Études des équations 5^^/>G()-, z, q). Nous poserons

encore

Si u ne contient que )•, z, q, on a

c/Fi(u) dVi âFi

LA MÉTHODE DE UAKBOUX ET LES ÉQUATIONS S =J'{x, y, Z.Ji. q). jg

On en conclut sans peine que

les nombres a], ne dépendent que des variables p^^ p.^^ • . . , pk-

La condition nécessaire et suffisante pour qu il existe un ijuariant '-^(r, )', :;, />,, />.j, .... p^) s'écrit alors :

OÙ .r, qui est un iuvanaiil de même système que o, peut être supposé remplacé par une con^taule. Ou peut alors écrire la condition précédente sous la forme

{V) C,j) F„i-r-. . . - C/F/-^.. .4- CqFo-^ f/<- + D = G,

où

dy ôz dpn àpi+i ' + '

Les nombres \\ ne dépendent que des \ariables y\ z, q; les nombres D, C, C, ne dépendent que des variables j', z, fi; il y a donc entre les nombres F^ une relation de la forme

(T) F/,,^e I -^ A/., F/.__,( 0) ^. . .^ Au h\{ 0) + A^y = ïi(y, ^}

les nombres A étant des lonclions de y et c seids. S'il v a plusieurs relations de cette forme, nous raisonnerons sur celle où lindice k est le plus petit. Nous savons alors que la solution i^énérale de léquation iy' ) s'obtient (n" 29) en éliminant 'v entre les deux relations

p .a^ OZ ÔZ

.Mi:.\i(iuiAi, ui:s s<;. math. — .v" 12. u

5o R. GUSSli

les nombres /,• n'étant liés par aucune relation linéaire à coefficients fonctions de j' et de ::, les nombres Zj n'étant pas tous nuls. Si Ton fait le changement d'inconnue ; =: /*()', ■3), où

on voit qu'on ne diminue pas la généralité en prenant Za^, = o.

Les équations que nous clierchons doivent donc avoir la forme précédente, où l'on a supprimé Za+i- Pour ces équations,

La condition F donne alors

Si le premier membre de celte égalité n était |)as identiquement nul, en donnant aux \ariables j) des valeurs lixes, on on déduirait, entre les nombres //, une relation linéaire à coefficients fonctions de y et z. 11 faut donc que l'on ail

et

(Ij) <-«- 1 -T-;r-l-- • .^- <->o "l rLZ/=0 (i = I, 2, . . -, A-).

oz"- oz

Il y a au moins une fonction Z^ qui n'est pas nulle. Considérons alors l'équation (E)

On a, pour cette équation,

les indices indiquant des dérivations par rapport à r. La condition (T,) exprime donc que l'équation (E) admet un invariant d'ordre «, cp(c, /)], . . ., /)„). Mais cette équation est de la forme

OLÙiy, z}

LA JIÉIHODE DE DARBOUX KT LKS ÉQUATIONS S = f{x. y. Z.p. q). 5l

complètement étudiée par M. Gau, dans sa Thèse (p. loS-i 17). Elle ne peut admettre d'invariants que de l'ordre 2 ou 3. M. Goursat (^) ayant montré qu'il y a un invariant du second ordre lorsque A- ^ i , nous n'avons plus qu'à étudier le cas où k =^2, // = 3.

Posons alors

F,(0) = ^^ Fi(0)+ a6 + [B^-t-a.

Un calcul simple montre que le système, que doit vérifier o et qu'on déduit immédiatement de la condition (F), n'a de solution que si

•^ ' ûz ôy

Mais alors un changement d'inconnue z' = /<( 1', z) montre que, si

l'on pose

dh . à^l I /àly-

dz ' dz- 1 \ôz }

on a identiquement

e2>, F'.,(0') = FofO) + 200 + 7'-^ -f- t^, " ^ Oz dy

l'équation proposée étant supposée sous la forme

On en conclut que toutes les équations que nous cherchons se déduisent par des transformations ponctuelles de celles qu'on obtient en éliminant o entre les deux relations

Il est facile d'en obtenir l'intégrale générale. On peut, en effet, en changeant de fonctions, écrire ces équations

q = z^ I{y^ 'i) + zo, - = -xz /(y, cf) + c|..

On a l'intégrale intermédiaire

YXr)

' ) Goursat, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2' série, t. I, '^99i P- 31-78.

■il GOSSE. LA MÉTHODK DE DARBOt'X KT LES ÉQl ATIOXS S =f{X. )'. Z. p, q).

et la solution clierciiée sera l'intégrale générale de l'équation de Riccati

En changeant \ en ,^, on peut écrire la solution sous la forme

L'intégrale explicite s'obtient alors facilement par les méthodes précédemment indiquées.