PP

Les deux triangles BPP' et BQjft'i sont semblables parce qu'ils ont les angles égaux et Ton a

BP " Ba'i ^"^l'^i —^^ ^F'

Nous avons déjà trouvé une relation entre les arcs ft^Q^i et QQf ; confondons les arcs et les cordes, ce qui donne lieu à une erreur qui tendra vers zéro quand on passera à la limite ; remplaçons dans cette relation Q^^Qf^ et QQ' par leur valeur; il vient:

V BP AP/' Remarquons que PP' =: P^Q^^ et que Ton peut par suite diviser les deux membres par cette valeur commune. Désignons en outre AP par p, BP par p^ et la corde PQ par 4a et passons à la limite ; dans la formule précédente KQf devient Aft ou p — 4a, BQ'^ devient BQ^ ou 4a — p^ et l'on a

ou 2pp' = 4a(p 4- f) — ^pp'

ou ^pp' =: 4a(p -H f)

que l'on peut mettre sous la forme 1 \__\

Cette formule permet de construire la caustique par points. Pour cela, on mènera du point A un certain nombre de rayons lumineux, on construira les rayons réfléchis et sur chacun d'eux on prendra un point situé au quart de la distance comprise sur le rayon incident entre ses deux intersections jpar la circonférence. On pourrait aussi trouver une équation algébrique de la courbe, mais elle est très compliquée et nous examinerons seulement le cas plus simple oUron suppose le point lumineux placé à l'infini .

Si on fait dans la formule précédente p =go, - devient

nul et p' est égal à A. Soit 0 le centre de courbure du miroir; de ce point comme centre, traçons la circonférence qui comprend l'arc, intersection du miroir et du plan de la figure ; puis traçons-en une autre concentrique, mais de rayon moitié moindre ; considérons un

rayon lumineux quelconque LA parallèle à Taxe, menons le rayon OA. Sur AB comme diamètre, décrivons une circonférence ; elle sera tangente en A et en B aux circonférences précédentes et aura un rayon quatre fois plus petit que celui de la plus grande. Les triangles AO'C et AOC' sont semblables comme étant isocèles et ayant un angle à la base commune. Or, AO^ étant le quart de AO, Il en résulte que ÂC est le quart de AC' c.-à-d. de ce que nous avions appelé 4a dans le problème général ; AC est donc égal à a, c'est donc p\ il suffit donc de mener la droite AP symétrique de AC pour avoir le rayon lumineux réfléchi et le point P symétrique de G, cour lequel on a par conséquent AP = a=:p\ sera un point du lieu. Remarquons que l'angle PO^B est le double de l'angle BAP

parce qu'ils correspondent à un même arc, mais que l'un est l'angle au centre et l'autre l'angle inscrit. Mais d'autre part l'angle PAO^ est égal à O'AC comme angles de réflexion et d'incidence, et ce dernier est égal à l'angle BOM comme alternes internes, de là, il résulte que l'angle BOM est la moitié de l'angle PO'B. Mais on sait que les angles sont entre eux comme les produits des arcs qu'ils comprennent par le rayon des circonférences de ces arcs. Or, l'angle double de l'autre est au centre d'une circonférence de rayon moitié moindre, les arcs BP et BN seront donc égaux. Si donc on considère une circonférence ayant MN comme diamètre, qu'on fixe sur elle le point N et qu'on la fasse rouler sans glisser sur la circonférence NB, le point N décrira le lieu cherché puisqu'on aura toujours arc NB == arc PB. La courbe méridienne de la caustique est donc, dans ce cas particulier, l'épicycloïde engendrée par

la rotation d'une circonférence de rayon j sur une cir-

conférence de rayon ^ , r étant le rayon du miroir sphé-

rique considéré.

On arrive au même résultat avec un miroir convexe.

2<* Caustique par réfraction. Considérons le cas d'une surface plane séparant deux milieux d'inégale réfringence dont l'indice de réfraction relatif est n. Supposons le point lumineux S placé au milieu le moins réfringent et cher-

Fig. 3.

chons l'enveloppe de tous les rayons issus de S après leur réfraction. Menons le symétrique S' de S par rapport au plan de séparation et considérons un rayon quelconque SI. Il se réfracte en I en se rapprochant de la normale. Construisons le cercle en passant par les points SIS' et prolongeons le rayon réfracté IR jusqu'à sa rencontre en M avec cette circonférence ; menons en I la normale à la surface de séparation, elle est tangente à la circonférence. Joignons S'M et SM. Remarquons que l'angle ISS' est égal à i ainsi que l'angle SS'I ; l'angle NIM qui est égal à r a pour mesure la moitié de l'arc IM ainsi que l'angle MSI et que l'angle IS'M ; ces deux angles sont donc égaux à r et par suite l'angle MSS' est égal à i 4- r et l'angle MS'S est égal ai — r; on a donc dans le triangle MSS'