LI. — Placer le point de Lemoine K d'un triangle ABC

Ses coordonnées normales étant immédiatement données par les côtéè du triangle, il serait placé par la construction XLIX; mais il se construit d'un très grand nombre de façons plus simples, nous en avons étudié six (qui pourraient, du reste, être mieux conduites que nous ne Tavons fait alors). (Voir /. E., 1889, p. 34.)

Je donne ici seulement la plus simple : .

Sur AC je prends AC = AB op. : (2Ci + C5);

puis laissantla pointe en A, je prends sur AB, AB' == AC, op. : (C, -[" Cj).

Je décris la circonférence C'(AC) dont le rayon est entre les branches du compas ^P« • (Ci + Cj).

Je reprends la longueur AB et je décris B'(AB). . .op. : (3Ci +C3).

C'(AC) et B'(AB) se coupent en A'.

Je trace la symédiane A A' qui contient le point K. . op. : (^R^ -fRj).

Je trace l'autre symédiane BB'en faisant une économie de Cj

. . op. : (2R, + R, + 2Ci + 3Cs).

En tout : op. : (4R,-f-2R.4-i3Ci + 8Q; simplicité 27; exactitude 17; 2 droites, 8 cercles.

Si j'avais deux compas, je pourrais économiser. . .op.: (4Ci + C3) et j'aurais pour symbole ;

Op. : (4Ri + 2R2 -f 9C, + 7R3); simplicité 22; exactitude 13; 2 droites, 7 cercles.

On voit par ce qui précède que : Con peut tracer une symédiane par le symbole :

Op. : (2Ri + R, + 7Ci + 40,); simplicité 14 ; exactitude 9 ; 1 droite,

4 cercles.

LU. — Tracer la droite de Lemoine.

Je fais eu A et en 3> de 1 autre côté de AB que le point C, les augles BAA', ABB' égaux à C.

A' étant sur CB, B' sur CA, je trace A'B', c'est la droite cherchée.

Op. : (6Ri'+ 3R, + 60^ + iQ] simplicité 1 9 ; exactitude 12 ; 3 droites ; 4 cercles.

Un cas très, intéressant, mais aussi beaucoup plus délicat que le problème de trouver une construction déterminée le plus, simplement possible, se présentera très sou-vent dans la géométrie du triangle : c'est de combiner une construction qui donne le moyen le plus simple de trouver, dans un même ensemble de constructions, plusieurs résultats dont on a également besoin. Si le lecteur veut s'exercer à quelques cas simples, il verra rapidement, s'il en doute encore, qu'il y a un art véritablement nouveau des constructions géométriques. Cette recherche exige que l'on possède à fond la géométrie du triangle, que Ton ait une grande présence d'esprit pour choisir les constructions quand on fera le croquis de sa construction, et beaucoup de réflexion.

Il arrivera souvent que la combinaison des constructions les plus simples pour chaque résultat isolé ne donnera pas du tout le résultat le plus simple cherché, qui s'obtiendra par des voies différentes. Le problème se complique rapidement et présente souvent des difficultés que n'aurait pu faire prévoir la théorie si simple de l'art des constructions.

Nous allons en donner brièvement un exemple des plus élémentaires.

LIU. — Placer le centre de gravité et le point de Lemoine d'un triangle ABC

en une même construction.

L'addition des constructions LI et LU nous donnerait un symbole de simplicité 43 qui se simplifierait évidemment un peu en utilisant dans les constructions les cercles de même rayon a, b ou c, que l'on peut tracer pour une des constructions et qui serviraient à l'autre lorsque leur centre se trouverait placé sur l'épure au moment où l'on aurait la longueur convenable entre les branches du compas, mais il est facile de prévoir que le compte total dépasserait 32, car au moment où nous placerions % nous aurions au moins 26 (puisque c'est le nombre que nous considérons comme donné par la construction la plus simple de K), fet il resterait à trouver le barycentre, ce qui exigerait au moins le tracé de deux droites ou six opérations élémentaires, car aucune médiane n'a été tracée dans la construction de K. Les lignes qui précèdent ne sont pas une démonstration rigoureuse que 32 serait dépassé, mais elles le montrent suffisamment.

Nous allons donner une construction qui place ces deux points par le symbole :

É. LEMOINE. — LA 6É0MÉTR06RAPHIE 45

Op. : (12Ri -f 6R» + 9Ci + 5C3); simplicité 32 ; exactitude 21 ; 6 droites , S cercles.

Je trace les trois cercles A(R), B(R), C(R) de môme rayon R suffisant pour qu'ils se coupent deux à deux op. : (3Ci -|- 3C3).

Au moyen de deux de leurs intersections, je place les milieux A' et B' deBCetdeCA op.: (4R4+2Rj).

Je trace AA', BB', ce qui place le baryœntre . . .op. : (4Ri + ^R»).

Je prends sur les arcs de A(R) et de B(R) compris entre les côtés des angles A et B du triangle les arcs qui placent les points où les arcs sont coupés par les symédianes de A et de B (on sait que les médianes et les symédianes d'un même angle, symétriques par rapport à la bissectrice de cet angle, font des angles respectivement égaux avec les côtés de angle op. : (6C, + SC,);

Et enfin je trace les symédianes de A et de B, ce qui place le point K op. : (4Ri + 2RJ.

Les lecteurs pourront s'exercer à la construction la plus simple pour obtenir dans un même ensemble :

Le point de concours des hauteurs, le centre de gravité, le point de Lemoine ;

Le centre du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit ;

Le point de Nagd et le point de Gergonne, etc., etc.