Euclide, Eléments, Uy. I, prop

OUATBIÈME PARTIE. 341

\s bien qu'il y a de cerlaios allribulj [[ai se voient plus tacijemenl dans lei idëos que les autres; auig je crois qu'il sulTit qu'ils puissent s'y voir clairement avec une médiocre attention, el que nul homme iiinura l'espi'il bien [ail n'eu puisse douter séricusenient, pour regarder 'S propositions qni se tirent aioei de la simple oousidj ration des idées, Omme des principes qui n'oal point besoin de preuves, maïs au plus 'explication et d'ua peu de discours. Ainsi, je soutiens qu'on ne peut ûreuu peu d'atteation sur l'idée d'une ligne droite, qu'on ne conçoive fln-sonlemeot que ea position nedépend que de deux points [ce qn'Eu- " le a pria pour une de ses demandes), mais qn'on ne comprenne uussi

is peine ei très-clairemeiit que si une ligne droite eo coupe une autre t qu'il 7 ait deux points dans la conpante, dont chacun soit é^lemenl iitanl de deux points de la coupée, il n'y aura aucun autre point lie l coupante qni ne soit également distant de ces deux points de la cOii- Se : d'où il sera aisé de juger quand une ligne sera perpendiculaire il le anlre, siuia ic servir d'angle ni de triangle, dont ou ne doit traiter a'après avoir établi beaucoup de cboses qu'on ne saurait démontrer

le par les perpendiculaires.

R est aussi k remarquer que d'excellents géomètres emploient pour rincipes des propositions moins claires que celles-lii; comme lorsque idlimédet a établi ses pins belles démonstrations sor eet axiomes: fttideux tiçTiet sur le minte plan oui les eilréaiilés communes, et sont ItrMes ou muses reri la même part, celle qui ut centenve lera moûidrt H celte qui la contient.

J'avoue que ce défaut de prouver ce qui n'a pas besoin de preuves ne araitpas grand, el qu'il ne l'est pas aussi en soi; mais il l'est bcaupap dans les suiles, parce que c'est de li que naît ordinairement le renersement de l'ordre naturel doni nous parlerons plus bas; celte envie e prouver ce qui devait Être supposé comme claie et évident de solïSme ayant sauvent obligé les géoiutlres de traiter des choses pour lervir de preuve à ce qu'ils n'auraient pas dû prouver, qui ne Jevraiont Ire traitées qu'apiès, selon l'oiilre de la nature.

DiFJCT Ul. DSmojiaJrnîioB par l'imposiilile.

Ces sortes de démonstrations qui montrent qu'une cbose est telle, non ses principes, mois par quelque absurdité qui s'ensuivrait fi elle

t autrement, son! très-ordinaires dans Euclide. Cependant i! est vi-

e qu'elles peuvent convaincre l'esprit, mais qu'elles ne l'éclalrcnt )int, ce qui doit être le principal fruit de la science : car uolre esprit

al point satistait, s'il ne sait non~seulument que la chose est,' mais

irquol elle eat; ce qui ne s'apprend point par uns démonstration qui gduit II l'impossible.

Ce n'est pas que ces démonstrations soient (ont II lïil à rejeter ; car H) peut quclqucFuis s'en servir pour prouver des négatives qni no sont ropremenl que de; curollaîres d'autres propositions, ou claires d'alIeS'

inriîios, ou démontrées auparavant par une autre voie : et alors cett Borti> (le démonstration, en réduisant k Timpossible, tient pUitùt lie dVxpliration que d'une démonstration nouvelle.

Kiilin, un peut dire que ces démonstrations ne sont recevables qu quand on n'en peut donner d'autres ; et que c'est une faute de s'en serv ])our prouver ce qui peut se prouver positivement : or, il y a beaucou de propositions dans Kuolide qu'il ne prouve que par cette YOie, q\ ])cuvent se prouver autrenient sans beaucoup de difficulté.

lïKFAVT IV. Ih'monst rations tirvei par des voki trop iioignées.

Ce défaut est très-commun parmi les géomètres. Ils ne se mettent pi en peine d'où les preuves qu'ils apportent sont prises, pourvu qu'elle soient convaincantes; et cependant ce n'est que prouver les cbosi très-imparfaitement que de les prouver par des voies étrangères, d*o elles ne dépendent point selon leur nature.

C'est ce qu'on comprendra mieux par quelques exemples. EucUdc liv. I, propos. 5, prouve qu'un trianj^Mc isocèle a les deux angles sur 1 liyse égaux en prolongeant également les côtés du triangle, et faisai de nouveaux triangles qu'il comjiare les uns avec les autres.

Mais il n'est ])as incroyable qu'une chose aussi facile à prouver qi

l'égalité de ces angles ait besoin de tant d'artilice pour être prouvée

comme s'il y avait rien de plus ridicule que de s'imiginer que cette ég

lilé détiendit de ces triangles étrangers ; au lieu qu'en suivant le vr

J ordre, il y a plusieurs voies très-faciles, très-courtes et très-naturelh

DOur prouver cette même égalité.

La 470 du livre I, où il est prouvé que le carré de la base qui sou lient un angle droit est égal aux deux carrés des c«*>tés, est une des pli estimées propositions d Euclide; et néanmoins il est assez clair qi la manière dnnt elle est prouvée n'est point naturelle, puisque régali de ces carrés ne dépend point de l'égalité des IriHUglos qu'on prei pour moyen de cette démonstration, mais de la propoitiou des ligne qu'il est aisé de démontrer sans se servir d'aucune autre ligne que de ])erpendiculaiie du sommet de l'aiigle droit sur la h.ise.

Tout Euclide est plein de ces démonstrations par dos voies étrangère , Défaut V. I^'avoir aucun aoin du vrai ordre de la vaîure,

f C'est ici le plus grand défaut des géomètres. Ils se sont imaginé qu

1^ n'y avait presque aucun ordre à garder, sinon que les premières pn

fe positions pussent servir à démontrer les suivantes; et ainsi, sans 1

T mettre en peine des règles de la véritable méihode, qui est de con

I mcncer toujours par les choses les plus simples et les plus générale

pour passer ensuite aux plus composées et aux plus particulières, i brouillent toutes choses, et traitent pêle-mêle les lignes et les surface les triangles et les carrés, prouvent, par des figures, les propriétés di lignes simples, et font une infinité d'autres renversements qui défigurei cette belle science.

Les Éléments d'Euclide sont tout pleins de ce défaut. Après avo traité de l'étendue dans les quatre premiers livres, il traite générale ment des proportions de toutes sortes de grandeurs dans le cinquièmi