est donc nul, en tenant compte des é(pialions (A

Ce résultat peut encore s'énoncer ainsi : la condition nécessaire est suffisante pour qu'il existe un invariant d'ordre n est qu'il existe une combinaison intégrable pour le système dijjérentiel

LA MÉTHODE DE DARBOUX ET LES ÉQUATIONS S =f{x, y, Z, p, q). l3

qui définit les caractéristiques du même ordre^ et il est clair que les équations de toutes les caractéristiques d'ordre supérieur admettront la même combinaison intégrable.

Pour savoir ce que devient cette |iroprlété dans le cas dune involution, supposons l'équation o ^o résolue par rapport à /J,„,. La première équation (xVi montre immédiatement qu'on peut écrire

à condition que ?i soit supérieur à 2, ce que nous supposerons désormais. En utilisant les résultats et adoptant les notations de M. Gau ( ' ) on a

!„, ne dépendant pas des dérivées d'ordre n et M„, et N„, ayant pour valeur

dj- Os dp dy i)t ôq

En écrivant que la seconde relation (A) a lieu identiquement quand on y remplace p\n-\ par — m.yp,,,!^ "• on obtient les conditions

du au

{m, — /tii ) ( -7 ni 2

d/Ht dm y .

( du\ /^«\ ^« t d''^-f

\dx) \dy j dpi,ri-2 \ dy^

l ,, ,», dm, dm-, ]

^ nii AI„i — N„i -f- -^ -I- /»i -~ i

M. Gau (loc. cit.) a donné une forme condensée remarquable à ces conditions : en désignant par o un déplacement sur la caractéristique

d'ordre n et posant

dm, dm. ôf df

dm^ dm^ dx dy ()]> tlq

dy dy m ■> — /n i

(') Gau, Th'-se de Djctorat, C.iulliirr-Villars, 1911, p. 7 et 8.

l4 R- GOSSE.

on ol>Lienl

3> g^=cp(A/. + I3)

oci

- / dm I ()//? 1

t)X ' /»i — ///'i \ ut os

Supposons alors qu'au début du déplacement, on ait o ^ o; au cours du déplacement sur la caractéristique, o n'est fonction que d'une variable .r, par exemj)le, et satisfait aux équations différentielles (3) ou (4). D'après la forme de ces équations, puisque 9 = 0 pour la valeur initiale de ./■, on aura cp = o durant toul le déplacement.

11. Solutions comniunes à deux équations en involution. — Si nous reprenons maintenant le calcul du n° 9 en posant

il est clair que les trois équations (i) de ce paragraplie sont liées par

la relation

do do f/»-i(/'-^ f)

dx dy dy"^

si cp = o est en involution avec la proposée; p^n^yx reste arbitraire,

De même, les dérivées d'ordre /? + 2 sont déterminées par les

trois relations

f/2cû d'^o d"{r-^f)

dx dy ■ dy- ' dy"^

et l'on a identiquement

d' 9 d' 'j dm 1 do d" (r -+- f )

dx dy dy^ dy dy dy'^

Si l'on remplace dans celte identité les dérivées d'ordre /i + 1 parleur

valeur, -7-^ s'annule et l'on a dy

dx dy dy'^ dy"

Une dérivée d'ordre /* f- 2, />„ ,,4 2 pai' exemple, reste arbitraire. On démontre sans peine cpie les trois équations

d''o d''o d"+^<-Ur-h /■)

dxdy''-^ ' dy'^ ' dy"-

LA MÉTHODE DE DAKBOUX ET LES ÉQUATIONS S. = f(x. K, ^. p. q). l5

qui déterminent les dérivées d'ordre /i + A" + i , sont liées par la relation

dx dy''-^ dy'' dy'^^''-'^

et pi^n\-k+i est encore arbitraire. Ainsi, dans ciiaque ordre à partir du //"'■'"'', une des dérivées partielles reste arbitraire, les dérivées jusqu'à l'ordre n inclus étant choisies à l'avance de manière à satisfaire aux deux équations /• [-/= o, 0 = 0. Les méthodes du calcul des limites montrent qu'on peut, sous des conditions d'analjticité que nous supposerons reuiplies, limiter le choix de ces arbitraires de façon que le développement en série de ; que nous venons d'obtenir reste convergent dans un certain domaine. Les deux équations en involution admettent donc une famille de solutions commu/ïes^ dépendant comme nous venons de lexpliquer d'une infinité de constantes arbitraires. Mais, si générale que paraisse la solution ainsi obtenue, elle ne constitue pas encore la solution générale, comme le montre le théorème qui suit.

12. Tiiéoiu:me. — Par une courbe quelconque F, il passe^ en général., une infinité de surfaces intégrales communes à deux équations en involution., leur équation ne dépendant que d^un nombre fini de constantes arbitraires.

Sur toute surface intégrale de la proposée, passant par la courbe on a

En [)renant q comme inconnue, ces équations permettent de proche en proche de calculer les dérivées d'ordre n en fonction de x.,q^ ..., ^^ • Ln portant ces expressions dans cp = o, on obtiendra l'équation différentielle

d'^-^q l dq dq"-^\

' (tx"-^ \ ' ^^ dx dx^-^J

iG R. GOSSE,

qui déterminera q à un nombre fini de constantes près. La série

dont on vient ainsi de déterminer tous les coefficients, est en général convergente et représente évidemment une intégrale commune S qui passe par F.

13. Nous allons montrer qu'on peut obtenir S par l'intégration d'un système différentiel. En effet, toute intégrale commune est un lieu de caractéristiques d'ordr»^ n de /•-!-/= o, dont les équations sont, pour le système II,

dy = nii dx, dz = y>|,o dx -+- />o,i <^h'j

dpi^Q = />i,o f^^ -+- y'1,1 df, . . . , dpi^n-i = Pi,n-idx -\- pi,n^i dy , dpo,i = />i,i <^^ -t- /^),2 dy, . .., <i/>o,«-i = Pi,r,-i dx -+- yjo,^ dy,

(6) ( , ,„, j dx -^ dp^^n-i-+- "il dpon= o.

Les dérivées d'ordre /i, sur une intégrale commune, doivent vérifier identiquement la relation cp = o. On a donc

/ d^\ ào ào

^' \dx j àpn,,i àpi^n-i

/ do \ ào do

(8) ■ ( ZT ) -^ T-^P'^^n^^'^' 1 — — Pi,n=o; ^ ' \dy I àp^^n àpi^n-i

quand on se déplace sur la caractéristique on a, d'autre part,

dpû n

(9) -^-j^ = P\,n+ iniPo,n+\,

/ \ dpi n-l

Les conditions (A) (n° 9) montrent alors qu'on peut remplacer les équations (6), (7) et (8) par les deux suivantes :

d^ \ ào dp^^n-\ ^ ^ ( ^ll\ ^ (^y dp,,j, ^ ^

dr / àpi^n-i dx ' \dy ) 'V''i,«-i dx

Entre les 211 4- 3 variables x, y, z, piç,, . . . , l>\,n-\ , lh^^^ ■ ■ ■ Pi).n

LA MÉTHODE DE DARBOLX ET LES ÉQUATIONS S = f{x. y, Z, p, q). I7

on a donc les 2/^ + 2 relations

Idy = m-, c/.r, dz = /?j o dx -H />o,i dy, dp\,a= /'■2,o dx -!- /?,,, rfj', . . . , dp\ji-. — Pî,n-2 dx -+- pi,n~i dy,

('0 ■, dpo,i = pi,idx -^ Po,2dy, ..., dpo,n-\ = Pi,?i-i dv — po^^dj.

( '^\ '^? dpi n-i / ^ \ ^ t^? <^//>n./.

\<i^^/ à/>^„-i dx ' \<0v ' (^y^i,„+i dx

OÙ Ion suppose lous les nombres pijt remplacés par leur expression en fonction de ceux où / vaul o ou i. Ce système différentiel définit les caractéristiques commanes aux deux équations données en involution et toutes les surfaces intégrales communes sont des lieux de ces caractéristiques. Pour déterminer celle qui passe par F, choisissons une solution ^ de E ( n° 12); y^ z, pi^ {i -{- k"^/), i z= o ou i) sont détei'minés en fonction de J- par les équations (5) et prennent, pour .r = .ro, un ensemljle de valeurs déterminées que nous désignerons par Eq. Il existe une solution et une seule du système (11), qui, pour ,r = j"„, prenne l'ensemble des valeurs Eq. Nons la représenterons par les fornuiles

(12 j y = uix, a--,,), :: = n .r, a:,,), Piic= ?//,■(' ^: ^o,S

qui se réduisent à l'ensemble E„, quand on j fait a7 = j"o- Les deux premières, quand on y considère x et X(^ comme deux paramètres indépendants, représentent une surface S, qui passe par la courbe F, dont l'équation paramétrique est x ^ x^\ (|uand Xo est fixe et ic variable, les équations (12) représentent une caractéristique commune qui rencontre F au point x = iPo 5 ^^ engendrée par des caractéristiques du système H de /•4-/*=o, est donc une intégrale de cette équation.

Je dis qu'elle est aussi une intégrale de 0 = 0. En effet, en tout point M de F, passe une courbe caractéristique C du système I située sur ï et l'on peut considérer S comme engendrée par les courbes C qui rencontrent F. Soit Q, la caractéristique d'ordre n qui a C pour support sur S. Au point M, d'après la façon même dont on a calculé l'ensemble Eq des dérivées jusqu'à l'ordre /?, celles-ci vérifient l'équation cp = o et lorsqu'on se déplace sur C),, nous avons démontré au n" 10 que o restait constamment nul. On a donc cp ^ o en tout point de S.

.MRMORIAI. mes Sf . MATH. — N" 1'!. 2

iH R. GOSSK.

14. Proposons-nous maintenant de chercher les solutions communes à r-{-f=^o et aux deux équations cp = o, d'ordre h ^ 2 et 'il ^ o d'ordre n'^Ji^ supposées en involution avec la proposée. Deux cas sont à distinguer :

i*^ Les deux involalions sonl du lui'ine système (1, par exemple). Dans ce cas, les trois équations peuvent ne pas admettre d'intégrale commune; mais, si elles en ont une, elles en ont une infinité.

Soient, en effet, une intégrale commune S et une caractéristique M„ de S, d'ordre n et du système If, comprenant une caractéristique M/,, d'ordre II et de même système. Il existe (n° 6) une famille d'intégrales de la proposée, dépendant de la façon que nous avons expliquée d'une infinité de constantes arbitraires, qui ont un contact d'ordre /i avec S le long de M„; l'une quelconque d'entre elles !S'j peut être considérée comme engendrée par des caractéristiques du système J, d'ordre /i ou /?, issus des éléments de M;, -ou M„. Si l'on se déplace sur ces caractéristiques à partir de ces éléments, on a, au début, 9 = o et 'l = o, puisque M,^ et M/, appartiennent à l'intégrale commune S; on a donc (n" 10) 9 = o et tL = o en tous points de ces caractéristiques et, par suite, en tcnil point de S. Toutes les surfaces S sont donc des intégrales communes.

2" Les deux involutions sont de système di[jérent. — Nous supposerons que cp vérifie le système A et '| le système B, qui s'en déduit par permutation de /»i et m^. [/équation /• +y'= o détermine tous les nombres />, /f, où i-^L^h — i, en fonction de .r, y, •:;, />io, . . ., pxji-i,^ 7^0,1? ■ • -1 />o,/i-i- l-'Cs dérivées d'ordre h sont liées par la relaticm 9 = 0 qui donne /Hji-i <in fonction des nombres précédents et de />o,/, ; dans (diaque ordre y, fi<^j<^fi, les dérivations de /• f-y=oetc3 = o donnent toutes les dérivées d'ordre y", en l'onction de y>oy, par exemple; tous les nombres/;//,, où i-\-/\'$n — i, s'expriment donc en fonction des inconnues

X, y, z, /Ji,u, ..., />t, /,-■!■ /'o,i, •••, />o,u-\-

Les dérivées d'ordre n seront données par les deux relations

■dont le déterminant fonctionnel (/ni~ ■ m.A -, — ; — i— n'est pas

LA MÉTHODK DE DARUOl X ET LES ÉQIATIOXS S = f(T. y. Z. p. q \ . If)

nul et celles de l'ordre n -i-j\ P'<i"

d'i+j-'' dJ 'l

df"-^/-'' ' dyi

dont le déterminant fonctionnel est le même. Toutes les dérivées y>, a s'expriment donc en fonction des inconnues jirécédentes. Mais cellesci sont solutions du svstème d'équations au\ difFérenliclles totales

1 dz = />,.„ dx -^ /?o,i dy, (l'i) < dpi,o = 7>j,o dx -!- //|,i dr, . . . . dptjt^-2 ~ Pij,-2 dx -h />: ,/,-i dy, ! '^7>o,i= /'i.i «^J" -+- /'i.i «Os ••■• dpo,i^i= pi^„-, dx -h />o,n dy.

"Il Uof). ^■■^ l>ih--z sont tirés des dérivées de /■+y=Lo; />i/,,^ de 's = o; l>\.i-\ {li-^j-n) de -^-—^^=0; ih.n-i et />f,.n du sys-

té me -7—; — 1- r— o, 'L =-- o. Nous allons montrer que ce svstème est

dyl'-'i ' 1 ■

complètement intégrable.

Les conditions d'intégrai>ilité sont vérifiées d'elles-mêmes pour les éffuations qui ne contiennent cpie les dérivées d'ordre inférieur à Ji. ['our celles cjui contiennent les dérivées d'ordre A, elles seront vériliées à la condition nécessaire et suffisante que, quel que soit />„/;, les ('•quations /■ -(-y* = o, cp = o, et leurs dérivées donnent un système de valeurs unique pour les dérivées d'ordre // + ' • Or, celles-ci doivent vérifier les trois relations

do do d''-U?--hf)

dx dy dyi<-^

qui se réduisent à deux, d'après les conditions d'involution m" 9).

Comme on peut prendre -, — - — == i , la seconde donne toujours, pour

P2 h el la première pour />2./(— 2? une valeur bien déterminée, cjuel C[ue soity:>o/,. Il est, de même, nécessaire et suffisant, pour que les conditions d'inlégrabililé' soient remplies pour l(^s équations suivantes, (jue les relations

di o dio d'^+i-Hr ^ f \ , .

dxdyi^ ' dyi ' dy''+i-'^

déterminent un système de valeurs unique [)Our p-2ji+j-it /'\,/i^ij qxieh que soieni />„./(-(-i • • • /^)./(4./; et nous avons vu au n" Il (|,ue

cliacLUi de ces groupes de trois équations est équivalent à un groupe de deux équations linéaires dont le déterminant n'est pas nul. Enlin, les équations

9 ivii

dx dy'^-i' ' (Yj«+i-// ' dx

d'h d'^-Ur^ f)

doivent déterminer un système de valeurs unique pour /j2,/;^i , pt u P(in + {- Les deux premières entraînent la dernière (n** Jl); les trois dernières se réduisent à deux, puisque d/ = o est en involution avec la proposée; le système se réduit donc à

àp\,ii-\ ' dpç^ji

<jPï,n-l àp^^n

ôf ôf

où l'on peut prendre (nMO)

à(i> d'il do dAi

Leur déterminant nio — m , n'est pas nul et nous avons bien démontré que les trois équations / -|-y" = o, ce = o. -i; =; o forment un système complètement intégrable.

Remarque. — Les résultats que nous venons d'obtenir s'appliquent évidemment au cas où l'on connaît un ou deux invariants. En particulier, si l'on connaît deux in\arianls de même système de l'équation /•+/':= o, les trois équations

r -h f = o, ? = c, 'l —■ c' forment un système complèteiu(Mil intégrable, quels (jue soient c et c' .