XXVII. — Inscrire un cercle dans un triangle donne ABC

Qu'il s'agisse d'un cercle inscrit ou d'un cercle ex-inscrit^ la méthode classique par les bissectrices des angles du triangle conduit au symbole :

Op. : (6Ri + 3Rj-f HCi -f lOCg); simplicité 30; exactitude 17; 3 droites, 10 cercles.

Si l'on voulait tracer les trois autres cercles tangents, on aurait en plus à ajouter : op. : (12Ri -j- OR» -|- lOCj -f ISCg). En tout, par conséquent :

Op. : (18R, + 9R, -f- 270^ + 23C3); simplicité 77 ; exactitude 48 ; 18 droites, 23 cercles*

Voici une solution plus simple, mais qui ne se présenterait certes point à l'esprit si l'on ne dirigeait point l'attention vers la recherche

systématique de la simplicité de la 1 "^n^ -A- ~::5k:

construction (fig. f).

J'appelle P, Q, R les points de contact du cercle inscrit sur BC, CA, AB et le centre de ce cercle.

Sur BA, dans le sens BA, je prends AD==: AC; sur BA, dans le sens BA, je prends BE = BC op. : (4Ci + 2Cs).

Je décris A(DE) qui coupe AB en R' (R' est dans le sens AB), et AC en Q' (Q' est dans le sens AC) .op. : (SC^ + C3);

il est évident que AR == AQ ^ et que, par suite, R et Q sont

les milieux de AR' et de AQ'; est donc le centre du cercle circonscrit au triangle AQ'R'.

Je trace R'(DE) qui coupe- A(DE) en deux points; en joignant ces points, j'ai un lieu de pp. : (2Ri + ^2 + ^1 + Cg) .

Je trace Q'(DE) qui coupe A(DE) en deux points; en joignant ces points, j'ai un autre lieu de 0. . . op. : (2Ri + Rj + ^i + Cj).

Je décris 0(0R) qui est le cercle cherché op. : (2Ci -f- Cj).

Op. : (4Ri + 2Ra + IIC^ -f OC,); simplicité 23; exactitude 15; 2 droites, 6 cercles.

En appliquant la transformation continue (voir A, F., Congrès de Marseille, 1891), on arrive immédiatement à la construction qu'il faudrait faire pour traoer un oerols e^nsorit $ elle a le même symbole que celle du tracé du cercle ex-inscrit.

16 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR l' AVANCEMENT DES SCIENCES

Si ron veut tracer les quatre cercles tangents, il vaut mieux commencer par les trois cercles ex-inscrits et finir par le cercle inscrit en joignant AO^,BOj„ etc.

On a :

Op. : (18Ri + 9R, + 26Ci + 13C8); simplicité 66; exactitude 44; 9 droites, 13 cercles.

XXYIII. — Construire sur une droite donnée AB un segment capable

d'un angle donné EGD,

La méthode classique, comfffite sans lignes inutiles^ donne : Op. : (6Ri + 3R, + 100^ + TC,) ; simplicité 26 ; exactitude 16 ;

3 droites, 7 cercles.

Voici une construction plus simple (fig. 2) :

Je trace A(AB), B(AB) qui se coupent en P et en Q ... op. : (3Ci + 20,).

Je trace C(AB) qui coupe CD en D, CE en E; je prends F sur C(AB) tel que arc EF = arc ED . . . .

... op. : (SCi+âCa).

Je prends D sur A(AB)tel que arc BPD = arc DEF; je trace BD, PQ se coupant en 0; je trace 0(0A)

op.: (4R, + 2R, + se, + 2C3,

et Ton a le segment cherché :

Op. : (4R, + 2R, + llC, + ôCs) ; simplicité 23 ; exactitude 15 ; 2 droites, 6 cercles.

XXIX. — Construire les tangentes communes à deux circonférences

données et 0'.