ET DE L'EXACTITUDE

Une construction exécutée avec la règle et le compas ne comporte que les opérations élémentaires suivantes :

Mettre le bord de la règle en coïncidence avec un point .op. : (RJ.

Tracer la ligne droite op* : (Rj)*

Mettre une pointe du compas en un point déterminé . . .op. : (CJ* Mettre une pointe du compas en un point indéterminé d'une ligne. . *

op. : (CJ.

Tracer la circonférence op.: (Cs)-

(Op. : est l'abrégé dû mot opération..)

Nous ne tenons pas compte de la longueur tracée des lignes.

Si Ton trace, par exemple, un petit arc ou le cercle entier, c'est toujours Cj ; toujours Rj pour une portion queTcoàque de droite tracée.

Toute construction est donc finalement représentée par :

Op. : /^Ri + /jRj -|- m^Ci + m^C^ + ^3^3.

Nous appelons coefficient de simplicité^ ou plus brièvement SimplicUé de la constrtiction, le nombre /i + ^2 + ^1 H" w*a + ^s? ^^ coefficient d'exactitude^ ou plus brièvement Exactitude de la construction, le nombre A + w^i + ^2J parce que l'on voit facilement que, en réalité, l'exactitude dépend des opérations préparatoires /i, m^, m, et non des opérations de tracé; l^ est le nombre de droites tracées, m^ le nombre des cercles (*).

Pour abréger l'écriture, au lieu d'écrire : la circonférence qui a pour centre, et la longueur AB ou la longueur R pour rayon, nous écrirons : 0(AB)ouO(R).

Nous ferons ici une remarque importante qui s'applique toutes les fois que la notion générale de nombre intervient dans un problème de Géométrographie ; c'est que la question sort alors du domaine de la Géométrographie pure et qu'il s'y mêle de l'arithmologie, comme on le verra ' dans la suite de ce travail. Ainsi : Diviser une droite dam le rapport de deux longueurs données est un problème de Géométrographie pure, et : Diviser wne droite dans le rapport de deux nombres m e^ n donnés n'est point du tout dans le même cas ; il n'y a même pas de méthode générale purement graphique pour faire le plus simplement possible cette

(*) Nous n'avons pas été sans voir que la simplicité et l'exactitude d'une opération varient dans le même sens que l'inverse des nombres que n'ous nommons : coefficient de simplicité et coefficient d'exactitude; mais comme il n'y a aucune confusion possible et que ce ne sont que des noms, nous avons préféré des dénominations rappelant le but à atteindre à celles de coefficient de complicaUon et de coefficient d'ineieactUttde plus logiques certainement.

i ASSOCIATION FRANÇAISE POUR L* AVANCEMENT DES SCIENCE^

division ; il faut étudier chaque cas particulier en ayant égard à la question qui a fourni ces nombres.. En pratique, on la ramène au cas des longueurs en prenant sur une règle divisée des longueurs proportion,nelles aux nombres donnés, et Ton doit faire le plus souvent ainsi, mais en sachant bien que Ton sort de la Géométrographie pure qui n'autorise l'usage que de la règle et du compas. Pour ramener la question à la Géométrographie pure, il faudrait .'porter sur une ligne m + ^ fois une longueur quelconque, etc., et cela éloignerait trop de la construction que Ton fait pratiquement. Encore, si porter m-|-nfois une longueur sur une droite de façon à marquer les divisions m et wi + n est. facile, quoique long et peu pratique, il n'est nullement commode, peut-être pas possible, d'indiquer le moyen de marquer ces divisions le plus simplement possible par une méthode générale. La question revient au problême : Etant donnée une longueur, trouver une droite m fois plus longue^ Porter la longueur m fois à la suite d'elle-même sur une droite est une solution, mais non la plus simple. En étudiant le problème, on est conduit à une, question d'arithmologie tout à fait analogue à la suivante, qui semble fort difficile : Combien faut-il effectuer de multiplications, au moins, pour calculer A*^, le nombre A étant donné ?

La question de la multiplication de la droite par un nombre aurait, du reste, à la rigueur, exigé un nouveau symbole pour représenter l'opération, qui consiste à fixer sur une ligne donnée la pointe d'un compas, lorsque Tautre pointe est fixée ; mais, à cause de la nature mixte des problèmes où l'on en ferait usage et surtout parce que l'on s'éloignerait trop de ce que l'on fait pratiquement, nous ne nous sommes pas arrêté à cette considération.

Il est un point qui mérite aussi quelques mots d'explications, lesquelles répondront à une objection que je m'étais faite à l'origine et qui doit venir à l'esprit de ceux qui examinent notre méthode. Est-il légitime de supposer identiques les opérations C^, Cj, Cj, R^, Rj, pour composer le coefficient de simplicité et le coefficient d'exactitude? Non, évidemment, s'il s'agissait dans la Géométrographie d'une mesure absolue. Mais ce ' n'est nullement le cas, et j'assimile ces opérations parce qu'elles sont élémentaires, c'est-à-dire indécomposables eu d'autres plus simples, . et que, spéculativement, elles ne sont ni plus simples ni moins simples les unes que les autres. On peut ne pas faire cette assimilation du reste,, en se contentant du symbole complet. Le mot de mesure ne peut pas être exact avec le sens habituel de ce mot qui s'applique à la comparaison d'une grandeur avec une unité de même nature; une construction n'est pas une grandeur et elle s'exécute au moyen d'opérations élémentaires irréductibles entre elles. Si j'emploie l'expression mesure, c'est que je trouve qu'elle s'applique mieux au but poursuivi que le mot général de comparaison.

La rigueur absolue conduirait, dans beaucoup de cas, à rejeter toute comparaison de simplicité relative de deux constructions. En effet, comment apprécier si la construction SC, est plus ou moins simple que SORj, puisque les unités Cs et R,, sont par essence de nature différente ; mais, en réfléchissant et aussi en pratiquant un peu la Géométrographie, on reconnaîtra que les assimilations sont admissibles dans l'ordre d'exactitude des tracés eux-mêmes; en effet, nous traçons des lignes et la ligne n'a pas de dimensions, nous plaçons des points et le point ne peut être marqué.

En somme, notre méthode donne un critérium spéculatif qui a des applications pratiques, et avant elle il n'en existait pas. Ce que nous faisons n'est pas une mesure, c'est tme comparaison. avec cinq unités distinctes : Rj, Kg, Cl, Ca, Cj, et l'on ne peut dire d'une façon absolue que la construction A est plus simple que la construction B, que lorsque les coefficients de toutes les unités sont respectivement plus petits dans A que dans B, cas très fréquent.

APPUCATIONS

L — Tracer une droite quelconque op. : (Rj).