THEORIE DES FO

B Malgi'ii tout, ce problème n"est encore qu'ébauché, et il reste beaucoup à faire pour le présenter sous une j l'orme entièrement générale. Les conditions données peuvent fort bien ne pas consister exclusivement en j valeurs correspondantes, ainsi que nous l'avons sup- j posé. On pourrait, par exemple, assujettir la fonction y \ à avoir une dérivée prenant des valeurs données pour | certaines valeurs de la variable, tandis que la fonction 1 prendrait elle-même des valeurs données pour d'autres ] valeurs de la variable. I

En outre, les valeurs enregistrées, si elles proviennent 1 <lirectement de l'observation des faits, étant fatalement 1 entachées d'erreurs, il y aurait lieu d'examiner s'il ne | serait pas avantageux de laisser une certaine élasticité aux formules dans les limites possibles Je ces erreurs, et d'étudier les conséquences possibles de telles variations.

11 serait intéressant de ne pas borner la question, ■ comme on le fait d'habitude, aux seules fonctions réelles J de variables réelles, et de l'étendre tout au contraire aux | quantités imaginaires et même peut-être aux quantités j géométriques de l'espace. ]

Enlin, l'hypothèse d'une seule variable indépendante ] est tout à fait particulière, et la plupart des fonctions de j la nature dépendent de plus d'une variable. La recherche I des fonctions, d'une espèce quelconque, de plusieurs i variables, satisfaisant à des conditions déterminées, ou , ne s'écartant de ces conditions que dans des limites ] assignées à l'avance, laisse donc ouvert, comme on le voit, un vaste champ d'investigation aux géomètres, et pourra faire l'objet de bien des recherches nouvelles. Ce problème, sous celte forme extrêmement générale, et à cause même de cette généralité, présente des difficultés de plus d'une nature. La recherche des formes ■ les plus simples des fonctions employées, suivant le J degré d'indétermination qui subsiste, serait à elle seule J d'un haut intérêt, Enlin, et en dehors de l'utilité directe^ pour ainsi dire, en ce qui touche les diverses scleDCfl^H

nalurelies auxquelles la Mathématique peut s'appliquer, il semble (pril y ait là une sorte de prolongement de la Théorie des fonctions. Cela justifiera, je l'espère, aux yeux du lecteur, l'insistance que j'ai apportée sur la question de l'interpolation dans les rapides considérations qui précèdent, et la place que j'ai cru devoir donner à ces considérations à la fin du présent chapitre.

Buj

Origine des notions géométriques. — Par l'observaîon des objets qui nous (Miloiirenl, nous arrivons à la innception de l'espace ilans lequel nous vivons et dans li'quel ces objets occupent une certaine étendue. Nous constatons en même temps qu'ils présentent une l'orme. Les formes des objets sont variées à l'infini; mais, parmi elles, quelques-unes nous frappent par leur apparente régularité. Bien que celte apparence ne tienne qu'à l'imperfection de nos sens, elle entre pour nne très large mesure dans les impressions ressenties par nous, et les dispositions régulières dont nous parlons prennent dans notre cerveau une existence qui se manifeste avec une intensité puissante. Là, comme toujours, nous avons fait de l'abstraction, inconsciente ou voulue, et l'abstraction est venue piendrc la place de la ■êalilé naturelle qui l'a provoquée. De même que les

istraotions sur les collections sont la base première

iS notions arithmétiques, les abstractions efl'ectuées "ur les formes sont l'origine de nos conceptions géomé- Iriques.

Imaginons, par cxcinidc. un cube en marbre parfaitement poli. La forme de ce cube résulte, pour nos B, de ce qu'il occupe une certaine position dans l'es-

ice ; nons arrivons à séparer ainsi l'espace en deux

•y, LA MATHÈMATIQl E

régions : colle 4111 est occupée |iai' le cube et celle t|iii lui est exlérieiire, La limite qui sépare ce» deux régions est pour nous iiiio surface, la l'égion intérieure est un volume, surface el volume dont nous nous l'aisons ridéf indépendaniitieiit du corps considéré, qui pourrait aussi bien être en verre, en bois ou en métal, tout en conservant la même l'orme.

Cependant, si nous y regardions de très près, nous verrions, par exemple avec un microscope d'un grossissement indéfini, que cette surface n'existe pas telle que nous la concevons, que les particules composant Iicorps sont distribuées, au contraire, de la façon la pliitt confuse ; mais la conception surface, répondant aux apparences premières, n'en a pas moins pris possession de notre cerveau à l'état d'abstraction.

En regardant ensuite cette surface, nous reconnaissons qu'elle se compose de plusieurs parties bien distinctes, au nomlire de six ; que deux de ces parties, voisines l'une de l'autre, ont en commim une ligne; quP les lignes ainsi formées viennent elles-mêmes se rencontrer aux sommets du cube, que nous désignons sous le nom de points.

Un examen un peu plus attentif nous montre que les diverses surfaces dont nous venons de parler jouissent de propriétés particulières d'après lesquelles nous les qualifions de surfaces planes ou de plans ; que les rencontres de ces plans sont des lignes droites. Et nous avons la notion précise du plan, de la ligne droite, du point par la seule contemplation de l'objet, bien que, pas plus que dans aucun des corps existant dans la nature, il n'y ait ni plan, ni droite, ni surface, ni ligne, ni point. Mais toutes ces abstractions sont indispensables à la constitution de la science, et d'autre part elles sont assez rapprochées de la réalité pour que l'erreur que nous commettons volontairement en les substituant aux choses réelles ne puisse présenter le moindre inconvénient, même dans la pratique.

I GEOMëTHIË

Ces <>tres de raisc

urfaces, ligin

, pom

, placén

dans ce que nous appelons l'espace, sont les élémentl des figures géométriques. Une fois l'abstraction | mière effectuée, nous pouvons, par des combinaisons i l'infini de ces divers éléments, créer, par notre seiilfll imagination, tout le monde des faits géométriques.

Il est seulement nécessaire de compléter ces notiond par des déûnitîons aussi précises que possible, et pai des axiomes, vérités évidentes qui ne sont le plus s vent que des définitions dégiiiaées, comme l'a si justement fait remarquer M. H. Poincaré dans son remarquable article Sur les Géométries non euclidiennes, publié dans la Hei'ue générale des sciences {1891, p. 769), articlflj sur lequel nous aurons à revenir tout à l'hei

Les géomètres de l'antiquité ont poussé à un trèaj haut degré de perfection cette branche de la science, e^ l'on ne saurait assez admirer les |)rodigieux résultats auxquels ils sont parvenus, avec des moyens d'actiooj aussi limités que ceux qu'ils possédaient. Mais l'erreuri fondamentale qu'ils commirent, et qui est encore trèsJ généralement commise de nos jours, consistait dans laj méconnaissance de l'élément expérimentai qui est à Is^ base de la Géométrie. Ils croyaient, comme beaucoupj de savants n'ont cessé de le croire, que la science est-l d'autant plus pure qu'elle se rapproche plus complètement d'ime suite d'opérations empruntées à la logiquej abstraite, sans aucune considération du monde extérieur.

Les axiomes et les diverses Géométries, — C'est à une époque toute réccnle, au cours du xix" siècle, que l'attention des savants et des philosophes a été appelée sur ces questions. L'occasion en a été oOerte par les efforts auxquels on s'était livré vainement pour démontrer une vérité fameuse, connue sous le nom de postulatuni ou d'axiome d'Euclide, et qui peut s'énoncer ainsi : par un point, on ne peut mener qu'une seule

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(lins tard llelmlioll/, ii'niil iias^lrdaignf- de s'occuper df celU? (|iiesti(iii. Miiis elle parail avdir ttc dt-tituliveiiicnl élucidée à la suite ries travaux de deux grandie espriLi: LoIiatscheCsky i,de Knzanl el le liotigrois BoWaï, qui, sans se connaitre ni ennnaitre leurs recherclies, parvinrent à dos résultats analogues. A leur suite, [lienianii, Beltrami et d'autres encore consacrèrent de savantes recherches à cette étude, sans parler de beaucoup de savants <lont les travaux ont été synthétisés dans l'article de M. l'oincaré que nous avons rappelé plus haut.

Nous ne pouvons essayer même de donner ici uni' idée de ces doctrines; mais il est l'acile d'en extraire la substance en peu de lignes. Il sullit de constater ve fait, actuellement hors de doute, qu'en supprimant le pofltulatuni d'EucJide, il est possible de construire )Ip toutes pièces un .'système de Géométrie jiart'ailemenl logique, système variable suivant la proposition par laquelle on a cru devoir remplacer le postulatum.

La vérité, c'est qu'en dehors des axiomes qu'on énonce expressément, il en existe beaucoup d'autres, les uns pouvant prendre la forme de définitions, d'autres, d'une nature plus profonde, inhérents à la conception que nous nous Taisons de l'espace. Kt comme cette conception est absolue, par essence, tandis que nous ne pouvons jamais juger des choses que relativement, on en vient à reconnaître la profonde justesse de cette conclusion de M.Pnincaré : « II n'y a pas de Géométries plus ou moins vraies; il y a des Géométries jdus ou moins commodes ».

L'élude des Géométries non euclidiennes xloit donc être regardée comme un exercice de l'esprit, pouvant même conduire incidemment à des résultats d'un véritable intérêt et jeter de la lumière sur les sciences voisines. Mais en ce qui concerne l'étude de l'étendue, de ses propriétés et de sa mesure, la conception. euctif''^ ij

/,.( GKOMICrniE

"tlienne sera toujours (l'un usage uiiivprset, coiiiii i-épondant mieux que toute autre à la notion naturoll< l'espace telle qu'elle se présente à nous par l'observa» lion (le la nature. Seulement, il est indi8)iensable de Taccepter très franchement et de se dire que le perfeolionnenient ne consisterait pas à supprimer des axiomes pour leur substituer des démonstrations introuvables ; mieux vaudrait au contraire, si la chose était possible, mettre plus complètement en évidence les axiomes implicites que nous employons à notre insu, par exemple les suivants : l'espace est infini ; il est pai lout identique à lui-même ; une figure peut être tr portée de toutes pièces dans l'espace sans sulnr de difications, etc., etc. '

C'est donc dorénavant de la seule déorjiéti'ie ci lienne que nous nous occuperons dans ce (|iii va suivre.

Divisions de la Géométrie. — Comme toutes leftj iranclies de la ^lathématique, la Géométrie est s )ornes. Son objet essentiel est la mesure de l'étendue»

ette mesure ne pouvant pour ainsi dire jamaift leffectuer par voie de comparaison directe, ce en accumulant les connaissances sur les propriétés! ligures qu'il est possible d'arriver indirectement aui it que l'on poursuit. Parmi ces propriétés, les unesl icernent explicitement des questions de mesu lea a appelées propriétés métriques; on a donné auxj ïtres le nom de propriétés descriptives. Ce n'est pas^l néanmoins sur cette distinction, relativement récente, que pourrait être instituée la Géométrie, car, dans l'étude le presque toute (igure, propriétés descriptives et méques doivent être envisagées concurremment si l'on i|it que cette étude soit complète.

Nous avons vu plus haut que les éléments des figures géométriques sont des volumes, des surl'aces, lignes et des points. De cet ordre logique, en le i versant, on peut conclure l'ordre contraire, en faisan

94 lA MATHEStATtqCB ^^H

inlerreair le mouvement, el en regardant une ligae comme engendrée par le déplacement d'un point, use surface par le déplaceoienl d'une lîg-ne, et un volume par le déplacemenl d'une surface limilée et définie.

Dans cet ordre d'idées, on pourrait imaginer la Géométrie de» lignes, ne comportant que la notion d'une seule dimension, celle des surfaces, à deux dimensions, et celle des volumes ou de l'espace, à trois dimensionB. Mais parmi les lignes, il en est une, la plus simple de toutes, la ligne droite, dont la notion nous est familière, bien que la définition en soit impossible. Parmi les surfaces, le plan est en général l'objet d'une déflnition qui n'en est pas une, car elle se réduit à une simple propriété expérimentale, vérifiabic seulement par à peu près, savoir qu'on peut sur cette surface appliquer en entier une ligne droite dans une position quelconque. Mais le plan nous apparaît quand même, par suite d'un axiome si l'on veuf, comme la plus simple de toutes les surfaces.

Ceci nous indique la possibilité d'une classification nouvelle, qui est à peu près celle que nous voyons en vigueur aujourd'hui, à une seule exception près : Géométrie sur la droite, à une dimension ; Géométrie sur le plan, à deux dimensions; Géométrie dans l'espace, ou à trois dimensions. La première de ces trois parties n'est généralement pas même indiquée; on n'y attache aucune importance et l'on a grand tort; carce domaine de la ligne droite, pour être plus restreint, n'en renferme pas moins un ensemble de propriétés intéressantes en elles-mêmes, et dont un grand nombre peuvent être avantageusement utilisées pour la Géométrie à deux ou à trois dimensions.

ia Géométrie des anciens. — L'œuvre géométrique lie l'antiquité est à peu près exactement représentée de nos jours par ce que l'on a coutume d'appeler la Géométrie élémentaire. Non seulement le fond de la pMi

la p^n^^l