XXIII. — Diviser vn arc donné en deux parties égales
Op. : (2Ri + R, + 2Ci + 2C3) ; simplicité 7 ; exactitude 4 ; 1 droite.
2 cercles.
Quand nous donnons un cercle ou un arc de cercle, nous supposons toujours, comme dans cette construction, que le centre en est placé, s'il ne Tétait pas on le placerait par la construction dont le symbole est ... .
op. :(4R,.+ 2R, + 3C, + 3C,)
sur la réalisation de laquelle il n'y a pas besoin d'insister.
XXIV. — Tracer la bissectrice de l'angle formé par deux droites AB, CD, qu'on ne peut pas prolonger jusqu'à leur point d'intersection X (*).
D'un point A quelconque de AB, je trace (R étant quelconque) A(R). qui coupe CD en C et AB en B ; je trace C(R) qui coupe CD en D
op. : (C, + C, + 2C3).
B et D étant tous deux du même côté de AC.
Je trace B(R) qui coupe CÇR) en J, D(R) qui coupe A(R) en I
. op.: (2C, + 2C8).
Je trace AJ, CI , . . . . op. : (4Ri + 2R,).
Ces deux droites se coupent en M, point de la bissectrice cherchée. Je trace un cercle quelconque M(R') qui coupe AB en H, CD en G. . .
.op. : (C.' + C,).
G et H étant les points d'intersection tels que GX = HX.
Je prends un point quelconque W à égale distance de G et de H ; je t race MM' ôp. : (2Ri + R^ + 2C, + 2C3).
Op. : 6R1 + 3Rj + 6C1 + Cj + TC,) ; simplicité 23; exactitude 13;
3 droites, 7 cercles.
Il y a un grand nombre de solutions simples du même problème qui peuvent être utiles; mais je ne donne que celle-ci, qui est la plus simple que j'aie trouvée, afin de ne pas développer outre mesure notre mémoire. Cette observation s'applique à beaucoup d'autres problèmes traités ici.
(*) J'ai donné dans le mémoire d'Oian déjà cité, une solution de ce problème beaucoup phis compliquée graphiquement; }e n'avais pas encore Tesprit exercé à chercher les simplifications graphiques pour elles-mêmes, ainsi que je l'ai déjà dit.
14 ASSOCIATION FBANÇAISE POUR l' AVANCEMENT DES SCIENCES
M est soit le centre du cercle inscrit au triangle ACX, soit celui du cercle ex-inscrit au même triangle tangent au côté AC, suivant que D et B sont d'un côté ou d'un autre de AC (qu'il ne faut pas tracer). J'aurais pu continuer la construction en cherchant le centre p. de celui des deux cercles tangents qui n'est pas M; mais la construction eût été un peu plus «compliquée, ainsi qu'il est facile de le voir.
XXV, — Tracer par un point A pris sur une circonférence de centre
une tangente à la circonférence.
La solution classique est un peu trop compliquée, elle donne :
Op. : (6Ri + 3Ra + Cl + Cs); simplicité H ; exactitude 7; 3 droites, 1 cercle.
En voici une préférable :
Je trace A(ÀO) qui coupe 0(0A) en B, je trace B(BA) qui coupe A(AO) en C, je trace C(CA) qui coupe B(BA) en D, je trace AD.
Op. : (2Ri + R, + ,4Ct + SC,); simplicité 10; exactitude 6; 1 droite, 3 cercles.
XXVI. — Tracer d'un point extérieur A les deux tangentes à un cercle
donné de centre (*).
1** Je trace un diamètre quelconque COD op. : (R^ -h R») .
Je prends OA et jedécris C(OA), D(OA) se coupant en E, op. : (4Ci + tC^).
Je prends EO et je décris A(EO) qui coupe la circonférence donnée en G et en H op. : (3C, + Cj).
Je trace AG, AH , op. : (4Ri + 2ft,l.
Op. : (5Ri + 3Rj + IC, + 3Cs); simplicité 18; exactitude 12; 3 droites, 3 cercles.
2® Je trace la sécante quelconque ABC (B entre A et C) ; je trace C(eA) op. : (Ri + R, + 2Ci + C3).
Sur BC je prends BD =: CA, D étant de l'autre côté de B que C; je trace D(CA) qui coupe C(CA) en K op. : (2Ci + 2C5).
Il est facile de voir que AK est la moyenne proportionnelle entre AB et AC. Je décris A(AK) qui coupe la circonférence donnée en I et F; je
trace AI, AI' . op. : (4Ri + 2R, + 2Ci + C^)
qui sont les tangentes cherchées.
Op. : (5Ri + 3R, + 6Ci + 4C3) ; simplicité 18 ; exactitude 11 ; 3 droites, 4 cercles.
(*) La solution classique qui consiste à décrire une circonférence sur OA comme diamètre, etc., donne le symbole : op. : (8Ri + 4R2 + ^Q + 3C3). Dans mon mémoire d'Oran, j'avais mis : op. : (6R| HhSRj-h 4Ci + 3C3}. Seulement, J'avais oublié de compter là .droite A qu'il faut ttacer. Les deujc sôltitiofis que Je donne ici sont un peu plus simples que cette solution classique.
É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE iS
