II. — Tracer une droite par un point donné op. : (R^ + Rj
m. — Tracer une droite par deux points donnés. ... op. : (2Ri -j- R^). IV. — Tracer un cercle quelconque, .: op. : (Cg).
V. — Tracer un cercle quelconque dont le centre est donné, op. : (C^ -|- Cj). VI. — Prendre avec le compas une longueur donnée AB . .op. : (2Ci),
car c'est mettre l'une des pointes en A, l'autre en B (*). VU. — Porter sur une ligne donnée, à partir d'un point indéterminé de
cette ligne ou à partir d'un point déterminé, la longueur comprise entre,
les branches du compas :
Op. : (Ca -t- Cs) ou op. : (Cj + Cg).
(*) Il est clair que, pour mettre la première pointe en A, l'opération n'est pas la même que celle faite en maintenant cette première pointe en A, et conduisant la seconde sur B, nous les désignons cependant toutes deux par Ci ; nous ne croyons pas qu'il y ait un inconvénient à cela, parce que nous ne /aisons qu'une théorie idéale des opérations. Ainsi nous supposons, puisque nous ne nous occupons pas de la question, que toutes les lignes de la figure se coupent dans les limites de Tépure, qu'il est indifférent que ces lignes se coupent sous un angle très aigu, etc., de sorte qu'il nous parait fort suffisant de désigner par le symbole Ci l'opération générale qui consiste à mettre sur un point une des pointes du compas; nous reviendrons sur ce sujet dans le cours de ce travail. Ou reste, le lecteur qui, après réflexion, ne partagerait pas notre avis, n'aurait qu'à désigner par Ci' l'opération qui consiste à mettre en un point donné la pointe mobile du compas, l'autre étant maintenue fixe.
De même, puisque nous appelons Ri l'opération qui consiste à mettre le bord de la règle en contact avec un point, il est évident, à la façon dont elle s'exécute, que l'opération qui consiste à mettre le bord de la règle en coïncidence avec deux points donnés, n'est pas exactement deux fois l'opération Ri, et l'on pourrait aussi désigner par Ri -j- R/ l'opération qui consiste à faire passer le bord de la règle par deux points ; mais si l'on pratique un peu la Géométrographie, je crois que l'on arrivera, comme moi, à reconnaître que cette distinction serait une complication inutile.
Nous aurions pu peut-être aussi assimiler les opérations Ci et Ci et ne garder pour elles deux qu'un même symbole Ci, mais nous ne l'avons pas fait parce que si théoriquement Ri et R/ se confondent effectivement. Ci et G^ sont théoriquement différents; C^ se présente du reste be^iucoup plus rarement que les autres symboles et en général avec un très petit coefficient.
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YUI. — Porter une longueur donnée (à prendre avec le compas) sur une ligne dannée à partir d'un point indéterminé de cette ligne ou à partir^ d'un point déterminé de cette ligne :
Op. : (2Ci + C, + C) ou op. : (3C, + Q.
Remarques. — Lorsqu'on a à porter n fois une môme longueur M sur une droite à la suite Tune de Fautre de A en B, de B en C, etc., la construction doit être interprétée de deux façons et Ton choisira celle qui convient au cas où Ton se trouve.
1<* Les points de division intermédiaires ne doivent pas être marqués.
On prendra M entre les branches du compas (qui, dans la pratique, sera alors à pointes sèches), op. : (2CJ ; on portera cette longueur de A en B; on comptera : op. : (Ca + CJ ou op. : (2Ci) suivant que A sera indéterminé sur la droite ou déterminé, et' non : op. : (Ca + Cg) ou op. : (Cl -f- Cj), parce que, laissant une pointe en B, on passera en C où Ton comptera : op. : (C^) ; puis laissant une pointe en C, on passera en D en comptant : op. : (C^), etc. ; on aura enfin :
Op. : (n + 2)Ci + C^ ou op. : (n + S)C^.
Nous résumons donc en op. : (C^) les deux opérations (Cs + Ci), parce qu'elles se font ici d'un seul coup, mais ce n'est pas tout à fait Topération (Cl) telle que nous l'avons définie, l'assimilation nous paraît justifiable eu égard à la question et elle évite la création d'un symbole spécial à ce cas particulier;
^ On marque tous les points de division intermédiaires en reportant chaque fois la pointe sèche au nouveau point marqué, etc. ; il n'y a rien à dire de spécial et le symbole est :
Op. : [{n + i)Ci + Ca + nCa] ou op. : [[n + 2]Ci + nC,].
IX. — Tracer un cervle qvslconque passant par deux points A ef B,
Je décris les deux circonférences A(AC), B(AC) de même rayon quel-
AB
conque, mais kC étant plus grand que -5-; je trace C(AC)
op. : (3Ci + aCa).
X. — Placer un point C à égale distance indéterminée de deux points
donnés A et B:
Op. : (2C, + 2C,).
É. LEMOINE. — LA 6É0MÉTR06RAPHIE 7
XI. — Par tin point dorme B eut une droite BC, tracer une seconde droite qui fasse avec la première un angle égal à un angle donné DAE (*).
Je trace le cercle A(AE) de rayon quelconque qui coupe AD en D, AC
en E op.: (C^ + Cs);
puis le cercle B(AE) qui coupe BC enF op. : (Cj + Cj).
Je prends avec le compas la longueur DE, puis je trace le cercle F(DE).
• op. : (3C, + C),
qui coupe B(AE) en H.
Je trace BH op. : (2Bi + R^).
Symbole de l'opération totale : op. : (2Ri + ^a + SCi + SCj) ; simplicité U; exactitude 7; 1 droite, 3 cercles (**).
XII, — Connaissant les angles aet^ (dont f appelle aussi a et ^ les sommets)
d*un trianghy construire le troisième y.
Je trace une droite quelconque AB op. : (Rj).
Je trace d'un rayon quelconque. R les trois circonférences a(R), p(R), 0(R), étant un point quelconque de AB . . op. : (2Ci + Cj + 3C,) ; soit B le point où 0{R) coupe AB.
Je prends la longueur de la corde CD que a intercepte sur a(R) et je la porte en E à partir de B sur 0(R) op. : (3Ci -f- Cs).
Je prends la longueur de la corde FG que p intercepte sur p(R) et je la porte en H à partir de E (dans le sens BE) sur 0(R). op. ; (SC^ + Cg).
Je trace OH op.: (SR^ + R,),
l'angle HOA, A étant sur AB de l'autre côté de que B, est l'angle cherché.
Op. : (2Ri + 2Rj + 8Ci + ôC,); simplicité 18; exactitude 10; 2 droites, 6 cercles (♦**).
(*) Nous supposons toujours, dans nos construcUons types, que la feuille sur laquelle on les exécute ne contient que les données.
Ces données sont à part et l'on n'exécute pas la construction sur l'une d'elles, sauf quand cela résulte de la question. Ainsi, si je veux construire une quatrième proportionnelle à trois lignes données, je suppose que les trois longueurs sont à part sur la feuille et qu'on ne fait pas la construction sur l'une d'elles. Si, au contraire, on cherche le centre de. gravité d'un triangle donné, il est clair que l'on opère sur le triangle, et il en est ainsi le plus souvent quand on applique notre théorie à un problème déterminé ; les constructions types employées se simplifient alors en raison des opérations qui se trouvent faites, que l'on n'a pas à compter par conséquent.
(**) Quand nous n'expliquons pas les constructions, ce sont les constructions classiques données de tout temps dans les géométries; nous les avons prises alors dans le Traité de Géométrie de MM. Roughé et DB CoMBEROussB, 6* édition.
(***) Je ferai remarquer ici que dans mon mémoire du Congrès d'Oran, 4888> p. 82, j'avais maladroitement dirigé cette construction à laquelle j'attribuais le symbole
op. : (4Ri + 3R3 + lOCi + 6C3) ;
en effet, j'avais tracé inutilement la droite que j'appelle ici OE et j'avais tracé en deux fois les circonférences qui me donnaient l'angle BOB = « puis l'angle EOH = p, c'est-à-dire que j'avais fait inutilement: op. : (2Ri 4-^2+ 2C1). Une remarque analogue s'applique à plusieurs constructions de ce même mémoire d'Oran et il n'est point étonnant qu'il en soit ainsi, car si la théorie de la simplioité était faite, je ne savais pas encore l'appliquer. C'est pour cela, ainsi que je le dis dans l'introduction, que je donne de nouveau les symboles des opérations fondamentales en les
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Xin. — Construire un triangle connaissant un côté a et les deux angles
xoy, xVy' adjacents au côté a.
Je trace une droite BG et sur cette droite, à partir d'un point quelconque B, je prends BC =: a op. : (Rj + 2Ci + Cj + Cg).
Je trace ;o(BC) o'(BC) C(BC) . ......... op. : (3Q + 3C,):
Sur o(BC) je prends la corde ocy interceptée par l'angle xoy et je la transporte à* partir de C en C sur B(BC) qui a été tracée pour avoir G; je prends de même sur o'(BC) la corde x'y' et je la porte à partir de B en B' sur C(BC) op. : {6C, + âC,).
Je joins GB', BG' op. : (4Ri + 2R,),
qui se coupent en A.
ABG est le triangle cherché.
En tout : op. : (4Ri ■}- 3Rj + HG^ + Gj + 6G3) ; simplicité 25 ; exactitude 16 ; 3 droites, 6 cercles.
il est clair que si Ton fait la construction soit sur le côté donné, soit en prenant Tun des angles donnés comme angle du triangle cherché, le symbole de la copstruction sera plus simple.
Dans le premier cas, on n'aura pas besoin de prendre la longueur a, ni de tracer une droite, ni de reporter a sur cette droite, et les cercles tracés de 0, o\ G comme centres, le seront avec un rayon quelconque R, mais il faudra tracer en plus B(R); le symbole sera donc :
Op.: (4Ri + 2R, + 10G, + 6G8),
et, dans le second cas :
Op. : (2R, + R, + 8G, + 4G3).
XIV. — Construire un triangle ABG, connaissant le côté AB = c,
le côté AG = b et V angle BAG = xoy.
Je trace une droite quelconque op. : (Rj).
A partir d'un point A quelconque sur celte droite, je prends AG = & op. : (2Gi + G^ + G,).
simplifiant s'il y a lieu, et aussi parce que, étant loin de me douter alors que, à peu près toutes les constructions fondamentales données depuis Euclide dans les Géométries élémentaires étaient trop compliquées; quelquefois un peu, quelquefois de moitié; cette répétition apparente me permet de donner des constructions plus simples qui doivent devenir logiquement les constructions classiques. Il est étonnant que des questions didactiques aussi simples, placées au commencement de la Géométrie, soient insuflQsamment étudiées après tant de générations; aussi lorsque le hasard me conduisit à faire cette remarque, je fus très surpris, mais je me l'expliquai, parce que les géomètres, n'ayant pas de critérium à ce sujet, ne se sont occupés que de la simplicité de l'expression, de la liaison évidente d'un théorème avec une construction qu'ils indiquaient sans qu'ils aient systématiquement porté leur attention sur la partie pratique de l'exécution, et sur les conditions raisonnées de sa simplicité.
Par exemple, dans un énoncé: joindre les pôles* de deux droites, est aussi rapide à dire et forme une phrase aussi simple que : joindre un point donné au sommet d'un angle, et, le compas à la main, c'est fort différent, puisqu'il faut d'abord construire les pôles, etc.
Je trace o(AC) op. : (d + C,).
Je prends xy et je trace C{œy) qui coupe A(AC) en B'. . op. : (3C4 + C,) ; je trace AB' op. : (âR^ -f R,).
Je prends la longueur c que je porte en AB sur AB'. . op. : (SQ + C^) ; je trace CB op. : (âRj + R,).
Symbole : op. : (4R, + SR^ + 9^ + C, + 40,); simplicité 21; exactitude 14; 3 droites, 4 cercles.
XV. — Construire un triangle connaissant deux côtés d^. et h et l'angle B
* opposé à Vun d'eux.
On trouve pour les deux solutions, quand la solution est possible : Op. : (6R1 + 4Ra + 9Ci + C, + 40,) ; simplicité 24 ; exactitude 16 ; 4 droites, 4 cercles.
