OC OA

Le point C partage donc la distance des centres en deux segments qui sont dans le rapport des rayons de courbures des deux faces de la lentille ; le point C étant plus près de la face à plus forte courbure. Il est donc indé|)en-

Fig. 1.

dant de la direction des rayons OA, O'A' et par suite toutes les droites tefles que AA' passent toutes par le même point C défini par l'équation précédente, ce qui montre l'existence d'un point jouissant de la propriété énoncée. La construction précédente s'applique identiquement aux lentilles biconcaves et aux ménisques convergents ou divergents. Dans les premières, le centre optique est encore à l'intérieur de la lentille, et dans les autres il est à l'extérieur, et ce n'est plus alors le rayon lumineux marchant dans le verre, mais son prolongement géométri(|ue qui doit passer par ce point pour que le rayon lumineux conserve sa direction. Pour les lentilles planconvexes ou plan-concaves, la construction précédente ne s'applique plus ; mais il est facile, en la modifiant un peu, de démontrer que le centre optique est alors au sommet de la partie sphérique de la lentille. En effet, le point C obtenu plus haut peut être considéré comme point de rencontre de l'axe et d'une droite AA' définie par la condition que A et que A' appartiennent chacun à une des faces de la lentille et que les plans tangents à ces points soient parallèles. Dans les lentilles plan-concaves ou planconvexes, l'une des faces étant un plan, l'un des plans tangents considérés se confond avec lui ; l'autre devant lui être parallèle ne peut passer que par le sommet de la face courbe ; donc, toutes les droites telles que Aii' passeront toutes par ce sommet, c'est donc ce point qui jouit de la propriété du centre optique.

Le centre optique sert constamment pour la construction géométrique des images dans les lentilles et les lunettes, à cause de la propriété importante qui lui sert de définition. Comme conséquence de cette définition, on peut remarquer que, dans les lentilles, il y a toujours trois points en ligne droite : l'objet, l'image et le centre optique.

Tout rayon qui passe par le centre optique sort parai-

CENTRE

lèlement à lui-même, mais il éprouve une déviation proportionnelle, toutes choses égales d'ailleurs, à l'épaisseur de la lentille et à l'angle d'incidence du rayon lumineux lorsque cet angle est petit. L'expression approchée de cette valeur, quand on néglige les termes de l'ordre du carré de l'angle d'incidence, est donnée par la formule

D zn is,

dans laquelle D est le déplacement subi par le rayon lumineux sortant parallèlement à lui-même, i est l'angle d'incidence exprimé en fonction du rayon et s l'épaisseur de la lentille. Pour avoir une idée de la grandeur de ce déplacement, calculons-le pour une lentille telle qu'on en rencontre souvent, par exemple pour une lentille de 10 millim. d'épaisseur et un rayon lumineux faisant un angle d'incidence de 30", il vient

Pour les lentilles plus épaisses, et lorsqu'il est nécessaire d'avoir le plus de précision possible, on emploie la méthode des lentilles épaisses (V. ce mot). Dans ce cas, le centre optique se trouve remplacé par deux points jouissant de propriétés analogues. Quand un rayon incident passe par l'un de ses points, il sort parallèlement à sa direction primitive mais en passant par le second point. A. JoANNis.

IV. Géodésie. — Centre m station. — Les stations géodésiques sont généralement désignées par le nom du village sur le territoire duquel elles sont placées ; quelquefois un nom de colline ou de montagne est substitué au nom du village. Mais le sommet géodésique proprement dit, ou Centre de la station est un point mathématique dont la position est fixée sur le sol, par un signal géodésique. La conservation des centres de station est un des desiderata de tous les géodésiens ; elle permet, en effet, de contrôler les mesures anciennes par des mesures nouvelles, et peutêtre cette comparaison révélera~t-elle des phénomènes dont nous n'avons aucune idée. On choisit souvent pour centre de station les axes de clochers d'églises ou de tours appartenant k des édifices, parce que l'altitude de ces portions d'édifices facilite les observations et que l'on assure, du même coup, la préservation du centre géodésique pour nn nombre d'années considérable. En général, les centres ainsi fixés sont mal déterminés et peuvent convenir pour des opérations de second ordre, mais ne répondraient pas à la haute précision des observations de premier ordre. Pour celles-ci, on choisit un point déterminé du clocher ou de la plate-forme de la tour et l'on reporte ce point sur un plan, par une construction géométrique appropriée aux circonstances, mais très exacte. Il conviendra d'opérer ce repérage avec des précautions spéciales, car des restaurations, démolitions ou reconstructions, peuvent, dans l'avenir, égarer les observateurs sur l'emplacement véritable de la station. Lorsque la forme du terrain permet d'effectuer les mesures angulaires au niveau du sol, le centre de station est repéré par un cylindre de bronze encastré dans un bloc de maçonnerie noyé dans le sol (fig. 2). Ce cylindre porte deux diamètres rectangulaires profondément gravés sur la face supérieure ; l'intersection des deux diamètres est le centre de station. On élève, ensuite, au-dessus de ce cylindre repère, un pilier dont l'axe passe par l'intersection des deux diamètres. Ce pilier sera le signal visé des autres stations ; les différentes lignes de visée concourront sur l'axe du signal, si ce signal est symétrique par rapport à son axe.

" Les lectures obtenues à l'aide d'une lunette mobile sur un cercle gradué, fournissent les angles par rapport au centre de ce cercle. Le théodolite ou le cercle azimutal devra donc reposer sur le signal, de manière que son axe prolongé passe par le centre du repère. Il peut arriver, par suite de circonstances locales, que l'on soit amené à disposer l'instrument sur un pilier situé à (fuelques !

dizaines de mètres du signal. Dans ce cas, pour ramener les mesures à la valeur qu'elles auraient prises, si l'on avait observé au centre de station, il faut appliquer aux observations des corrections connues sous le nom de Réduction au centre; soit 0 (fig. 3) le point sur lequel on a

Fig. 2.

observé, C le centre de station, l la lecture de la division du limbe lorsque la lunette est pointée sur un signal A, lo la lecture correspondant au centre G, r la distance OC et enfin d la distance OA. Il est à remarquer que la distance OA sera très grande par rapport à OC, par conséquent l'angle en A sera un petit angle. Si l'on suppose que l'on fasse glisser le cercle OC, de manière que la division Iq reste toujours sur la droite OG et jusqu'à ce que le centre de l'instrument tombe en C, la division l correspondra à une droite CA' de l'espace, parallèle à OA, et l'angle A'CA sera la corrrection qu'il faudra appliquer à la lecture / pour obtenir la lecture qui serait faite sur la direction CA. C'est donc la réduction au centre cherchée. On remarquera que cet angle A'CA est égal k l'angle OCA du triangle et que la lecture l devra être corrigée positivement ou négativement, suivant le sens de la graduation du limbe. Pour un cercle gradué dans le sens direct^ c.-à-d. en sens inverse du mouvement des aiguilles d'une montre, chaque lecture devra subir la correction donnée en grandeur et en signe par la formule

sin (l — V sin V ' *

Dans les observations géodésiques de premiei' ordre, on observe presque toujours sur un piher rectangulaire en briques ou en pierre dont la face supérieure est recouverte par une dalle, et le cylindre repère est placé sous le pilier ; on marque, par une croisée de traits, le point où la verticale du repère perce la dalle, et pour atteindre le plus exactement possible ce but, on dispose le cylindre de

CENTRE

manière que son axe se trouve k l'intersection des diagonales du rectangle de base. Si le pilier est bien dressé, le centre de la face supérieure coïncidera avec le centre de station. On conçoit qu'il est impossible de satisfaire rigoureusement à cette condition ; toutefois, on ne dépasse certainement pas une erreur de quelques millimètres. D'ailleurs, au point de vue de la mesure en cours d'exécution, cette condition est totalement indifférente. En effet, lors- (}ue les mesures angulaires seront achevées, on remplacera le théodolite ou le cercle azinmtal par un miroir solaire dont il sera facile de placer le centre exactement au-dessus de l'intersection des diagonales. Pour les observations de nuit, on emploiera dans le même but, un collimateur optique mobile autour d'un axe vertical passant par le centre de station. C'est donc ce point marqué sur la dalle par deux droites rectangulaires et par une circonférence qui est le centre de station.

Malheureusement, il est très difficile de protéger les signaux géodésiques, presque toujours construits en des lieux peu accessibles ou très écartés ; le temps les dégrade, les hommes les renversent, quelquefois pour s'emparer des matériaux de construction, souvent pour satisfaire un instinct bestial. Le cylindre repère enfoui dans le sol échappe généralement à la destruction. Si donc on veut plus tard répéter l'opération, ou appuyer sur elle d'autres déterminations géodésiques, on pourra répondre des centres de station avec une erreur de quelques millimètres à peine.

Il arrive souvent que la forme du terrain oblige à placer les centres de station au sommet d'un échafaudage, à une hauteur de 20 ou 30 m. au-dessus du sol. Dans ce cas, la tablette qui supporte tour à tour l'instrument et le miroir est percée d'un tiou circulaire dont le centre sera le centre de station. On suspendra un fil à plomb au centre de ce trou. Le poids du fil à plomb sera très lourd et terminé par un cône. On disposera le cylindre repère de manière que son centre se trouve placé au-dessous de la pointe du cône. Il sera bon, pendant cette opération, de protéger le fil par des toiles de manière à annihiler les déviations que le vent pourrait lui imprimer. Cette projection du centre peut être exécutée bien plus exactement et plus commodément au moyen de la lunette nadirale de Brunner décrite dans le tome XII du Mémorial du Dépôt de la Guerre. Cet appareil (fig. 4) se compose d'une lunette verticale L dont Foculaire est en haut. La lunette est traversée par un axe horizontal AA' au moyen duquel elle repose à chaque extrémité sur des petits coussinets d'acier vissés aux montants verticaux d'une alidade BB' mobile autour d'un manchon cylindrique creux dans lequel s'engage la portion inférieure de la lunette. Ce manchon creux fait corps avec un support horizontal muni de 3 vis calantes disposées aux sommets d'un triangle équilatéral. La partie supérieure du manchon soutient un limbe fixe, à l'intérieur duquel tourne un plateau mobile soudé à la règle BB'. C'est donc ce plateau mobile qui supporte le poids de la lunette et de ses accessoires ; il peut être arrêté dans une position invariable au moyen d'une pince de rappel que Ton voit en avant dans la figure* Une vis latérale v agit sur l'extrémité de l'axe AA' et permet de le déplacer dans le sens de AA' ; un buttoir à ressort presse sur l'autre extrémité de l'axe. Une autre vis v\ insérée dans une pièce vissée à la règle BB', agit sur l'extrémité inférieure d'une tige verticale D rivée à l'axe AA'' ; un buttoir à ressort presse de même sur l'autre face de la tige D. Cette seconde vis v^ sert à imprimer à la lunette de légers déplacements dans le sens perpendiculaire à Taxe. Enfin, un niveau N permet de rendre l'axe AA' exactement horizontal dans toutes les positions de la règle BB', au moyen des trois vis calantes Y, V^ Y'''', La lunette porte à l'intérieur du tube une lentille achromatique mobile dans le sens de l'axe, disposition qui permet d'apercevoir nettement dos objets placés à des distances fort différentes.

Pour projeter le centre de station, on commence par ecouvrir le trou cylindrique de la tablette à l'aide d'une

plaque de métal, et l'on rejière sur cette plaque de métal le centre du cercle gradué de l'instrument qui a servi aux mesures angulaires, au moyen de deux traits rectangulaires gravés finement. On remplace ensuite l'instrument par la lunette nadirale dans laquelle on déplace la lentille mobile, de manière à pouvoir viser les objets rapprochés. On rend ensuite l'axe de la lunette perpendiculaire au plan horizontal au moyen du niveau, puis en agissant sur les vis v le v\ on amène la croisée des fils en coïncidence avec le

Fig. L

centre de station. On enlève alors la plaque de métal qui ferme le trou percé dans la tablette et l'on déplace la lentille mobile jusqu'à ce que l'on aperçoive nettement les objets placés à la surface du sol. Si l'on fait tourner la règle BB', la croisée des fils semblera décrire sur le sol un petit ovale, ce qui tient à ce que l'axe optique de la lunette ne coïncide presque jamais rigoureusement avec son axe de figure. Le petit ovale ne dépasse guère 2 à 3 millim. dans sa plus grande direction ; la projection du centre de station en occupe le centre. On fixe le cylindre repère dans un massif de maçonnerie, de manière que son axe passe par le centre de l'ovale.

Les centres des stations géodésiques demandent à être déterminés avec une très grande exactitude, en raison de la précision des observations. On sait, en effet, mesurer des bases de plusieurs kilomètres, avec une erreur d'environ i centini. et qui dépend bien plus des conditions physiques du problème que des mesures purement géodésiques. Les triangles déterminent des côtés de 30 kil. avec une erreur de quelques centimètres ; on conçoit qu'il est nécessaire de fixer très exactement les centres des stations géodésiques. Les déterminations astronomiques de longitude et de latitude ne requièrent pas les mêmes précautions. Le centre de station sera encore un point marqué sur la face supérieure du pilier d'observation par deux traits, dont l'un sera la trace sur le plan de l'horizon du méridien correspondant à l'axe optique de la lunette et l'autre l'élément du parallèle terrestre passant par le centre du cercle vertical des hauteurs. Il importe peu que le centre de figure de l'appareil coïncide exactement avec le centre de station, car l'on ne peut guère se flatter, dans l'état actuel de la science, de mesurer une latitude avec une erreur inférieure à 3 ou 4 centièmes de seconde de temps, soit une demi-seconde d'arc. Or, une erreur d'une demi-seconde d'arc en latitude corres-

CENTRE

— llo^i

pond à une longueur de 15 m. comptée sur le méridien local ; la même erreur en longitude déplacera le méridien de 15 m. à l'équateur et de 12 m. k la latitude de Paris. On voit par là qu'il convient de définir le centre d'une station astronomique, mais qu'il n'y a pas lieu de prendre des précautions spéciales pour l'installation des instruments.

Ch. DE VlLLEDEUIL.

V. Marine. — Centre de gravité du navire a flot. — La position du centre de gravité est déterminée par Vexpérience de stabilité exécutée lorsque le navire est à flot et armé. Remarquons d'abord que ce centre est forcément situé dans le plan longitudinal du navire (plan de symétrie) et sur la verticale du centre de gravité de la carène ou centre de carène^ le bâtiment étant droit, en principe, au moment où l'on lait l'expérience.

Il suffit donc de déterminer la distance a du centre de gravité au centre de carène, connu lui-même par des calculs antérieurs (V, plus bas). L'expérience consiste à donner

une inclinaison 0 ou bande au navire en déplaçant d'une longueur /, perpendiculai rement au plan longitudinal du navire un poids connu jp.

Si nous appelons P le poids du navire fourni, pour son immersion actuelle, par les calculs de déplacement, et p le bras du levier du métacentre ( V.

ce mot), un lemme connu du théorème principal de l'équilibre des corps flottants nous permettra de poser l'équation :

F-^=={P-A).tg0

d'où l'on tirera la valeur de a. Dans la pratique, après avoir dressé le navire avec ses poids disponibles, on place sur le pont supérieur à la flottaison FL deux paquets de « gueuses », parallélipipèdes de fonte de poids connu, p et p' à égale distance du plan longitudinal ; on suspend au milieu du navire, au-dessous de ce pont, un fil à plomb qui vient au contact d'une échelle ou règle graduée horizontale E, dont on se servira pour mesurer les inclinaisons 6 ; enfin, on prend soigneusement les tirants d'eau avant et arrière qui permettront de trouver P ou le déplacement du navire dans V échelle de solidité.

On évite de donner au navire une trop grande inclinaison, pour n'avoir pas à compter avec la variation de sa hauteur métacentrique p, fonction de cette inclinaison. Depuis l'extension prise par les constructions en fer, on détermine directement le centre de gravité en calculant les poids de toutes les pièces mises en place et leurs moments par rapport an plan transversal et au plan horizontal.