quand on a l'expression de ses coordonnées normales, mais cette construction est toUrjours beaucoup plus compliquée que d'autres qui se déduisent des propriétés du point. Nous allons en donner quelques exemples.