L. = (I + M)~2 Upi
La somme des forces électromotrices induites
(Ml + Af'i) ^ + (Afii +lf'ii) -^
est rarement élevée par rapport à e^ et peut se retrancher de cette dernière si on ne veut pas la négliger.
78. Action électrique réciproque des sections mises en court circuit. — Il est difficile de traiter mathématiquement cette action réciproque ; aussi nous contenterons-nous d'indiquer ici la marche à suivre. Considérons la section en court circuit située entre les points a et 6 (fig. 231). Les liaisons de ces points que la section met en court circuit se composent de plusieurs conducteurs en parallèle, savoir la voie directe offerte par les balais et les nombreux chemins que présentent les autres sections mises en court circuit et les balais. On calculera d'abord la résistance effective 7?,^ et le coefficient de self-induction apparent L^^ du
COMMUTATION POUR EPAISSEUR DE BALAIS 6r ^ Pr 329
circuit complet entre a et ô (fig. 232); ces quantités varient avec le déplacement relatif de la section et des balais. On doit d'ailleurs
connaître la résistance /?, de la section, son coefficient de self-induction apparent et la force électromotrice e^ qui y est induite. S'il en est ainsi, on peut tirer f, de Féquation différentielle
e. - (I, + Zeff) 4r " ^^^ + '^•^'* ^ ^•
Le courant additionnel se distribue ensuite dans toutes les bifurcations en parallèle entre a et 6.
Dans la figure 231 la répartition de la densité du courant i^ sur la surface de contact entre balai et collecteur est représentée par la partie hachurée. On obtient pour chaque section une image analogue et, en superposant ensuite tous ces diagrammes, on arrive finalement à la représentation réelle de la répartition de la densité du courant sous les balais pour la valeur e,.
Fig. 231.
Répartition des courants additionnels d'une section.
Fig. 232.
79. Commutation pour une épaisseur de balais b,^ %. — Le problème général ci-dessus ne se prêtant pas à une forme finale de soluUon, nous traiterons la question d'une façon simplifiée et tout d'abord dans le cas où l'épaisseur des balais est égale ou inférieure à celle des lames.
Suivant la figure 233, les résistances de contact pour le courant i^ sont
Fig. 233.
itk
et
où, comme précédemment,
Su — -=- Sa
et
O u — -- wn "^U •
On a d'ailleurs pour la résistance du circuit de commutation
ot comme équation différentielle de 2,
,.I.J^i.|-B+fl,T^-L + ^)]=0. (74)
On peut admettre que e^ est donné comme une fonction de / du premier ou du second degré.
Or, si Ton pose
— = a:, on a dtzn Tda:, et on obtient
Posons maintenant
HT , fluT ,
nous arrivons alors à Téquation différentielle linéaire qui a pour solution (e étant la base des log. nép.), Dans notre cas
En faisant passer ce facteur dans Tautre membre de l'équation précédente, on obtient
COMMUTATION POUR EPAISSEUR DE BALAIS 6r ^ ^r 331
Les conditions limites
aj=0 t = o û = Q
permettent de déterminer la constante C, et Ton a alors
La valeur comprise sous le signe l s*évanouîssant pour .r = 0,
on doit avoir
et, comme résultat final, on a
Ainsi que Fa démontré W. A. P. dansVEleclrical Review (1900, p. 211), cette intégrale se prête aisément à une détermination graphique. De cette façon on trouve, pour toutes les valeurs de x comprises entre 0 et 1, Fintcnsité i^ correspondante. Aux limites x = 0 eta:=l, i. est constamment nul, comme on le verra plus tard. En divisante, une première fois par S'^=xS^ et une seconde fois parSa = (i — x)S^^ on obtient les densités de courant additionnel dues à /. pour les lames entrant en court circuit ou en sortant. On a
