I.OdQ|TE

132 LOaiQUE.

Vous traduirez cette expre$sIon en une auirç plus simple , si tous dites : La droite , augmentée dvne unité , est igale a deux gauches , dimi'nuées chacune d^une unité ; et vous arriverez à cette expressioju la plus simple de toutes : La droite y plus un^ ég^l^à deux gauches ^ moins deux» Voici doncles expressions dans lesquelUs .nous avons traduit nos données :

La droite, mpin^ un, égale à la gauche,

plus un ;

La droite , plus un , égale à deux gauches ,

moins deux.

Ces sortes d^ expressions se nomment en ma?

thématiques e^^i/a/Zon^. Elles sont composées de deux membres é|paux : la droite, moins un^ est le premier membre de la première équation ; la gauche , plus un , e$t le second.

Les quantités inconnues sont mêlées , dans chacun de ces membres , avec les quantités connues. Les connues sont moins un , plus un^y moins deux : les inconnues sont la droite et la gauche^ par où vous exprimez les deux nombres que vous cherchez.

Tant que les connues et les inconnues sont ainsi mêlées dans chaque membre des équations , il n'est pas possible de résoudre un problème. Mais il ne faut pas ui^ grand effort de réfle^tion pour remarquer que , s'il y a un moyen de transporter les quantités d'un membre dans l'autre sans altérer l'égalité qui est entre eux , nous pouvons, en ne laissant dans un membre qu'une des deux inconnues, la dégager des connues yec lesquelles elle est mêlée,

SECONDE PARTIE. CHAP. Vil. 125

Ce moyen s'offre delai-nnênie : car si la droite à

moins im est égale à'ia gauclie plus nn , donc la ;

droite entière sera ëgale à la gauLclie plus deux ; et si la droite plus un est égale à deux gaaches \

moins deux , donc là droite senle sera égale à \

deux ganches moin» troie. Vous substituerez donc aux deux premières équations les deux suivantes :

La droite égale à la gauche plus deux.

La droite égale à dejix gauches moiift trois. Le premier membre de ces deux équations est la même quantité , la droite; et tous voyez que vous connaîtrez bette quantité lorsque vous connaîtrez la valeur du second membre de Vunê ou de l'autre équation* Mais le second membVl de la première est égal au second membre de la seconde , puisqu'ils sont égaux Tun et Vautre à la même quantité exprimée par la droite. Vous pouvez par conséquent faire cette troisième équation :

La gauche plus deux , égale à deux gauches

moins trois.

Alors il ne vous reste qu'une inconnxie, la

gauche ; et vous eu connaîtrez la valeur lorsque

vous l'aurez dégagée , c'est-à-dire , lorsque vous

aurez fait passer toutes les connues du même

c^té. Vous direz donc :

Deux plus trois, égal à deux gauches moins

une gauche.

Deux plus trois \ égal à une gauche. Cinq égal à une gauche.

Le problème est résola. Vous avez décoayert que le noiobre de jetoi^ que j*ai dans la main gaucbe e3t cinq. Dana les iéquatîons , la droite égale à la gauche plus deux^ la df^ite égale à deux gauches moins trois ; vous trouverez que sept est le nombre que j'ai dans la main droite. Ot ces dçax nombres , cinq et sept , satisfont 'aux conditions du problème,

Solutj^n. de ce proplème c^pec des signes

algébriques.

Vous voyez sensiblement dans cet exemple /comment la simplicité des expressions facilite le raisonnement ; et vous comprenez que si Panalyse a besoin d'un pareil langage , Wsqu'un problème est aussi facile que celui que nous venons de résoudre , elle en a plus besoin encore lorsque les problèmes se compliquent.

Aussi Tavantage de Panalyse en mathématiques vient -il uniquement de ce qu'elle y parle la langue la plus simple. Une légère idée de l'algèbre suffira pour le faire comprendre. do^ ws' Dans cette langue on n'a pas besoin de mots. ' on exprime pluç par 7}-, moins par — , égal par = , et on désigne les quantités par des lettres et par des chiffres, oç , par exemple , sera le nombre de jetons que j'ai dans la main droite , et ^ celai que j'ai dans la main gauche. Ainsi o^ — I =^T|r 1» signifie que le nombre de jetons que j'ai dans la main droite , diminué d'une unité , est égal à celui que j'ai dans la main gaïaçhe augmenté d'une unité, etar-jr 1=2^ — 2,

/ SECONDE PÀBTlErf CHAP. tlll 125

signifie que le nombre dé inà main droite , aiig<meiité d'une unité , est égal à deujl fois celui de ma main gauche diminué d'une unité, Lesr deux données de noire problème sont donc ren^ fermées dans ces deux équations :

qui deviennent, en dégageant l'inconnue du premier membre ^

Des deux derniers membres de ces deux équa^tions nous faisons

qui deyienirent#uccessivemeiii^ ^

aî=a^— j^— 3y

Enfin àe x=^w{m2j nous tirons ar=S +2' ±: 7, et de a:sss2y — 3, nous tirons également «c=io— 3 = 7.

Véi^idenâe tPun raisonnement consiste unique* ment dans F identité qui se rhontre (t un jugement à tautre.

Ce langage algébrique fait apercevoir d'une manière sensible comment 1^ jugemens sont liés les uns aux auttrcis diRis un raisonnement. On voit que le d^praier vliàSl Mnferroé dans le pénultième , le pénultième dans celui qui le précède , et ainsi de sdite ^n remontant , que parce que le dernier est identique avec le pénultième , le pénultième avec celui qui le précède , etc. ; et l'on reconnaît que cette identité l'ait toute l'évidence du raisonnements

Lorsqu'un raisonnement se développe avec des mots , l'évidence consiste également dans l'identité qui est sensible d'un jugement à l'autre. £n effets la suite des jugemens est la qiême, et il n'y a que l'expression qui change. Il faut seulement remairquer que l'idipLiité s'aperçoit plus facilement lorsqu'on s'énonce avec des signes algébriques.

Mais que l'identité s!apefçoiv^ plus ou moins facilement , il suffit qu'elle -se montre , pour être assuré qu'un raisonnement est une démonstration rigoureuse , et il ne faut pas s imaginer que les sciences neâont exactes, et qu'on n'y démontre à la rigueur , que lorsqu'on y parle avec des X , des a et des h. Si quelques-unes ne paraissent pas susceptibles de démonstration , c esi qu'on est dans l'usage de les parler avant d'en avoir, fait la langue , et sans se douter même qu'il soit nécessaire de la faire ; car toutes au-

3EC0ÏÏDE *AhttE. CHAP. VU* IJS?

Paient la même exactitude , si on les parlait toutes avec des langues bien^ faites. C^est ainsi que^ nous ayons traité la métaphysique , dans la première partie dé cet ouvrage. Nous n'avons^ par exemple , expliqué la génération des fa-^ cultes de l'âme que parce que nous avons vu qu'elles sont t<j»utes identiques avec la faculté de sentir ; et nos raisonnemens faits avec des mots sont aussi rigoureusement démontrés que pourraient Tétre des raisonnemens faits avec des'lettres.

Les sciences peu exactes sont celtes dont les langues sont maljaites.

S41 y a donc des sciences peu exactes, ce n*est pas parce qu'on n'y parle pas algèbre , c'est parce que les langues en sont mal faites ^ qu'on ne s'en aperçoit pas ^ oûtjué , si l'on s'en doute ,, on les refait plus mal encore. Taut-il s'étonner qu'on ne saclie pas ratsotiner , quand la langue des sciences n'est qu'un jargon coia^ posé de i>eaucoup trop de mots | dont les uns sont des mots vulgaires qui n'ont pas de sens déterminé , et les autres des mots étrangers ou barbares qu'on entend mal ? Toutes les sciences seraient exactes si nous savione parler la langue de chacune.

/ Tojit confirme donc ce que nous avons déjà éproçivé , que les langues sont autant de méthodes analytiques ; que le raisonnement ne se perfectionne qu'autant qu'elles se perfection-^ ,nent elles-mêmes; et que l'art de raisonner^

réduit à sa plas grande simplicité, ne peut être qu'une langue bien faite.

V algèbre rHest proprement qu'une langue.

Je ne dirai pas avec des mathématiciens que l'algèbre est une espèce de langue : je dis qu'elle est une langue , et qu'elle ne peut pas être autre chose. Vous voyez , dan» le problèmre que nous venons de résoudre , qu'elle est une langue , dans laquelle nous avons traduit le raisonnement que nous avions fait avec des mots. Or , si les lettres et les mots expriment le même raisonnement , il est évident que , puisqu'avec les mots on ne fait que parler une langue , on ne fait aussi que parler une langue avec les lettres.

On ferait la même observation sur les pro*blèmes les plut compliqués : car toutes le» so* lutions algébriques offrent le même langage ; c'est-à-dire , des raisonnemens ou des jugement successivement identiques , exprimés avec des lettres. Mais parce que l'algèbre est Istplus méthodique des langues , et qu'elle développe des raisonnemens qu'on ne pourrait traduire dans aucune autre \ on s'est imaginé qu'elle n'est pas une langue à proprement parler ; qu'elle n'en est une qu'à certains égasds , et qu'elle doit être quelqup autre chose encore*

L'algèbre est en effet une méthode analytique : mais elle n'en est pas moins une langue , si toutes les langues sont elles-mêmes des^méthodes analytiques. Or c'est, encore un coup., ce qu'elles sont en effet. Mais l'algèbre est une

SEdOi^DB PARTIE^ CHAI». Vtïl. I2g

|)reuve bien frappante que les progrès des sciences dépendent uniquement des progrés dès langues ; et que des langues bien faites pourraient seules donner à Tanaljse le. degré de simplicité et de précision dont elle est susceptible , suivant le genre de no& études.-

Elles le pourraient ^ dis^je : car , dans l'art de raisonner , comme dans l'art de calculer , toiït se réduit à des compositions et à des décompositions , et il ne faut pas croire que ce soit là deux arts diiféfens. vV^