XVI. — Construire un triangle connaissant les trois côtés

On trouve : op. : (4fii + SR^ + SC^ + C, + 3C3) ; simplicité 19 ; exactitude 12; 3 droites et 3 cercles.

XVn. — Par un point A pris hors aune droite BC, mener une parallèle

à cette droite.

La méthode classique donne :

Op. : (2Ri + R, + 5Ci + 3Cj); simplicité 11; exactitude 7; 1 droite, 3 cercles (*).

Mais en voici deux qui donnent des résultats plus simples et qui m'ont été indiquées par M. Tarry (Gaston) :

1° Par A je fais passer un cercle coupant BC en B et en C

op. : (G, +Cs).

Je prends BA et je trace le cercle C(BA) qui coupe le premier cercle en D et je joins AD ........ . op. : (2Ri + Rî + 3Ci + 3C3).

Symbole : op. : (2Ri -f Rj + 40^ +203) ; simplicité 9 ; exactitude 6 ; 1 droite, 2 cercles.

2® Je construis un losange ABCD :

Op. : (2Ri + 2R, + 3Ci + SC,) ; simplicité 9 ; exactitude 5 ; 1 droite, 3 cercles.

(*) Je profite de Toccasion pour faire une remarque ne se rapportant d'ailleurs pas directement

à notre sujet. On sait que la construction s' opère ainsi : on décrit un cercle C(CB), un cercle B(CB)

un cercle B(AC) qui coupe C(CB) en deux points D et I/; CD est parallèle à AB. J'ai cherché le

lieu de D' quand le rayon varie. On trouve immédiatement qu'il a pour équation : ^ = . C étant

. eu

sm —

le pôle, CD l'axe polaire, { la diâlance de C à AB*

10 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR l'aVANCEÎIENT DES SCIENCES

Remarque. — Ces simplifications sont importantes à cause de la fréquence de cette construction dans les épures.

3<* Cas m la droite BC, non tracée, est donnée par deux points B et C.

Je prends BC, je trace A(BC) op. : (3Ci + C3).

Je prends AB, je trace C(AB) , op. : (3Ci + Cj).

Ces deux cercles se coupent en D, je trace AD ... op. : (2Ri -f- R,).

Symbole : op. : (2Ri -j- R^ + 6C1 + 2C3) ; simplicité 11; exactitude 8; 1 droite, 2 cercles.

XVni. — Tracer une perpendiculaire en son, milieu à une droite limitée par deux points, ou placer le milieu d*une longueur donnée.

Symbole : op. : (2Ri + R^ + 2Ci + 2Cj) ; simplicité 7 ; exactitude 4; 1 droite, 2 cercles.

XVni^**. — Placer le point symétrique A' d'un point A par rapport à une

droite donnée BC.

De deux points quelconques B, C, de BC, je décris les cercles B(BA) C(CA) qui se coupent en A' :

Op. : (2Ci + 2C, + 2C8) ; simplicité 6 ; exactitude 4 ; 2 cercles.

On peut aussi décrire A(R) qui coupe BC en B et en C ; décrire B(AB), C(AB) qui se coupent en A' :

Op. : (3Ci + 3C,) ; simplicité 6 ; exactitude 3; 3 cercles.

Si la droite BC non tracée était donnée par deux points B et C, le symbole serait :

Op. : (4Ci + 2C8).

XIX. — Décrire un cercle sur une droite donnée AB comme diamètre.

On prend le milieu de AB. . . . op* : (2Ri + R, + 2Ci + ZC,). On prend la longueur OA, puis on décrit 0(0 A). • op. : (2Ci 4" C,). Symbole : op. t (2Ri -f Rj -f 4Ci + ^C,) ; simplicité 10 ; exactitude 6; 1 droite, 3 cercles.

XX. — Tracer par un point C une perpendiculaire à une droite AB. 1'' Le point C est hors de la droite.

Méthode classique^

a) Symbole : op. : (2Ri + R, + 3Ci 4" SCj); simplicité 9; exactitude S; 1 droite, 3 cercles.

É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 11

Autre méthode,

b) B étant un point quelconque de AB je décris B(BC) qui coupe AB en A op. : (C, + Ct -fC,).

Je prends AC et je décris A(AC) qui coupe B(BC) en C, je trace CC'\ . op. : (2R, + R, + 2C, + C,).

Symbole total : op. : (2Ri + R, + 3Ci + C^ + 2C,) ; simplicité 9 ; exactitude 6 ; 1 droite, 2 cercles.

2*» Le point C est sur AB.

Méthode tlassiqm.

a) Môme symbole et mêmes opérations élémentaires que si C est hors de la droite ; la méthode suivante est un peu plus simple.

b) Je place une pointe en un point arbitraire quelconque hors de AB ; je place l'autre pointe en C et je décris la circonférence 0(0C) qui

coupe aussi AB en A ; je trace AO qui coupe 0(0C) en C

' . . . op; : (2R, + R, + C, + Ca).

Je trace ce op. :(2Ri+Ra).

Symbole : op. : (4R, + ^^2 + Ci -j- C3); simplicité 8; exactitude 5 ; 2 droites, 1 cercle.

Remarque. — Cette méthode b que Ton donne classiquement pour le cas où la droite AB ne peut être prolongée au delà de A est plus simple que la méthode a générale classique, donnée lorsque C est quelconque sur AB ; b doit donc être toujours employée et il n'y a pas à séparer le cas où C tombe en A, A étant l'extrémité de AB lorsque fcette position est imposée par les dimensions de l'épure.

Si l'on veut élever une perpendiculaire quelconque à AB, on a alors :

Symbole : op. : (4Ri -f- 2Rj -|~ C^); simplicité 7; exactitude 4; 2 droites, 1 cercle.

On peut aussi, par A et B, points quelconques de AB, tracer deux cercles quelconques; ils se coupent suivant une perpendiculaire k AB.

Op. : (2Ri + R, + 2Ca + 20^) ; simplicité 7 ; exactitude 4 ; 1 droite» 2 cercles.

Si l'on veut élever une perpendiculaire quelconque à une droite (non tracée) donnée par deux points A et B, on décrit A (R), B (R') ; R et R' étant quelconques, l'intersection de ces deux cercles résout la question*

Op. : (2Ri + ï^a + 2Ci H-aCj); simplicité 7; exactitude 4; i droite, 2 cercles.

Abaisser d'un point C extérieur à une droite (non tracée) donnée par deux points A et B, une perpendiculaire sur sa direction.

On mène A(AC), B{BC) l'intersection de ces deux cercles est la perpendiculaire cherchée.

\% ASSOCIATION FRANÇAISE POUR l'aVANCEMENT DES SCIENCES

Op. : (2Ri + Ra 4- 4Ci + SCj) ; simplicité 9 ; exactitude 6 ; 1 droite,

2 cercles.

Remarque I. — Si Ton veut mener la perpendiculaire eh A à une droite AB non tracée et donnée par deux points A etB, H faut faire ainsi :

Tracer B(R), A(R) d'un même rayon R quelconque se coupant en C, puis C(R) passant en A et B, tracer BC qui coupe C(R) en C et tracer AC.

Op. : (4R, + 2R, -f 3C, + 3C^) ; simplicité 12 ; exactitude 7 ; 2 droites,

3 cercles.

Il est assez curieux de remarquer que lorsque la droite est donnée par deux points A et B, il est plus simple de lui mener une perpendiculaire par un point quelconque que par Tun des points donnés. ,

Remarque IL — Lorsque, dans une construction, on aura à élever des perpendiculaires en n points A, B, C, D... donnés de droites données L, M, N, P. . . il y a avantage, si n > S, à opérer ainsi :

Je mène une première perpendiculaire en A à M par une opération dont la simplicité est 8 (voir XX, 2*^ b).

Je décris de tous les points donnés comme centres des circonférences de même rayon ; simplicité : 2n.

Je prends sur la circonférence tracée en A la corde du quadrant ; simplicité : 2.

Je la reporte sur toutes les autres circonférences et, par leur moyen, je trace les perpendiculaires; simplicité : S (n — 1).

Donc elles seront tracées pax une opération de simplicité : S -f- 7n, au lieu de 8w que donnerait la construction générale. Il y aura donc avantage à la prendre si :

5 + 7n<8w ou 5<w.

• XXI. — Décrire une circonférence passant par trois points donnés.

Op. : (4Ri -f 2R, + SC, + iC,) ; simplicité 15; exactitude 9; 2 droites,

4 cercles.