COMMUTATION
ZT^tt densité de courant, correspondant à «3, pour le bec d'échappement du balai.
e = ^k + >, force éleclromotrice de commutation induite à l'instant t dans la section en court circuit; ^^ ^t e, correspondant aux valeurs instantanées t'k ^t t..
dC^ intensité du champ de commutation à l'instant /.
» = «k + «1 courant de commutation, dont i^ est la portion correspondant à une densité de courant constante, et t. un courant supplémentaire de commutation.
V h9 h9 ^^^' intensités dans les lames 1, 2, 3,..., en ampères.
^i9 4» i m courants de commutation de sections voisines en court circuit.
<is9 ^'iii9 iniz courants supplémentaires de commutation de sections voisines en court circuit.
i, intensité dans une branche de l'induit, en ampères.
2/ coefficient de self-induction d'une section dans la position de commutation.
^9 ^n> Aiiv coefficients de self-induction des circuits voisins fermés sur eux-mêmes, mentionnés ci-après en Af^, etc.
Lg coefficient de self-induction apparente d'une section en commutation à la fin de la période de court circuit, où ^ = T.
M coefficient d'induction mutuelle entre deux sections mises en court circuit, l'une par les balais positifs, Tautre par les balais négatifs.
Afi, Afu, A/m,... coefficients d'induction mutuelle entre les sections en court circuit considérées et les circuits voisins fermés sur eux-mômes, c'est-à-dire ceux des circuits formés des bobines simultanément en court circuit, et les circuits sièges de courants parasites dans le fer de l'induit et des inducteurs.
ti> vitesse angulaire de l'induit, en tours par minute.
P^^ puissance dépensée, en watts, à la surface de contact d'un balai.
/?f, JI,, i?39*-. résistances superficielles de contact entre les balais et
les lames i, 2, 3,..., en ohms : cm'. B^ résistance superficielle de contact ou de passage entre le col*
lecteur et les balais, en ohms : cm*.
7?. résistance des spires d'une section d'induit. R^ résistance superficielle de contact d'un balai dans le schéma
réduit. On a pour elle
Ru =
R^ résistance de connexion d*une section avec une lame de collecteur.
5„ surface de contact entre balais et collecleur, en cm*.
/ temps, en secondes, compté depuis le début de la commutation.
T durée, en secondes, de la commutation.
U = D^Ri^ différence de potentiel moyenne de balai à collecteur.
U et t/" différences de potentiel entre pointes respectives de balais et lames de collecteur à leur entrée sous balais ou à leur sortie.
f^\, 6',, Î7s,... différences de potentiel ou pertes de charge entre
balais et lames 1, 2, 3,...
V vitesse périphérique de l'induit, en mètres : s. t?k vitesse périphérique du collecleur, en mètres : s.
Tout enroulement ondulé pouvant, grâce à la méthode du schéma réduit, être remplacé par un enroulement hélicoïdal équivalent, et tout enroulement imbriqué étant, en principe, identique à l'enroulement hélicoïdal, il suffira évidemment d'étudier d'abord la théorie de la commutation d'après le schéma d'un enroulement en hélice, puis de calculer les constantes T, L + S (Ar), £„ 7?„ et e^ pour les différents genres d'enroulements.
— Nous commencerons par le cas le plus simple, celui où la densité de courant est, par hypothèse, constante sous les balais. Bien que cette supposition ne corresponde peut-être pas aux con-
Ptg. 226.
dîtions les plus favorables à la commutation, elle se prête cepen*dant à une bonne commutation en ce que la puissance dissipée dans la résistance de contact de collecteur b balais est alors minimaet qu'il ne peut exister une grande différence de potentiel et, par suite, se produire d'étincelles lors de la cessation du court circuit. Nous supposerons donc la densité de courant constante comprise dans des limites admissibles.
La perte de tension entre balais et coUecteiur étant, tn ce ctxSy la même pour toutes les lames, il en résulte que chacune de ces lames conserve le même potentiel tant qu'elle est en contact avec le balai.
Dans Tétude d'après la figure 226 nous prendrons pour zéro
le potentiel du balai et nous poserons, par exemple, que la différence de potentiel entre la lame 2 et le balai ou entre la lame 3 et le balai est
U, = i,R, ou U^ = hR^
et, comme t/, = f/g, on doit avoir
Pour le courant de court circuit 4> si Ton considère, par exemple, la section b (fig. 226), on pourra arriver à l'expression suivante :
Soit, à droite du plan de séparation iô', SJ la surface de contact du balai, et Sa' la surface de contact située à gauche. Les courants, de part et d'autre de ce plan, sont alors, pour la densité de courant moyenne el constante /)„,
Du s; et Da Sa'
et, par suite,
et
2t.=zDa(S:-hS;') = D„S„
i^ = A.na(s:-s!:),
si ce courant de commutation circule, comme l'indique la flèche, de la lame 3 à la lame 2, ce sens étant considéré comme positif, et si les intensités dans les branches d'armature sont bien égales entre elles et à i,.
A l'instant / = 0, on a Si = 0 5'.' = S. et
— ^ = 7", — 5i = 5. Si' = 0,
d'où
Si'=-^^S.. (63)
En portant ces valeurs dans l'équation (61), on obtient
c'est-à-dire que le courant de commutation i\ est une fonction linéaire du temps^ ou que la variation instantanée du courant de court circuit -^ est constante, et, par suite, égale pour toutes les sections en court circuit.
Il y a maintenant à tenir compte de la force électromotrice e, induite, dans la section considérée, par la self-induction et l'induction mutuelle.
= Constante,
e.= (L + Mi + Mn + Mm...) "^ = (^ + 2 (Af )) -^ .
Pour que le courant de commutation suive cette loi de variation, il faut que la force électromotrice de commutation e^ ou le champ de commutation satisfasse à des conditions déterminées. — D'après la loi de Kirchkoff la somme des forces électromotrices
" dt. -^"^ di ^
et, comme
dlw df ~
dx\ __ dx\\ diiii
df "" dt ■" dt
il en résulte que
dans le circuit de commutation doit être nulle et Ton obtient ainsi l'expression
iuil. + (if- + 2: (M)) -^ + i;i-Ui = eic,
dans laquelle V^ et t/^ désignent les potentiels aux points d'attache a^ et a, (fîg. 227) de la section ^
en commutation avec les connexions qui la relient au collecteur.
On a maintenant
1' (/i — f/; = 0 tant que le balai recouvre entièrement les deux lames (2 et 3) de la section en court circuit (fig. 227Ô).
2* Pendant que le balai s'avance sur la lame 3 (fig. 227 a), l'intensité dans la lame 2 est égale à
2ta.
et celle dans la lame 3, à
Ak
et, par suite,
De plus, on a
la proportion
d'où
P'-Pr / t br [ T
ce qui donne
Fig. 227 a-c.
et
l/i-l/,' = o pour -f = T"-
I7i — I7; = 2iî.t./lr pour « = 0.
3* Tandis que le balai abandonne progressivement la lame 2
(ûg. 227 c), on a
avec la proportion
d'où
Dans ce cas on a
V',-U', = o pour -i=i--|.
et
Ui — u; = — 2-^t.il, pour t = T;
et, en conséquence de l'équation (64], pour t'i, :
«kfl. = — ». Il — jT 1 *• et ~dr~~T' d'où
..A + (L+MM))-^ = -ùil.(l-f)+ ^(^-+^(^) .
En introduisant alors cette valeur et celles trouvées pour Ui — f/j dans l'expression de e^, donnée par Téquation (65), on arrive aux trois équations suivantes :
Ck
=4i±iffi.,(^4.)^«,(.^)].
valable au début de la période de commutation depuis
t = o jusqu'à
puis
valable pour la fraction de période de
et enfin
valable pour la fîn de la période de court circuit de
t = TA— -^\ à t=T.
Il résulte de là que la force éleclromotrice de commutation ^i^ s'élève, comme l'indique la figure 228, sous forme de ligne brisée pendant la période de court circuit.
tfti '
Courbe de la force éleclromotrice de commutation «k.
Au temps ^ = 0, on aura, d'après la première des équations précédentes,
et, au temps / = T, d'après la troisième.
Comme, d'ailleurs, rintensité du champ de commutation est
iO\U /L + 2(i¥)
10'. ù /L+SW . K\
On a, dans les considérations précédentes, admis que (L+S [if)) restait constant et qu'en outre les intensités i, des deux branches d'armature adjacentes étaient égales entre elles. — En réalité (L + S [M)) varie très peu avec le temps pour une génératrice^ parce que la section s'approche du pôle, tandis que c'est l'inverse pour un moteur. En outre l'intensité 2 i^ à un balai ne se partage généralement pas exactement en deux parties égales.
L'hypothèse d'une densité do courant D^ constante sur toute la surface de contact conduit, en raison de l'influence de la résistance /?^, à l'allure de la variation de e^ représentée par la figure 228, qui sera bien rarement réalisée.
Si l'on considère la figure 227 6, on voit immédiatement que le trajet par les becs de balai et les lames 1 et 4 est le plus court et offre, par suite, la moindre résistance au courant.
En raison de ces petites inégalités et de l'invraisemblance d'une ligne brisée comme courbe du champ de commutation, nous remplacerons la ligne brisée représentant e^ par la droite ponctuée qui coïncidera avec Tautre quand on aura
c'est-à-dire
car l'inclinaison des deux extrémités, commencement et fin de la ligne brisée de la figure 228, est alors la même et la longueur de la portion intermédiaire devient nulle.
On obtient ainsi pour toute la période de commutation
ek=2i. ^— V^ ¥"+ T 7 • ^^^)
Gomme accroissement de la force électromotrice de commutation, seule enjeu, on trouve pour l'inclinaison de la droite de la figure 228
. gk(f = D — gk(t«o)
ou
^g^= iOO.i;.T * (^*)
COMMUTATION À DENSITÉ VARIABLE DE COURANT 32i
dans laquelle .
est Tépaisseur de balai projetée à la périphérie de Tarmature.
Si les hypothèses dont nous sommes partis sont réalisées et si, en particulier, /)„ doit être partout constant, on voit que Tincli* naison de la courbe de force électromotrice ou de champ à lendroit de la commutation est inversement proportionnelle à la durée de cette commutation et qu'elle devra être d'autant plus forte que les résistances /?. et R^ seront elles-mêmes plus grandes.
L'expression
^^^'-•^-"l^Jr [ T T)
montre en outre que le court circuit devra commencer dans un champ d'autant plus faible qu'il devra durer plus longtemps, car (L + S {M)) est ou constant ou variable avec T (dernier cas se produisant lorsque plusieurs conducteurs, situés dans la même rainure,sont simultanément mis en court circuit); mais alors J varie plus rapidement que S (3/), de sorte que — ^ ^ ' diminue lorsque T croît.
Enfin la commutation pourra commencer dans un champ d'autant plus faible que R sera plus grand ; dans certaines conditions même elle devra commencer dans un champ négatif.
76. Commutation à densité variable de courant sous balais. — Nous arrivons maintenant au cas ^éfntVa/ pour lequel ^ïe^ ne répond pas aux conditions d'une densité de courant D^ constante. — Soit alors e la force électromotrice induite dans la section ; décomposons-la en une force électromotrice (^k) satisfaisant aux conditions établies précédemment et en une autre force électromotrice additionnelle (e.) telle que l'on ait ' . '■ :
On peut alors les laisser agir chacune indépendamment de
1. Cette décomposition de la force électromolrice induite par le champ a été exposée sous la signature W.-A.-P. dans VËlectrical Review de 1900, pages 43 et suivantes.
E. ARNOLD. — La machine dynamo à. courant continu. 21
l'autre et superposer les courants ainsi engendrés. — Tandis que, suivant l'expression 64, €^ détermine le courant
e, produit une différence de potentiel entre lames de collecteur qui donne naissance à un courant t, tel que le courant total de court circuit est
Dans ce cas, bien que la densité moyenne /)„ de courant sous balais ne dépasse pas la limite admissible, il peut se produire des étincelles au collecteur, et nous verrons qu'elles peuvent provenir soit d'un trop grand écliauflement des balais et du collecteur, soit d'une trop grande différence de potentiel aux points de rupture du court circuit. Dans ces deux cas la force électromotrice e^ créée entre les segments de collecteur est la cause fondamentale de l'apparition des étincelles.
Nous commencerons par le calcul de la puissance P^^ dissipée en échauffement.
Le courant total est
où S est la section de contact correspondant à la différence de potentiel V. La puissance dissipée par suite de cette résistance de contact est, par balai,
Mais on a
et
(i;,*s,+ v^^s^.-v ik^s.,+ ....) (Si + s,+s, .. .) = (i''iSi + UA+UA+- ■ •)*
+ S.S,{17,- 17,)» + S^S, [V, - l\]- + &MVi - 17,)«+ . . . .
ou
