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représenté par la fig. 5, c.-à-d. que la voûte s'ouvre à la clef et aux naissances du côté de l'extrados, et vers les reins du côté de l'intrados. Ce troisième mode de rupture, qui suppose, de la part dés piédroits et des voussoir s inférieurs, une poussée plus forte que celle exercée par les voussoirs supérieurs, ne s'observe guère qu'avec des voûtes minces, surélevées et très chargées vers les reins, comme les voûtes en ogive. C'est en vue de la prévenir que les architectes gothiques faisaient usage de clefs pendantes augmentant, à la clef, la charge de la voûte en même temps qu'elles servaient d'ornement.

Pour qu'une voûte se maintienne en équilibre, il faut qu'aucun des effets que nous venons de signaler ne puisse se produire. La théorie de la stabilité des voûtes, appelée aussi théorie de la poussée des voûtes, a pour objet de rechercher à quels signes on peut s'en assurer à l'avance. La voûte considérée étant une voûte en berceau, symétrique par rapport à la génératrice de l'intrados ou de l'extrados passant par la clef, les deux demi-voûtes situées de part et d'autre de cette génératrice exercent en G des pressions mutuelles égales et opposées, et on peut, pour simplifier, n'en considérer qu'une. Nous supposerons, d'autre part, que les joints montants des voussoirs sont, ce qui est la règle générale, normaux à la courbe d'intrados et que la résistance des matériaux est indéfinie. Soit AB (fig. 6) une section droite de la moitié gauche de la voûte faite à égale distance de ses plans de tète, Rr le joint de rupture hypothétique, Q la réaction que la moitié droite, non figurée, exerce sur la moitié gauche, h la distance de cette force au point R, autour duquel tournera, en cas de rupture, la partie A, /l' sa distance au point N, autour duquel tournera la partie B ; soit F la résultante des forces extérieures, que nous supposons verticales, agissant sur la partie A, f la distance de cette force au point p., f sa distance au

point N; soit F' la résultante des forces extérieures, que nous supposons également verticales, agissant sur la partie B, f sa distance au point N ; soit P la valeur absolue de la réaction mutuelle, en R, des deux parties A et B, PeT sa projection horizontale, Py sa projection verticale ; enfin soit P' la réaction du piédroit en N sur la partie B, I^'x et P'y ses projections.

,, , - ,,, .,., Considérons

d abord léqudibre de la partie A. Il ne sera réalisé qu autant que, d'une part, les deux forces Q etF agissant sur cette partie seront contre-balancées dans les deux sens par la réaction P s'exerçant en R, autrement dit qu'on aura

P^ =Z Q, Py ==:: F [4]

et que, d'autre part, il y aura aussi égalité des moments des deux mêmes forces par rapport à Taxe de rotation projeté en R, ou

Qh =: Ff, d'oii Q ^. [2J

VOÛTE

FiA-.6.

Considérons maintenant l'équilibre de la demi-voûte tout entière. Les équations [IJ et [2] deviendront respectivement, les deux premières,

¥x = Q, PV = F + F', [3]

et la dernière, l'axe de rotation se trouvant alors projeté en N, ^ ^

w - Ff -f- Fr , d'où Q :=^^r+rr ^,^^

Les deux équations [3] font voir, l'une, que la réaction horizontale 0, la poussée, se transmet au piédroit, l'autre que celui-ci supporte, en outre, les poids F et F' de la demi-voûte et de sa charge. Des équations [2j et [4], on tire, d'ailleurs,

F/ ___ Ff+F-r ,.,,

C'est l'équation de condition, et l'équilibre statique de la voûte n'est assuré que si elle se satisfait d'elle-même. La valeur de la poussée est alors donnée soit par l'expression [2J, soit par l'expression [4], celle de la réaction qui s'exerce en R par les équations [IJ. Quant à ce dernier point, qui correspond au joint de rupture et que le calcul qui précède suppose connu, on peut le déterminer approximativement de plusieurs manières. L'une des plus simples consiste à mener, du point 0, où la force F rencontre l'horizontale Q, une tangente à la courbe d'intrados. Le point de contact sera le point R cherché. R a été dressé, d'ailleurs, des tables qui fournissent immédiatement, pour les principales catégories de voûtes, Vangle de rupture, c.-à-d. l'angle que fait avec la verticale le rayon mené du centre de la voûte au joint de rupture. On admet, en général, qu'il est de 60° dans les voûtes en plein cintre et de 35« à 45% suivant le surbaissement, dans les voûtes elliptiques, ce qui correspond à peu près, pour les unes et les autres, au milieu de la montée. Dans les voûtes en arc de cercle, le joint de rupture se confond sensiblement avec le joint de naissance.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, qu'il y avait affaissement à la clef. R se produit quelquefois aussi, nous le savons, un soulèvement : au lieu que la voûte s'ouvre en C, en R, en N, elle s'ouvre en c, en n, en r. La réaction horizontale s'exerce alors au point c. C'est une seconde limite de la poussée, Q' qui est supérieure à Q, puisque la distance de la force F au point r est supérieure à f, tandis que la distance de l'horizontale Q' au même point r est inférieure à h. Dans l'état d'équilibre permanent, la réaction qui s'exerce sur le joint Ce a donc sa valeur comprise entre Q et Q' et elle n'est appliquée ni en C, ni en c, mais en un point intermédiaire inconnu, que, pratiquement, on détermine en cessant de considérer les différentes parties de la voûte comme des solides incompressibles ,et en ayant égard à la compression que ses matériaux éprouvent en vertu de leurs réactions mutuelles. On prend alors pour point d'application de la force Q : 4° dans le cas où la voûte est supposée s'abaisser à la clef, un point situé au tiers de son épaisseur à partir du point C ; 2« dans le cas où elle est supposée se soulever à la clef, un point situé au tiers de la même épaisseur à partir du point c. Ces deux hypothèses donnent des valeurs de Q beaucoup plus rapprochées que les premières et c'est entre elles que la vraie valeur de la poussée est comprise.

La méthode analytique entraîne à des calculs fort longs. On lui préfère la méthode graphique, dite des courbes de pression, due à l'ingénieur Méry. La courbe de pression est le lieu géométrique des points d'application des résultantes des pressions qui s'exercent sur chaque voussoir. Son tracé n'a rien d'absolu, la stabilité de la voûte exigeant que son épaisseur et celle de ses piédroits soient supérieures aux épaisseurs indiquées par l'équihbre statique. On fait donc une hypothèse sur les points où cette courbe paraît devoir couper le joint vertical ou joint à la

VOUTE

clef et le plan des naissances : en général, au tiers de l'épaisseur à partir de l'extrados pour le premier, au tiers de Tépaisseur à partir de l'intrados pour le second. On cherche ensuite les valeurs des poussées par la construction suivante. On mène la verticale passant par le centre de gravité de la demi-voûte tout entière ; on la prolonge jusqu'à la rencontre de l'horizontale passant par le point pris sur le joint à la clef ; on trace à partir du point d'intersection un rectangle dont le côté vertical égale le poids de la demi-voûte et dont la diagonale prolongée va passer par le point de la courbe pris sur le plan de naissance; le côté horizontal de ce rectangle représente la poussée horizontale. On fait alors une construction analogue pour chacun des voussoirs en particulier, en prenant son centre de gravité, son poids et la poussée horizontale précédemment déterminée : la diagonale du rectangle ainsi obtenu donne la direction de la résultante des pressions et le point où elle rencontre le joint particulier dont il s'agit fournit le point correspondant de la courbe. En joignant tous ces points, on a la courbe, et, pour que la voûte projetée offre des garanties de stabilité suffisantes, il faut : 4« que ladite courbe soit comprise entre les courbes menées au tiers de l'épaisseur des joints, tant du côté de l'extrados que de l'intrados. Cette condition est nécessaire pour qu'il n'y ait en aucun des joints une pression négative ; 2** qu'en divisant la composante normale de chacune des réactions que les voussoirs successifs exercent sur le suivant par la surface du joint correspondant, ce qui donne la pression moyenne, par mètre carré, on obtienne un quotient tout au plus égal à la pression que les matériaux peuvent supporter sans inconvénient. Cette limite est fixée à 50.000 kilogr. environ pour la pierre de taille, à 40.000 kilogr. pour le moellon ; 3^ que la direction de chacune de ces réactions fasse avec la surface du joint un angle peu différent d'un angle droit. Si l'une des forces est oblique au joint, elle donne lieu à une composante dirigée suivant le joint et mesurant la tendance au gUssement.

La courbe des pressions prolongée en contre-bas de l'arc donne la direction de la poussée relativement aux piédroits ou aux piles qui en tiennent lieu. Plus l'arc, par conséquent, se rapproche, dans son développement, de la ligne horizontale, plus cette poussée s'éloigne de la verticale et plus le renversement des piédroits ou des piles est à redouter. Plus l'arc s'éloigne de la ligne horizontale, plus la poussée, au centralise, se rapproche de la verticale et moins le danger précité est grand. Les constructeurs gothiques ont eu, certainement, l'instinct de cette théorie.

Toutes ces méthodes ne sont, au surplus, que des méthodes de vérihcation. Elles ne conduisent, en effet, que par tâtonnements, en y soumettant une séried'hypothèses, à la connaissance des dimensions à adopter. Afin de ne pas procéder tout à fait au hasard, on a recours, pour se fixer un point de départ, à la formule empirique suivante, due à Perronnet. Soit e l'épaisseur de la voûte à la clef, en mètres, d la distance des piédroits si la voûte est en plein cintre, ou, si elle est surbaissée, le double du rayon qui a servi à décrire la directrice de l'intrados dans les voûtes en arc de cercle, l'arc supérieur de cette directrice dans les voûtes en anse de panier. On pose e = 0«^,325 + 0,0347 d.

On se donne ensuite la courbe d'extrados et l'on cherche si la voûte ainsi déterminée satisfait aux conditions d'équilibre et de stabilité. Si ces conditions ne sont pas remplies, on augmente l'épaisseur. Si elles sont satisfaites, on essaye au contraire de la diminuer et on arrive, d'épuré en épure, à trouver les dimensions les plus avantageuses au double point de vue de la solidité et de l'économie.

Pour les voûtes de ponts, on a aussi proposé les deux formules suivantes, qui s'appliquent à toutes les formes et dans lesquelles d est, comme précédemment, l'ouver- \

ture de la voûte, f la montée, h l'épaisseur de terre qui peut, le cas échéant, charger la voûte : 1° Ponts-routes,

2'' Ponts de chemins de fer,

ez:z0,30-

Construction des voûtes. — Lorsque les piédroits ou les piliers qui doivent supporter la voûte sont édifiés, on établit entre eux un échafaudage en charpente de bois ou de fer, dont la structure, parfois fort compliquée, varie avec l'espèce de voûte, mais qui porte, dans tous les cas, le nom de cintre (V. ce mot). On pose sur le mur ou le pilier, ou partie sur le mur ou le pilier et partie sur les cintres, la première assise de voussoirs. Ce sont, nous l'avons dit, les différentes pierres ou moellons qui entrent dans la constitution de la voûte. Leur forme dépend de l'appareil adopté. Elle est toujours trapézoïdale, la plus large base en haut, vers l'extrados. Les faces inférieures et supérieures en sont cylindriques, les face latérales planes. La seconde assise de voussoirs est posée sur la première et sur les cintres, la troisième sur la seconde et sur les cintres, et ainsi de suite, jusqu'à la clef, que l'on pose en dernier Heu. Ensuite on décintre. C'est la partie la plus délicate de l'opération, car, au moment de l'enlèvement des fermes, il se produit, par l'effet de la compression des mortiers, une contraction de la voûte dans le sens perpendiculaire à son axe et, par conséquent, un abaissement à la clef, un tassement. Il faut faire en sorte que ce mouvement s'opère avec une extrême lenteur. Si, en effet, les youssoirs, dans ledit mouvement, venaient à prendre une vitesse tant soit peu appréciable, il résulterait presque infailliblement de la force vive considérable produite par l'énorme masse en marche des effets désastreux. Les fermes et les couchis qui constituent le cintre et sur lesquels la voûte a été établie ne doivent donc être abaissés, lorsque celle-ci a une certaine dimension, que graduellement et par un mouvement insensible. Pour obtenir ce résultat, on faisait autrefois reposer les fermes sur leurs appuis : murs, piliers ou échafaudages, par l'intermédiaire de doubles coins à petit angle placés en sens contraire. En frappant à petits coups sur le coin inférieur, on faisait descendre peu à peu le coinsupérieur et toute sa charge. Ce procédé offrait toutefois quelque danger, le coin inférieur, cédant à la pression verticale qu'il éprouvait, se trouvant souvent projeté avec force, ce qui occasionnait des accidents. Aujourd'hui, on se sert de préférence de boîtes cylindriques en tôle contenant du sable et percées à leur partie inférieure d'orifices. La ferme repose sur le sable par Fintermédiaire d'un piston en bois entrant exactetement dans le cylindre et, en ouvrant les orifices, le sable s'écoule, entraînant graduellement, dans son abaissement, la ferme et la voûte. Des lignes horizontales coloriées tracées sur les pistons permettent, d'ailleurs, de régler le jeu simultané de toutes les boîtes. On emploie aussi avec succès les verrins (V. ce mot).

Tout ce qui est spécial à la construction des voûte en berceau, des voùtesen arc de cercle, des voûtes en anse de panier, se trouve décrit aux art. Berceau, Anse,'Arc. La règle qui prescrit que les joints montants doivent être normaux à la courbe directrice d'intrados s'applique également à toutes les autres formes de voûtes. De même les joints qui divisent la voûte en assises doivent toujours être perpendiculaires à ceux qui divisent une même assise en voussoirs. D'autre part, il ne faut pas que ces derniers se correspondent dans deux assises voisines. Enfin les assises doivent être en nombre impair et placées symétriquement de chaque côté de celle qui forme la clef. L. S. IL Mathématiques. — Voûte carrable (V. Carrable).