Le problème de Cavichy. — lùanl donnée l'équation

(i) F{x, jK, ;, /', y, r, s, t) = o,

dont nous désif>neron.s les dérivées parlielles par rapport à / ", 5, / par R, S, T, le problème de Gauchj consiste t\ déterminer une surface intégrale S, sachant qu'elle passe par une courbe donnée T, le long de laquelle le plan langent est connu en chaque point. Nous dirons qu'un système de formules représente l'intégrale générale de l'équation (i), s'il permet de résoudre le problème de Cauclij.

Tous les éléments de la nialtiplieilé j^ )., c, />, q donnée sont des fonctions d'un paramètre varial)le ). assujetlies à la seule condition

dz = }> dx -t- g dy.

Les deux relations

dp — r dx H- s dy, dq = s dx -h / dy,

jointes à l'équation (i), détermineront /', s, t. en fonction de A si

l'expression

A = H dy^ — S dx dy h- T dx^

n'est pas nulle, ce (|ue nous supposerons d'abord.

MÉMORIAL DES SC. MATH. — N° 1-'. i

Nous poserons

Pik

Poa —

l'our calculer les quatre nombres y>,A; où i + Â'=3, on aura les relations

\dp.2o := y>3n d,T + pn dy, dpi i= p^ dx + ;>,, dy, \ dp n-2= j^i-> dx -+- posdy,

dF dx

Si l'on convient de désigner par ( -, ) ce qui reste de la dérisée

partielle par rapport h y d'une fonction ^ d'oidre ;/, quand on en a supprimé les termes d'ordre /? + i , la dernière éf[uation s'écrit

^F /dF\

Si nous remarquons que -r- = o est une conséquence de F = o

dF !.. 1 , . • .

et —j- = o, on aura, pour déterminer toutes les dérivées /)//,, ou

/ + /•■ ^ 3, le système

dpik = Pi+\ ,/. dx 4- yj/,/,+1 dy {i + k±%).

C'est un système de sept équations à sept inconnues, c|ui seront déterminées si les équations (2) et (3), linéaires par rapport aux dérivées de troisième ordre, ont un déterminant non nul. Celui-ci est

dx dy o o

o dx dy o

o o dx dy

A dx,

et comme on peut toujours supposer dx y^ o, il n'est pas nul. D'une façon générale, supposons que le système

dF ^'~2 F

S ,' ' dy ' " dy'^-

f^Pi,h — Pi+} ,k dsr -f- /'/.A -H dy, i -\- k i n — i

d(''lcrmine en fonction de ). toutes les dérivées jusqu'à l'ordre n

LA MÉTHODli Dli: DARBOUX ET LES ÉQUATIONS 5 = f{x. y. Z. p, CJ . 3

inclusivement, si A n'est pas nul. Pour déterniiner les dérivées

dn—\ Y

<roiTlre /i -4- I , il lauJra lui adjoindre les relations . , , , = o,

J dx^ dy'^

où i -}- k = n — I, qui se réduisent en tenant compte de la première

lione de o a -; 7 ^ o, et les relations

ïi dy"-^ '

'^/'/.A = Pi+Ul<: dx -h piM-^x dy, oii i -f- k ^ n.

On aura ainsi, pour calculer les /i -h 2 dérivées d'ordre ^i + i , /i + 2 équations linéaires dont le déterminant

dx dy 00... o o o o d.r dy o . . . <> <> o

dx dv o o dx dy il S T

= A dx''-"-

esl encore différent de zéro. Si donc nous donnons à A une valeur A„ telle que A (a,,) i^e soit pas nul, le développement en série de c suivant les puissances de .r — ./(A,,): J'— J'^'^o) est formellement déterminé et les méthodes du calcul des limites permettent de démontrer sa converoence sous des conditions d'analvticlté des données que nous supposerons toujours véridées. Il existe donc, sous ces hj'pothéses, une surface intégrale et une seule qui passe par une courbe donnée V et soit tangente, le long de T, à une développable donnée.

2. Courbes caractéristiques. — La conclusion précédente est en défaut si A est nul. On appelle équation caractéristique l'équation

A ss R tn"- — S /H -t- T = o ;

M. Goursat a complètement étudié (') le cas où ses racines sont confondues. Nous les supposerons distinctes et les désignerons |)ar A?i, et m^. Quand A est nul. on peut avoir

soit dy = /?», dx. soit dy — nij^ dx.

(') Goursat. Leçons sur rintégration des é'/i(alio/is aux dérivées partielles du second ordre, t. II, p. ifi'i et sq.

Sur une surface intégrale donnée S, où z., p, q, /■, 5, l sont des fonctions connues de x et y, ce sont là les équations différentielles de deux systèmes de courbes C( et Co qu'on appelle courbes caractéristiques. Par chaque point de la surface, il en passe, en général, une et une seule de chaque système.

3. Caractéristiques du premier ordre. — Supposons l'équation (i) résolue par rapport à ]'. L'équation caractéristique de

'' -^fi^, y, ^, p, q, '\ 5, 0 = o

et l'on a

àf àf ds àt

àf àf

as àt

Considérons une multiplicité M, de S, admettant une courbe G| comme support. Entre ses éléments, on aura, quelle que soit S, les relations

(5) dj = nii dx,

S' \ (6) dz = p dx -\- q dy,

(7) dp ^^ ifx(r -T- niis),

( 8 ) dg = { s -h /Uit) dx.

L'équation (5) exprimant que A est nul, on ne peut pas tirer /•, s, t de (4), (7) et (8). Mais il se présente ici une circonstance exceptionnelle : On peut, en général, calculer /■, s, t au moyen de (5), (7) et (8). Supposons d'abord qu'il n'en soit pas ainsi. Il faut(') que (5) et (8) ne déterminent pas s et /, c'est-à-dire que

dt ' ds

L'équation donnée s'obtient alors en éliminant /??< entre deux relations de la forme

/■ + mi5 -H 4'(''*^) J', ^1 /') 7) '"j ) = "j * + "'1 ^ + ïi-^i y-, -1 /'i (]i '"0 = o

(') G AU, Annales dr- rUni^'crsilé de (iicnohic. I. \\\, 1918, p. 5f)f)-3()5.

LA MKTIIODE DE DARBOUX ET LES ÉQUATIONS S =f{x, y, Z, p, q). 5

et le sjslènic S' moiilre alors que la dérivée t^ par exemple, est indéterminée pour les mulliplicités M, qui vérifient les trois équations

dz = p dx ~- <i dy^ -^ + 'l [x, y, 2, />, ^/, ^ j = o,

Ces nuiltiplicilés s'appellent des caraclcristiques du premier ovdie . 11 n'en existe pas en <;énéral ; et s'il en existe pour les deux systèmes de earactéristiques, un calcul facile montre que l'équation proposée a la forme de Monge-Auipère.

4. Caractéristiques du second ordre. — Supposons maintenant que les équations (5), (7), (8) déterminent r, 5, /. Si l'on veut déterminer les dérivées du troisième ordre, le calcul du n" 1 montre que les équations (2) et (3) qui les déterminent ne sont compatibles, quand <h- = /»i dx^ que si

f d¥\ „ dx ^ dt

condition qui s'écrit, si F ^ /■ +■ J •,

( 10 j ( -j- \ dx + ds -H m-, dt — o.

11 est alors toujours possible de choisir les huit nombres j;', j', r, /?, Y, /', 5, ^, de manière qu'ils vérifient les six équations (4), (5), (6), (7), ( 8 ), (10 ) : en prenant x comme variable, les autres dépendent encore d'une fonction arbitraire. Toute multiplicité M. qui vérifie ces six équations s'appelle une caractéristique du second ordre^ elle a pour support une courl)e caractéristique, sur une surface intégrale.

Reprenons alors les calculs du n" 1. En tenant compte de la relation A = o, h's trois équations

ftp\,u - =^ l>i,n-i dx -f- p\,n-\ (ly. dp^^n-\ = P\,n-\ dx -(- /)o,« dy ne sont compatibles que si l'on a

6 R. Goysi':.

jNous pouvons assujettir la dérivée />o,3, qui est restée aibitraire, à vérifier l'équation différentielle (i i ) où n = /\ ; le système que vérifient les dérivées du quatrième ordre est alors indétermiué; on peut choisir p,,/, de manière qu'il vérifie l'écpiation (i i) où n = 5, et ainsi de suite : dans chaque ordre /<, à partir du second, il y a une dérivée j»o/i qui n'est déterminée que par une équation différentielle du premier ordre; elle dépend donc dune constante arbitraire et nous pouvons déterminer formellement un développement en série de c, où figurera, comme nous venons de le préciser, une infinité de constantes arbitraires. On démontre (pie cette série est convergente sous des conditions que nous supposerons vérifiées. Par suite, par une caractéristique du second ordre^ il passe une famille de surfaces intégrales dépendant d'' une infinité de constantes arbitraires.

Ce calcul permet de compléter la ihéorie des caractéristiques du premier ordre. En effet, choisissons /, que nous avons laissé arbitraire, de manière que

, , fdf\ ds ôf dt

\<ly I </•'■ àt dy '

t dépend encore d'une constante arbitraire et lous les nombres x^y^ z, p^ q^i r^ s^ t qui vérifient (4), (o), (6), (y), (8), (12) sont, quelle que soit cette constante, les éléments d'une caractéristique du second ordre. Il en résulte d'abord que toute caractéristique du premier ordre fait partie d^ une infinité de caractéristiques du second ordre, dépendant dUine constante arbitraire et ensuite que, par une caractéristique du premier ord/e, il passe une infinité de surfaces intégrales, dépendant d'' uni- infinité de constantes arbitraires.

5. Propriétés des caractéristiques du premier et du deuxième ordre. — Soit ^05.) 05 ^o) Po-, 7o un élément d'une caractéristique du premier ordre M|. L'équation différentelle (12), quand on y a remplacé /• et s par leur valeur tirée du système S' (n" 3), devient une équation du premier ordre en t qui admet une solution unique se réduisant à Iq quand x = Xa. Si donc, deux surfaces intégrales ayant en commun tous les éléments de JMi ont un contact du second ordre au point iCy, j'o, wy, la valeur de l qui est, pour les deux surfaces, égale à to quand x = Xq, reste la même pour ces deux surfaces tout le long

LA MÉTHODE DE DARBOUX ET LES ÉQUATIONS S = f{x, y ,Z. p, q). 7

de la caracLérislique; il en est de inèine des valeurs de /■ et de ^ et, par suite, si deux surfaces intégrales ont en commun tous les éléments cVune caractéristique du premier ordre et un contact du second ordre en un de ces éléments^ elles ont un contact du second ordre tout le long de la caractéristique.

On peut démontrer un théorème analogue pour les caractéristiques du second ordre. Plus généralement, si deux surfaces ont un contact d'ordre n en un des éléments cVune caractéristique commune du second ordre., elles ont un contact d'ordre n tout le long de cette caractéristique. En efïet, toutes les dérivées d'ordre /? s-'expriment en fonction linéaire de p^^n et celle-ci est déterminée par l'équation

C'est encore, tous les calculs faits, une équation dilTérentielle du premier ordre en />o«, sur laquelle on raisonne comme sur l'équation (i 2).

G. Caractéristiques d'ordre /). — Considérons le système S du n" 1 où l'on fait F = /• +/• L'équation

permet, par des dillerenliations successives, de calculer tous les nombres/?2,A en fonction des nombres/?, y où i -\- j < 2 -4- A, i = o ou i . Si p., h est ainsi exprimé, />3 /, ne renfermera que des nombres p/y où / vaut zéro ou i; les nombres />.,/, étant remplacés par leur valeur, p^h lie contiendra plus que des nombres /?,■ / où /vaut o ou i . De proche en proche, on voit ainsi que tous les nombres />,a, où / + A=/i — I, seront déterminés dès que l'on connaîtra /)o,«-i et/?, „.2. Le système S se réduit alors aux seules équations

(l^ = Pi.o <l'' -^ y '0,1 (ly, dp^Q— yj., „ d.r -f- />),i dy. . . . , ftpi^n--.— J>i,n--i d.r -t- Jh.n-i dj ,

df^o.i = P\,\ (Ix -+- /?o,2 dy, .... rf/>o,«-i = 7'i ,"-1 dx -t- p^^n dy,

dans lesquelles on a

/rt"7'\ df ôf .. .

J'-'-^ [dp) ^' t^'^'-^'-^tt /'"•'+==" (. = o, I, . . ., ,. - 2),

O R. GOSSF,

En particulier, les dérivées d'ordre n sont données par les trois relations

dpx^n-ï dy dp^,n-^ dy

(d'-\f\ ,)/ ùf

d'où l'on tire

llz\-'V ^ly , àf

\ dx ) as dx dt \

^ dp\^n-i ^ (//>,),» -1 fdf dy\ ^ / d"-^- f dx dx \ds dx) \ dy"-^

Si -7- = /;?!, par exemple, />on n'est pas déterminé et il est arbitraire si

(.3) %iZÎ^,„.,%Li] + /^LV:)=o.

dx ' dx \ dy"-- '

11 'est alors naturel d'appeler caraclérisliqiie cV ordre n — 1 toute multiplicité iM,/-i d'éléments d'ordre "^n — i, ejui vérifie le système

dz = 7>, ,0 dx -\- Po,\dy, -^ = ni^.

dx S <^

dpi,o= p>,o dx -^ pi^i dy, dpi^„^:i= po^^s dx -^ p,^,, idy,

\ dp^^^ = yjj,! dx + 7?o,2 dy , . . . , dp^^n-, = 7>i,„-i dx + y^,,„l dy

et l'équation (i3). Pour avoir une caractéristique d'ordre /?, il suffira, d'après celte définition, d'ajouter aux équations j^récédentcs, les trois relations

i dp\,,i-i = Pi.n-i dx -t- pi,n-l dy, f//Vo,„-i = J>un-i dx + /^o,« dy,

{ dx ' dx \ dy"-

Mais les deux premières entraînent la relation (i3); il suflit donc de remplacer dans le système S, et l'équation (i3), //par // -h i .

7. Propriétés des caractéristiques d'ordre n. — Ces multiplicités sont définies par 211 -\- \ équations contenant 2/i + 3 variables; il en existe une infinité, dépendant d'une fonction arbitraire et l'on voit comme au n" i qu'il j a une famille de surfaces intégrales, dépendant «l'une infinilé de constantes arbitraires, qui passent par l'une d'elles.

LA MÉTHODE DE DARBOIX ET LES ÉQUATIONS S = f\ X. y. Z, p. q). 9

De plus, si l'on connaît une caractéristique d'ordre n — i, on aura toutes les caractéristiques d'ordre n à laquelle elle appartient en résolvant en y;i,j, et/>o«les deux dernières équations (i4) par exemple. On est ainsi amené à une équation différentielle du premier ordre,

où le coefficient de '^ "'/' est /;?> — 7??i, pour déterminer pi^n- Par suite,

toute caract(''risli(juc d'ordre n — i appartient à une famille de caractéristiques cVordre n dépendant (C une constante arbitraire. Plus généralement, le même raisonnement répété /■ fois montre que toute caractéristique d'ordre n appartient à une famille de caracté/'isliques d^ ordre n + /■, dépendant de r constantes arbitraires.

Enfin, la même démonstration que celle du n° o nous permet de conclure que si deu.x surfaces intégrales ont un contact cV ordre n^p en un élément cVune caractéristique commune d^ ordre n elles ont un contact d'ordre n +/> tout le long de cette caractéristique.

8. Conclusion de l'étude des caractéristiques. — Les analogies entre les équations du premier ordre et celles du second nous apparaissent dés lors si nombreuses qu'il semble naturel de tenter d'appliquer au problème de l'intégration des équations du second ordre la méthode qui a réussi <à Gauchj dans le cas du premier. Nous avons trouvé que chaque surface intégrale est un lieu de multiplicités caractéristiques, dont les éléments vérifient un système différentiel qu'on |)eut former sans connaître l'équation de la surface. Puisque l'équation proposée fait partie de ce système, il est clair cjue toute surface lieu de pareilles multiplicités est une surface intégrale; il semble donc qu'il n'y a qu'à déterminer ces multiplicités et à les assembler de manière qu'elles engendrent des surfaces.

Mais nous avons remarqué que le système différentiel qu'il faut résoudre contient, quel que soit n, deux variables de plus qu'il n'y a d'équations. Pour l'intégrer, il faudra introduire une fonction arbitraire qui rendra impossible, sauf dans des cas particuliers, la recherche effective de l'intégrale générale.

Il est d'ailleurs facile de se rendre compte jusqu'où on peut allés" dans cette voie. Aux équations des caractéristiques du second ordre, adjoignons une autre équation quelconque du second ordre, qu'on

lO Tl. GOSSE.

peut toujours écrire

La solution qui, pour x = o, prend les valeurs jo, ^o? Poi Ço-> ''oi s„, /„ sera représentée par les formules

<\i étant une fonction de ^,70, ^o? /^o? ^05 ''05 •^o? ^o- Ei^ prenant vq, /^05 '/o» ^'0? ■^0? ^0 fonctions de j,,, un calcul identicjue à celui fait par Cauchy pour le premier ordre, montre que les multiplicités à deux paramètres ainsi obtenues sont situées sur des surfaces intégrales sous les conditions nécessaires et suffisantes

les accents désignent les dérivées par rapport à Vq. On en conclut que /'o, Sq, to, Ço sont des fonctions connues de ^0 ^^Poi ceux-ci étant déterminés par un système de la forme

j>l = *i(ro, ^0, -■'a,pç, y'o ), -0 = *-^(ro, -0, s'o, po, p'o)-

En général, le système considéré n'admettra donc comme solution que des surfaces qui dépendent au plus de quatre paramètres arbitraires : les formules obtenues ne peuvent représenter l'intégrale générale.

11 semble donc qu'il faille renoncer à utiliser la théorie des caractéristiques. Mais il est bien évident que le problème que nous venons d'étudier peut s'énoncer ainsi : quelles sont les solutions coniî7iunes aux deux équations

/•-t-/ = o, '\iix, Y, z, p, q, r, s, t) = o.

En général, on n'obtiendra, d'après ce que nous venons de voir, que des intégrales communes dépendant d'un nombre (ini de paramètres arbitraires. Mais une question se pose ainsi ]d'elle-même : n^ est-il pas possible cVadjoindi'e à C équation proposée une équation qui admette en commun avec elle des intégiales dépendant d'une infinité de constantes arbitraires? Le Chapitre suivant nous appren-

LA MÉTHODE DE UAUBOIX ET LES ÉQLATIO.NS 5 =^ f [ X , }\ Z. />. q). II

dra à en décider et à préciser la raçuii dont les solutions coninumes dépendent des arbitraires.

CHAIMTKK Jl.

LWOH TIONS. INVARIANTS.

9. Involutions. — l^roposous-nous de chercher s il existe une équation E, d'ordre /?, qui admette avec /■-)-/':=o une famille d'intégrales communes dépendant d'une infinité de constantes arbitraires. En remplaçant, dans E, les nombres />,/, par leur valeur en fonction i\i' ceux où i vaut o ou i , on [)eut l'écrire

E ~ OiX, y, z, p,^ /'1,//-1; J'O.l- ■ ■ • P»,>1 )

Cherchons le développement en série d'une intégrale commune. Si pour .r = Xo, V=^Xo< un se (h)nne des valeurs de z-^piQ, . . .,pin-u />o,i, . . . , poa-\ satisfaisant aux deux équations, on pourra d'abord (^n" 0) calculer tous les nondjres yj//, ^>û i -\~ k^ii. Pour calculer les dérivées d'ordre /? -(- i , on a les trois relations

/ do i do , >lo ()o

ax \dx I 'l]>\,n\ OP«,ii

c?cp / do \ i)o à':

dy \dy J C/^i.,,-i àj>o,,i

d'-U /--h /■) ôf i)f /d»-^ f

On dit que V équation Y. esL en in^olution cwec lapioposée si ces trois équations se réduisent à deux. Un calcul déjà fait (n" 6) montre que, pour qu'il en soit ainsi, il faut et il sufiit que l'on ait

à-:i \- >^f àf ào df / ào

\àpo,n/ <>S àpi^n-l '^Pon àt \/^/'l,«-1

àpo,n \dx J dp^^n-\ \dr j àpx^uY àpo^f, V.â'j"-!

Ea première relation montre qu'il y aura deux séries possibles d'équations en involution. sui\ant le rapport — — : - — - — sera éeral à //i, ou m.;,. Nous dirons que le systè/ne i de caraciérisliques admet une involution d'ordre /?, s'il existe une fonction <p(x, y, z-, J'^,oi • • •>

p\n^\: />o.i, • • ■ 1 Pon) vérifianl le système A :

,)'fi

'\drj ')pun-^ \dr'-' On définit de même les involutions du système II

10. Invariants. ^ Nous introduirons immèdiatememl une distinction très importante. Si le système A n'est vérifié qu'en tenant compte de l'équation 'f = o, on dit qu'il existe une involution d'ordre /?. S'il existe une fonction o vériliant ideuliqueinent le système A, il est évident, d'après la tonne de ce système, qu'il est vérifié par toutes les fonctions 9 — c, c étant une constante quelconque. Toutes les équations o ^= c sont en involulion avec la proposée, quel que soit c. On dit alors que le système 1 admet un invariant d^ordre n. Cette dénomination est justifiée par l'importante propriété suivante : lorsqu'on se déplace sut' une ca/rtcléristique d'ordre n d'un système qui almei an invariant o de même ordre^ la valeur de o resta constante au cours du déplacement.

Désignons en elïet par 0 tout déplacement sur la caractéristique. On a :

dx dy

'Jp\,o

oy'1,0-

àz

àp\,n-

Opi),

opo,\

àp(),n

^Po,n,

ce qui s'écrit, en tenant compte des équations des caractéristiques d'ordre n (n" 6),

\dy)

'^Pi,n-