III. Administration militaire (V. Comptabilité militaire

BiBL. : 1» Politique, — Vivien, Etudes administrcitives ; Paris, 1859, 2 vol. in-8. — Alexis de Tocqueville, L'Ancien régime et la Révolution; Paris, 1856, in-8. — Edouard Laboulaye, l'Etat et ses limites, suivi d'Essais politiques ; Paris, 1865, pp. 7-47, in-12. — Troplong, Du pouvoir de l'Etat sur l'enseignement ; Paris, 1844, chap. iv, xvii et ii, in-8. — Dalloz, Code des lois administratives; Paris, 1887-1888, l*"" p., Introduction historique, 4 vol. in-4. — Paul Boiteau, Etat de la France en 1189; Paris, 1861, pp. 1044D5, in-8. — Général Foy, Discours ; Paris, 1826, 1. 1, pp. 372-373, 2 vol. in-8. — Michel Cpievalier, Revue des Deux Mondes, année 1849. — Un projet de décentralisation ; Nancy et Paris, 1865; lettre de M. de Larcy, p. 156 ; lettre de M. de Lavergne, p. 163, in-8. — Napoi^éon III, la Politique impériale ; Paris, 1868, pp. 134-135, in-8. — Journal officiel du 10 avril 1870. —Lucien Delabrousse, Revue politique et littéraire du 21 juillet 1877 : la Candidature officielle, son histoire. — Duc de Broglie, Vues sur le gouverneynent de la France; Paris, 1870, p. 173, in-8. -— Cormenin, Droit administratif; Paris, 1840, 1. 1, introduction, 2 vol. in-8.-- A. Peyrat, Avenir national de 1865.

2» Administration.— Loi du 28 pluviôse an VIII. — Loi du 10 août 1871. — Loi du 5 avril 1884. — Th. Ducrocq, Cours de droiiadminisiraii/*; Paris, 1881, 1. 1,2 vol. in-8. — Dalloz, Code des lois politiques et adm.inistratives ; Paris, 1887-1888, t. I, 4 vol. in-4. Un iprojet de décentralisation; Nancy et Paris, 1865, introduction et projet, in-8. — Cormenin, Droit administratif; Paris, 1840, 2 vol. in-8. — Dupont-White,

CENTRALISATION — CENTRE

l'Individu et TE /a£; Paris, 1868, in-18. —Du môme, la Centralisation ; Paris, 1868, in-18. — Odilon Barroï, De la Centralisation et de ses effets ; Paris, 1861 in-18.

CENTRANTHE (Centranthus D.C.). Genre de plantes de la famille des Valérianacées, dont on connaît seulement cinq ou six espèces, répandues dans la région méditerranéenne. La plus importante, C. ruber D. C. {Valeriana ruhra L.) est appelée vulgairement Valériane rouge ou des Jardins, Behen rouge ^ Carnoccia^ Barbe de Jupiter , C'est une herbe vivace de 4 à 7 décim. de hauteur, à feuilles épaisses, glauques, ovales ou lancéolées, en général entières, à fleurs rouges, plus rarement blanches, accompagnées de bractées libres et formant par leur réunion des cymes composées et ramifiées, axillaires ou terminales. La corolle est tubuleuse-infundibuliforme, avec le tube prolongé à la base en un long éperon. L'androcée est réduit aune seule étaniine et l'ovaire, divisé en trois loges, dont une seule est fertile, devient à la maturité un achaine uniloculaire, surmonté d'une aigrette à soies plumeuses. — Originaire de l'Europe méridionale, le C, ruber s'est naturalisé çà et là dans presque toute la France, particulièrement sur les murs des vieux édifices, dans les décombres et sur les talus des chemins de fer, où on le trouve souvent en grande abondance. On le cultive fréquemment dans les jardins comme ornemental. Sa racine, dont l'odeur est analogue à celle de la Valériane, était considérée jadis comme fébrifuge et antispasmodique. Elle est aujourd'hui absolument inusitée. Ed. Lef.

CENTRARCHUS. Genre de Poissons osseux (Téléostéens), de l'ordre des Acanthoptérygiens Perciformes et de la famille des Percidœ. Ses caractères prncipaux consistent dans un corps court et comprimé, couvert d'écaillés de dimension moyenne ; des dents en velours, sans canines, disposées sur le vomer, les palatins et la langue, une seule nageoire dorsale, l'anale armée généralement de plus de trois épines, et un préopercule denticulaté sur son bord libre. Les formes de ce genre sont communes dans les eaux douces ' des Etats-Unis, où elles semblent confinées ; elles dépassent rarement une longueur de 12 cent, et ne servent en aucune façon à l'alimentation ; les naturels des bords du lac Pontchartrain les désignent sous le nom de Perches d'étang. Rochbr.

BiBL. : GuNTHER, Cat. Fisher Brit. Mns. et. Study of Fis fies.

CENTRE. I. Mathématiques. —En général, un point 0 est centre d'une figure quand M désignant un point quelconque de cette figure, il existe un autre point M' de cette figure situé sur la droite qui joint OM, tel que la longueur OM soit égale à la longueur OM'. Mais le mot centre accompagné d'une épithète est encore employé dans un grand nombre d'autres acceptions ; le centre tel que nous venons de le définir porte souvent le nom de centre de symétrie. Si une figure a deux centres, elle en a une infinité en ligne droite et équidistants. Si une figure a trois centres, elle en a une infinité situés dans le plan des trois premiers et situés aux sommets de parallélogrammes égaux avec lesquels on peut paver le plan. Si une figure a quatre centres non situés dans un même plan, elle en a une infinité situés aux sommets d'un réseau de parallélipipèdes égaux pavant tout l'espace. Lorsque tous les points d'une droite sont centres d'une surface, cette surface est un cylindre ; lorsque tous les points d'un plan sont centres d'une surface, cette surface se compose de plans parallèles. En géométrie analytique on reconnaît que l'origine des coordonnés rectilignes est un centre quand {x y) ou {x, y, z dans l'espace) désignant un point de la figure ( — x, ■— y) ou ( — x, — y>, — z) est encore un point de la figure. Parmi les courbes à un seul centre figurent le cercle, l'ellipse, l'hyperbole, la lemniscate, etc. Les courbes à plusieurs centres sont transcendantes ; la sinusoïde y =zsin x a une infinité de centres situés sur l'axe des x ; ils ont pour abscisses 0, zfc t:, zfc: 2 ;u etc. , sin x sin y = 1 a une infinité de centres placés aux sommets de carrés de côtés égaux à k dans lesquels on peut décomposer le plan, — l'hélice a une infinité de centres —

la surface sin x sin y miz :=z i sl une infinité de centres placés aux sommets de cubes égaux et contigus de côtés égaux à 2 % dans lesquels on peut décomposer l'espace. Le centre d'une conique s'obtient en égalisant à zéro les dérivées du premier membre de son équation î^ = 0, prises par rapport aux coordonnées. Le centre d'une quadrique Ç = 0 s'obtient également en égalant à zéro les dérivées du premier membre de son équation prises par rapport aux coordonnées ; les solutions des équations ainsi obtenues sont les coordonnées du ou des centres. Si ces équations sont incompatibles, il n'y a pas de centre.

Centre des distances proportionnelles ou de gravité. — Soient M, M', M'''',... des points auxquels nous attacherons des coefficients m, m', mf^^,„ que nous appellerons înasses^ ainsi m sera la masse du point M, on appelle centre de gravité ou centre des distances proportionnelles des niasses m, m\ w!\,„ appliquées en M, M\ IF,... un point 0 tel que la quantité

m. OM-hm'OM'^-f-...

soit un minimum. Si l'on appelle (x., y, z), (x\ y\ 7/)^.,, les coordonnées des masses m, 7n\ m^^,.., les coordonnées

, ^ , .^. ^ ^mx Smw Sm^ ^,

du centre de gravite seront •«— - , .~--^, t^- — . Par

2jm ZiM 2um extension, on a donné le nom de centre de gravité d'une ligne, d'une surface, d'un volume dont la masse spécifique est p en un point M de ce corps à un poini 0 tel que l'in-

tégrale / p OM dm soit minima, l'intégrale étant étendue à tous les éléments dtn du corps. Les coordonnées ï, 7î^ C du centre de gravité d'un solide sont données par les formules

^ fffpxdxdydz fffpydxdydz ^ ^ fffpdxdydz ''^'^fffpdxdydz ' fffpzdxdydz fffpdxdydz

Les intégrales sont étendues à tout le volume du solide, p désigne la masse spécifique du solide au point qui a pour coordonnées x,y,z. — Les coordonnées Ç, rj, Ç du centre de gravité d'une surface sont données par les formules

m ^^ffl£^ r—lillÈl r-~l£l^.

d(ii désignant un élément de surface ayant pour masse spécifique p et pour cordonnées x, y, z ; les intégrales doubles s'étendent à toute la surface. Enfin, les coordonnées du centre de gravité d'une ligne sont données par les formules

S désignant la longueur totale de la ligne. Le centre de gravité d'une surface plane rapportée à des axes situés dans son plan est encore donné par les formules (2), mais la 3« n'a pas besoin d'être considérée ; elle donne Ç rr: 0 et l'on peut supposer dbi = dx dy. En général, les corps dont on cherche le centre de gravité sont homogènes ; on y suppose alors p constant et cette quantité disparaît des formules (1), (2), (3), c.-à-d. que dans ces formules on peut supposer p = 1 ; en nous plaçant dans cette hypothèse, nous énoncerons les théorèmes suivants : lorsqu'une figure homogène (nous sous -entendrons dorénavant cette épithète dans ce qui va suivre) a un centre de symétrie, le centre de gravité coïncide avec le centre de symétrie; lorsqu'une figure a un axe ou un plan de symétrie, l'axe ou le plan en question contient le centre de gravité ; la même chose a encore lieu pour un diamètre ou un plan diamétral. Ces simples remarques permettent de prouver que le centre de gravité d'un triangle est le point de concours de ses médianes, que le centre de gravité d'un tétraèdre est au milieu des droites joignant les miUeux des arêtes opposées

CENTRE — 1148

ou au point de concours des droites joignant les sommets aux centres de gravité des bases opposées, etc.

Le centre de gravité joue en mécanique un rôle important ; c'est pour un corps pesant le point par lequel passe constamment la résultante de toutes les actions de la pesanteur, quelle que soit la position donnée au corps, ce corps étant supposé d'une assez faible étendue pour que les actions de la pesanteur puissent être regardées comme parallèles et proportionnelles aux masses (V. Conservation, Stabilité [V. les Traités de mécanique rationnelle]). Quelques auteurs ont employé l'expression de barycentre pour désigner le centre de gravité (V. Ba-

RYCENTRIQUE [CaLCUL]).

Centre des forces parallèles. — Lorsque plusieurs forces parallèles agissent sur un corps solide, il est facile de déterminer leur résultante, soit par la géométrie, soit par l'analyse. Cette résultante a son point d'application indéterminé sur sa propre direction, comme toute force appliquée à un corps solide ; mais si l'on change les directions des forces données sans altérer leurs grandeurs relatives ni leur parallélisme, leur résultante passera toujours par un point fixe qui est ce que l'on appelle le centre des forces en question. Le centre des forces parallèles est un centre de gravité (V. ce mot art. précédent), c'est le centre de gravité des points d'application des forces parallèles auxquels on attribuerait des masses proportionnelles à ces forces. H. Laurent.

Centres d'homothétie et de similitude (V. Homothé- TiE et Similitude).

(kNTRE d'HOMOLOGIE ET DE COLLINÉATION (V. HOMOLO-

GIE et Collïnéation).

Centre d'une involution (V. Involution, etc.).

Centre d'un système de forces (V. Forces).

Centre radical. — On appelle centre radical de trois cercles le point de concours commun de leurs axes radicaux ; le centre radical de trois sphères est le point de concours de leurs plans radicaux.

Centre de courbure d'une courbe. — Le centre de courbure d'une courbe est le centre de son cercle osculateur (V. ce mot et Courbure).

Centres de courbure principaux d'une surface (V. Courbure).

Centre d'aberration. — On appelle centre d'aberration d'une courbe plane en un point donné, le centre de la conique osculatrice en ce point.

Centre de gravité de courbure. — On appelle ainsi le centre de gravité d'un arc de courbe aux divers points duquel on attribuerait une masse proportionnelle à la courbure en ce point.

Centre (Point de). — On appelle point de centre une petite tablette circulaire en corne transparente, d'une superficie d'environ i centim., munie de trois pointes très fines qui servent à le fixer sur une feuille de papier. On place le point de centre sur les centres des cercles que l'on veut tracer sur une épure ; alors, au lieu de piquer la pointe du compas qui doit décrire le cercle dans l'épure, ce qui la détériore, on la pique dans le point de centre. Tous les papetiers bien fournis vendent des points de centre. H. L.

II. Mécanique. — Centre d'oscillation. — Le centre d'oscillation d'un corps solide mobile autour d'un axe horizontal AA' est un point situé sur la perpendiculaire à cet axe menée par le centre de gravité et qui oscille comme s'il était hbre. Sa distance à l'axe d'oscillation a pour

expression a -\ , a désignant la distance du centre de

gravité à cet axe et K le rayon de giration du corps par l'apport à une droite GG' menée parallèllement à AA' par le centre de gravité. La droite 00' menée parallèlement à AA' par le centre d'oscillation porte le nom d'axe d'oscillation conjugué à la droite AA'.

Centre de percussion. — Point où il faut frapper un corps solide mobile autour d'un axe AA' pour que cet axe ne

subisse aucun effort au moment du choc. Ce point se trouve sur l'axe d'oscillation 00' conjuré à l'axe AA', et pour que la condition cherchée soit rempile il faut que la percussion produite soit perpendiculaire au plan de ces deux axes el qu'elle soit contenue dans le plan diamétral conjugué à leur direction commune par rapport à l'ellipsoïde central d'inertie. La considération du centre de percussion joue un rôle important dans l'installation des pendules balistiques et dans le calcul des pièces de machines soumises à des chocs ou à des mouvements rapides d'oscillation.

Centre de pression. — Point d'application de la résultante des pressions exercées par un fluide sur une surface plane en contact avec ce fluide. Dans le cas d'un liquide pesant, les pressions en chaque point sont proportionnelles aux distances de ce point à l'intersection AA'' du plan de la surface considérée avec la surface libre du liquide, et le centre de pression coïncide avec le centre de percussion de la surface pressée correspondant à cette ligne d'intersection. Le centre de pression est l'antipôle de' la hgne d'eau AA' par rapport à l'ellipse centrale d'inertie de l'aire pressée, et il se trouve également sur la verticale passant par le centre de gravité du cylindre tronqué à génératrices verticales limité à la surface libre du liquide \\n a pour base la surface pressée.

Centre de rotation. — Le mouvement élémentaire d'une figure plane dans son plan peut toujours se ramener à une rotation infiniment petite autour d'un point de ce plan qui prend le nom de centre de rotation ou plus exactement de centre instantané de rotation. La connaissance de ce point permet de tracer les normales, et par suite les tangentes aux trajectoires décrites par les divers points de la figure en mouvement ; elle donne également les points de contact des diverses lignes de cette figure avec leurs enveloppes respectives. A. Bérard.

Centre de gravité. — Lorsque toutes les forces appliquées aux divers points d'un système sont parallèles entre elles, elles ont une résultante unique qui passe par un point fixe, ({uelle que soit l'orientation commune de ces forces ; ce point est le centre des forces parallèles ; il porte le nom de centre de gravité dans le cas où ces forces sont dues à la pesanteur. Pour trouver sa position dans les corps, on s'appuie sur la définition que nous venons de donner ; on détermine deux positions de la résultante de la pesanteur pour deux positions déterminées du corps ; le point de croisement de ces droites est le centre de gravité cherché ; pour avoir deux de ces résultantes on suspend le corps successivement par deux points et on l'abandonne à lui-même de façon qu'il prenne sa position d'équilibre sous l'action de la terre ; la résultante des forces de la pesanteur ou le poids du corps est alors dirigé suivant la verticale du point de suspension. Le centre de gravité a un rôle important en physique et en mécanique parce que, chaque fois qu'il s'agit d'un problème d'équilibre, on peut remplacer l'ensemble des forces de la pesanteur agissant sur tous les points du corps par le poids de ce corps appliqué au centre de gravité (V. Balance [Théorie de la] comme exemple). En particulier, les conditions d'équilibre des corps pesants soumis à la seule force de la pesanteur sont très simples quand on considère les propriétés de ce point ; on démontre en mécanique que pour qu'un solide ayant un point fixe soit en équihbre sous l'action de la pesanteur il faut et il suffit que son centre de gravité soit sur la verticale passant par le point fixe ; s'il se trouve sur cette verticale au-dessus de ce point l'équilibre est instable : il est stable dans le cas contraire ; si le point fixe et le centre de gravité coïncident, l'équilibre est indifférent, c.-à-d. qu'il existe quelle que soit l'orientation du corps. Lorsqu'un corps a deux points fixes ou une droite fixe, la position d'équilibre est celle dans laquelle le centre de gravité du corps est contenu dans le plan vertical contenant la droite ou les deux points fixes ; l'équilibre est stable ou instable, comme précédemment ; il est indifférent si le centre de gravité est sur la droite

CENTRE

fixe ou si cette droite est verticale. Quand un corps repose sur un plan il faut, pour qu'il y ait équilibre, que le point d'intersection de la verticale menée par le centre de gravité et du plan qui supporte le corps soit à l'intérieur du polygone d'appui ; on entend par là la figure formée en joignant deux à deux les divers points de contact du corps et du plan de façon à former un polygone fermé convexe ne laissant à l'extérieur aucun des points d'appui. D'une taçon générale le centre de gravité d'un corps tend toujours à être le plus bas possible : c'est ainsi que la figure d'équilibre d'un fil flexible et inextensible est une courbe appelée chaînette qui jouit de cette propriété que son centre de gravité est plus bas que celui de toutes les autres courbes que l'on pourrait faire avec un fil de même longueur attaché aux mêmes points. On a construit divers petits appareils de physique fondés sur ce princii)e : ainsi un morceau de bois ayant la forme de deux cônes égaux accolés par leur base est placé sur deux planchettes verticales faisant entre elles un angle convenablement calculé d'après celui du double cône. Le bord supérieur de ces planchettes est incliné ; il va en montant lorsqu'on s'éloigne de leur point de réunion. Si on pose en ce point le double cône dont nous avons parlé, il s'éloigne en roulant vers la partie la plus haute de chaque planchette, mais en réalité son centre de gravité descend et c'est là la cause de son mouvement. On peut de même faire monter d'une petite hauteur un disque de bois le long d'un plan incliné : pour cela on prend un disque contenant près de sa périphérie une masse de plomb ; on le place de façon que le centre de gravité soit à peu près sur la verticale du point d'appui, mais un peu du côté où le plan va en montant; en abandonnant alors le disque à lui-même, le centre de figure monte, mais le centre de gravité descend.

Le centre de gravité joue aussi un rôle important en dynamique; tandis que les différents points d'un corps pesant peuvent décrire, sous l'influence de la pesanteur, des courbes plus ou moins compliquées, le centre de gravité décrit une parabole. Ainsi, le centre de gravité d'un obus lancé par un canon décrit une parabole, et lorsque l'obus éclate en l'air, chaque morceau décrit une courbe très compliquée résultant de la combinaison de deux mouvements paraboliques ; la considération du centre de gravité permet encore, dans ce cas, de représenter simplement les résultats : si l'on rapporte le mouvement de chaque éclat à trois axes de coordonnées mobiles dont le point de croisement continue de décrire la parabole que décrivait le centre de gravité de l'obus avant l'explosion, on trouve que le centre de gravité de chaque éclat décrit une nouvelle parabole et tous les mouvements de tous ces morceaux sont tels qu'à chaque instant le centre de gravité de l'ensemble des divers éclats disséminés se trouve sur la même parabole qu'avant et au point même où il serait si l'obus n'avait pas éclaté. Ces quelques exemples suffisent à montrer l'importance du rôle que joue en mécanique et en physique le centre de gravité.

Lorsqu'un solide est homogène et est terminé par une surface donnée par une équation, on peut trouver par le calcul la position du centre de gravité. La recherche de ce point est alors ramenée à une question de calcul intégral ; il en est de même si, le corps n'étant pas homogène, la densité de chaque point est une fonction connue des coordonnées de ce point, mais le calcul peut être aloi*s très compliqué. Loisqu'un solide est homogène, s'il possède un centre de figure, c'est en ce point que sera le centre de gravité ; par exemple, le centre de gravité d'une sphère homogène est en son centre ; s'il possède un axe de symétrie ce point sera sur cet axe ; c'est ainsi que le centre de gravité d'une toupie se trouvera sur l'axe autour duquel elle peut tourner ; s'il possède un plan de symétrie, le centre de gravité s'y trouvera. A. Joannis.

III. Physique. — Centre^ optioue. — On désigne ainsi un point qui possède dans les lentilles que l'on emploie en optique la propriété suivante : tout rayon lumineux,

marchant dans l'épaisseur de la lentille, qui ])asse ou dont le prolongement passe par ce point, sort suivant la même direction qu'il avait avant de pénétrer dans la lentille. L'existence d'un point jouissant de cette propriété peut se démontrer de la façon suivante (fig. 4 ) : Considérons une lentille quelconque, biconvexe par exemple, et menons par les centres de courbures de ses faces deux rayons parallèles OA, O^V. Joignons A A' et soit C le point où cette droite coupe l'axe principal 00' de la lentille; ce point est le centre optique ; en effet, un rayon qui marchera dans le verre suivant AA' fait des angles égaux avec les plans tangents en A et en A' à la face d entrée et de sortie de la lentille, par suite, les angles correspondants de réfraction en A et en A' seront égaux, tout se passant comme si la lumière avait traversé une lame à faces parallèles. Il n'y a donc pas, pour le rayon particulier que nous avons considéré, de changement de direction, mais un simple déplacement sur lequel nous reviendrons un peu plus loin. Cherchons maintenant la position du point C : les triangles OCA, O'CA' sont semblables comme ayant leurs angles égaux, de là on tire l'égalité