L. L, Sa ar.Stt oj.iik.T

et, en combinant avec (7G),

e.e... (t-^VcLt. (78)

La densité totale de courant sur la lame entrant en court circuit, ou en sortant, pour b^^ ^p, c'est-à-dire dans le cas où le balai aura une épaisseur inférieure, ou tout au plus égale, à la lame du collecteur sera

D'à = Du + /)'au et D"u = Du — D"Au.

33â CHAPITRE SEIZIÈME

Nous sommes maintenant en mesure de tracer une image complète de D'à et /)"„ en fonction de l^ durée du court circuit.

Comme on le verra par l'analyse des formules qui précèdent, les points les plus exposés, en ce qui concerne les étincelles, sont situés sous les deux becs des balais, notamment aux instants où ces derniers arrivent sur une lame ou la quittent. On remarquera en outre qu'un champ trop intense (é».>0, donc aussi V,>0) accélère la commutation et peut conduire à une surcommutation, c'està-dire que Dl change de signe et devient négatif. Un champ trop faible détermine, au contraire, une commutation trop lente, en raison de laquelle l'intensité est, au dernier moment, commuée, par augmentation de la résistance de contact, sur la lame sortant du court circuit, d'où éventualité d'un fort échauffement et, peut- Titre, d'étincelles.

Pour les valeurs limites, .r=-:^0 et i:= 1, i^ et D^u sont, d'après les formules 76, 77 et 78, indéterminés ou nuls; aussi pourra-t-oh les déterminer séparément, soit par la méthode graphique, soit par une méthode de limites.

Considérons d'abord Yinstant / = 0, et par suite a: = 0. Dans l'expression (76) ci-dessus qui donne /, posons x=x^^ x^ représentant une valeur très faible.

Dans ce cas e^ prend la valeur constante e,o. Nous supposerons en outre que 1 — a: = l — x^ et e"""*** = e-^*'''» prennent la valeur 1 quand x^ tombe à 0.

On obtient alors

Comme, pour a:=Xo = 0, on a i^ = 0, la constante d'intégration doit être nulle, c'est-à-dire que

C=iO,

et l'on a

ou

^''°""°> - ~ix" - ~^r L.{A+i)

ni ^*o

D Aa(l=o) — 7 j-7" ' (79)

Ih

COMMUTATION POUR ÉPAISSEUR DE BALAIS 6, ^ {ir 333

tandis que, pour le bec de balai sortant de la commutation.

Pour /=r, on aurax = l. Posons pour cet instant x = Xi^ Xj figurant un nombre très voisin de 1; (l — Xj) sera alors un nombre très petit et, quand j^t atteindra 1, e^ prendra la valeur constante e^j. L'équation (75) donne alors

iz(t=Tj === e~^*

'-"=[zffrô"-'''+'^'"""-"''].,.,

On. peut déterminer la constante d'intégration Cau moyen d'un développement en série par les fonctions hypergéométriques ou hyperboliques * : on a

C = - T"". (E Ki + HTK^)

L, sin At: ^ '

OU, si H est une constante et E la valeur de la force électromotrice de commutation au temps ^ = 0,

.. V" ^i" MA + i) (A +11)

Al» AiA+\) U + n+i)

On y voit que C est^ en général^ dijférent de zéro.

Pour C ^ 0 on aura

si Ton a

La condition .1 = -^ > 0 est alors toujours remplie. Le courant i, est aussi constamment nul au temps t = T.

\. E. T. Z. 1899, pages 97 et suivantes : E. Arnold et G. Mie^ Théorie de la coinniutaUon. C y est une constante semblable à celle ici désignée par A'.

Pour le bec de balai entrant dans la commutation la densité de courant sera

tandis que, pour celui quittajit la commutation, on aura d'où il résulte que

""-"- = ïï^.= i !i^+«^-"('— )^-' j p--'=»'

D"ûo(i=r) = /'^ . pour A > i (80)

/>"Au(t=r)= 00 pour A :^ 1.

La densité de courant sous le bec du balai quittant la commutation deviendrait donc, dans ce dernier cas, infiniment grande. En réalité cependant il n'en est jamais ainsi, car des étincelles apparaissent des que cette densité dépasse une certaine valeur. Des expériences de TAuteur ont eu outre montré que la résistance fl, de la surface de contact, calculée d'après la chute de tension, croît très rapidement lors de la production d'étincelles et atteint déjà, même quand il y en a peu, 10 à 20 fois sa valeur originelle.

La condition

Lit

sera, par suite, remplie en toutes circonstances.