LA GÉOMÉTRIE

mais aussi la forme de l'exposition ont été conservés I avec une sorte de soin religieux qui est intéressant au I point de vue historique, mais qui ne laisse pas de pré"l scnter certains inconvénients sur lesquels nous aurons 1 l'occasion de revenir plus lard. La division en huit! livres, naguère encore universellement classique, repro- I (luisait, à peu de variantes près, Tancienne ordonnance 1 de la Géométrie. Dans les deux premiers livres on étu- j die les figures planes formées par des droites, puis leJ cercle et les angles, sans qu'aucune propriété métrique» concernant les longueurs de droites se présente. Puis,.! dans le troisième livre intervient la notion du rapport! de deux longueurs; ce livre et le suivant sont consacrésl aux propriétés qui s'ensuivent, à la délerniinalion des! paires polygonales, puis à l'étude des polygones régu-1 ^Kers, dont le cercle est considéré comme la limite. -^ ^p Avec le cinquième livre, on commence à aborder la 1 Géométrie des points, des droites et des plans dansfl l'espace, d'abord au point de vue purement descriptif;! le sixième a pour objet les mesures concernant lesJ polyèdres, le septième les (Igures sphériques les plus! simples, et le huitième les mesures des surfaces et volu-! i des corps ronds. On appelle ainsi le cylindre de \ [évolution, le cône de révolution et la sphère. j

I Une rapide étude des coniques (surtout de l'ellipse et \ B la parabole), qualifiées paribis de la dénomination de ^courbes usuelles », qui est au moins bizarre, pour ne HBS dire plus, forme une sorte de complément à cette irtie de la Géométrie. Tout cela est le plus souvent •éaenté comme une suite de vérités qu'on énonce Sabord, pour les démontrer ensuite, en s'appuyant uniquement sur les définitions, sur les axiomes et sur les propositions précédentes. Lorsque, par exception, le calcul intervient, on s'attache à lui conserver une forme un peu archaïque; il semble qu'on se refuse de parti pris à profiter des ressources et des simplifications que J courrait offrir l'Algèbre.

g6 l.t il.tTIIÉMATlQVE ^^H

C^lle science, sous cet aspect un peu rigide, es^^fl réalité l'un dos exemples les plus Trapimnls tie la puissance logique de l'esprit liuaiain, ipiaiid nn se re]iQi-U' surtout à l'époque où elle lut constituée.. II est remai-- ({iiable, notauuiient, que les anciens soient arrivés ti découvrir tant de propriétés des sections coniques.

Ce qui est encore plus clonnunt, c'est la Cécondilt! des ressources et la puissance des mélhodes employées. Des travaux historiques d'une époque récente ont montré que certaines propriétés qu'on serait tenté de croire toutes modernes avaient été découverte» par les géomètres grecs et sans doute même auparavant.

Parmi ces uiétliodes géométriques, d'une applicalioD générale, l'idée la plus digne d'admiration peut-être esl celle des lieux géométriques. Lorsque tous les points d'une figure jouissent d'une propriété déterminée, ii l'exclusion de tous autres points, on ilit que cette figure est le lieu géométrique des points jouissant de cetlr propriété. 11 y a là l'élément d'une définition, ou plutôt i de définitions diverses de toute figure géométrique. * L'équivalence de ces définitions, qui permet de déduire d'une propriété tout un ensemble de propriétés nouvelles, est assurément Tun des objets essentiels de la Géométrie. Mais les lieux géométriques ont encore, pour la résolution des problèmes, une utilité d'un autre ordre, facile à comprendre; si l'on demande de trouver un point jouissant des propriétés (A) et (B), sî le lieu des pointa jouissant de la propriété (A) est une figure F, et si le lieu des points jouissant de la propriété (B) est une figure 1"', la solution du problème se composera de tous les points communs aux deux figures F, F'. Soit, par exemple, qu'on demande de trouver sur un plan un |)oint M également distant de deux droites D et D'et tel que le rapport -^jp- de ses distances â deux points P et P* Wt donné. On sait : i° que le lieu des points également i

distants de deux droites se compose de deux autres droites, les bissectrices A et i' des angles formés par les droites données D et D' ; 2° que le lieu des points tels que -jTri! soit de grandeur donnée est une circonférence. 11 s'ensuit que les solutions seront les points conimuns à cette circonRirence et à ces deux droites i et i'. Il pourra y en avoir quatre, deux ou pas du tout. Exceptionnellement, ce nouiLre pourra devenir 3 ou 1.

Ou retrouvera un peu plus loin, en Géométrie analytique, cette notion si féconde des lieux géométriques autour de laquelle pivote toute la science de l'étendue, et dont l'honneur appartient incontc stable m eut aux géomètres de l'antiquité.

La Qéométrie moderne. — Au cours du xix" siècle, la Géométrie a été l'objet d'une sorte de renaissance dans laquelle notre pays tient une place particulièrement glol'ieuse. Chasles et Poncelet en sont peut-être les plus illustres représentants. Bien que l'œuvre de Chasles et de ses continuateurs aiteu pour objet principal d'affrancbirla science de l'étendue, qui semblait être devenue simple tributaire du calcul, depuis l'invention de la Géométrie analytique et la découverte du Calcul infinitésimal, il est permis de se demander si les belles découvertes faites dans cet ordre d'idées auraient pu se produire sans le besoin de généralisation que l'introduction du calcul avait provoqué. Ce n'en fut pas moins une réaction salutaire, une revanche de la raison contre le mécanisme des méthodes, de la clarté contre les procédés qui conduisent au but par des voies souvent obscures.

La pierre angulaire du bel édifice dont Chasles fut Tarcliitecte de génie, c'est la notion du rapport anhar-J monique, qui fut connu avant lui, mais dont persona^ n'avait su tirer parti à un tel degré. Si deux points^ et B sont situés sur une droite, et que deux autM

y8 /--i >i-iriit:M ITIQI E

points C et D soient sur la m^nie droite, C divise le sogment Alî dans un certain rapjiurt -pW- et D divise le même segment dans le rapport -îjg-: le rapport devvs deux rapports, c'est-à-dire j;^- sj^ est le rapport anharmonique des quatre points A, B, C, D. C'est là l'originp première des théories de l'homographie, de l'homologic, del'involHtion, qui rentrent dans la Géométrie moderne, bien que Desargues ait connu et utilisé l'involutioii. Rien ne peut donner une idée de l'abondance des propriétés que ces théories ont révélées, entre les mains d'habiles géomètres.

Un autre caractère essentiel de cette Géométrie moderne a été la considération de ligures autres que les points, les lignes et les surfaces. Je veux parler des complexes et congruences, dont il convieiit de donner ici une idée générale, en se bornant au cas, particulièrement simple, des complexes et congruences linéaireS' Lorsqu'une droite est assujettie à une condition simple, on dit qu'elle engendre un complexe ; si elle est assujettie à deux conditions, elle engendre une congruence; et à trois, une surface. Par exemple, toutes les droites qui rencontrent une droite forment un complexe ; toutes celles qui rencontrent deux droites forment une cou- ' gruence; toutes les droites qui rencontrent deux droites et sont parallèles à un plan forment une surface.

Ces êtres géométriques nouveaux ont fait l'objet dt travaux extrêmement remarquables. Ils ont emprunté leur origine, non seulement à la science du calcul, mais même à la Mécanique, ce qui n'a pas empêché d'en faire une étude purement géométrique.

A ce sujet, il est permis de s'étonner de l'opposition étrange et quelque peu sacrilège qu'on a souvent tenté d'établir entre le calcul et la Géométrie, entre les méthodes analytiques et les méthodes synthétiques, comme Ipli dit parfois d'une façon abusive. L'homi

^^^^^■P lA GEOMETRIE

donc si heureusement doué qu'il puisse s'attribuer le droit de dédaigner l'un quelconque des chemins qui peuvent le conduire à la recherche et à la découverte de la vérité ! Nous savons en réalité peu de chose ; mais en matière de Géométrie, ce peu, qui constitue notre patrimoine scientifique, nous le devons à la fois aux géomètres et aux analystes. L'esprit de généralisation d'une part, la considération raisonnée des faits en eux-mêmes, de l'autre, ont graduellement amené des progrès et des découvertes nouvelles. La science du calcul et la Géométrie pure se prêtent un mutuel appui ; nulle des deux n'est supérieure ni inférieure à l'autre. Sans le calcul, nous ne serions pas beaucoup plus avancés qu'on ne l'élait du temps de Platon; sans la Géométrie moderne, nous marcherions à la dc<ouverte de la vérité à peu près comme un homme qui erre en tâtonnant dans un souterrain, certain de ne pas s'égarer, mais condamné à ne voir la lumière qu'une lois son voyage terminé. Nous devons au calcul des solutions de beaux problèmes, à la Géométrie des méthodes merveilleuses, parfois étonnantes de simplicité, qui seules ont permis certaines découvertes. On a peine à comprendre comment des hommes de grande valeur ont pu tenter d'établir une sorte de préséance, de hiérarchie au profil de l'un ou de l'autre de ces deux grands moyens généraux, qui progressent surtout par leur aide réciproque.

Les transformations géométriques. — L'idée de transformation des figures était certainement connue des anciens, au moins dans des cas particuliers, mais c'est seulement dans la Géométrie moderne qu'elle a pris la place considérable qu'elle occupe à juste titre. D'une ligure (F) quelconque, par des constructions bien nettement définies, on comprend qu'il est possible de déduire luie nouvelle figure {F'} et que réciproquement on pourra jljceair de la figure (F') à la figure (F). Or, si une pro^

ioo LA M.tTHEMATIQL'E

pri été est connue, oiil'acîk'à <li'fouvrir,dansla flgurej it s'ensuit qu'on aura par cela m(^me dans la figure primitive (F) une propriétt! quil eût peut-être été très difficile d'obtenir par des voies directes. De même pour la résolution diin problème. On devine quelle puissance d'investigation une telle méthode générale fournit au géomètre, d'autant plus que les transformations sont en nombre illimité, que chaque jour on peut imaginer une transformation nouvelle.

Enumérer seulement les principales transformations générales devenues classiques serait impossible ici. C'est tout au plus si nous pouvons, au couraat de la plume, rappeler l'homothétie, la similitude, l'inversion, i'homologie, l'homographie.

Mais il convient de signaler tout particulièrement, en nous bornant aux figures planes, le mode de transformation dans lequel à un point correspond une droite, à une droite un point, et dont Chasies a tiré un si merveilleux parti, en y ^\\\?<9nt?.<ix\ principe dediialité. C'esl là encore qu'on rencontre le germe de toute la belle théorie des polaires réciproques, à laquelle Poncelel a donné de si remarquables développements.

Ce qu'il faut surtout retenir de cette idée générale des transformations, c'est une démonstration nouvelle de ce fait que la Mathématique ne crée rien et que son rôle est constamment de nous présenter la vérité sous une forme plus accessible qu'elle ne l'était primitivement. Qu'il s'agisse de calcul ou de Géométrie, il en est toujours de même. Une transformation de figure n'est pas sans analogie avec une transformation d'équation. Dans un cas comme dans l'autre, la proposition à établir ou la solution à obtenir se trouvait masquée d'abord, pénible à découvrir. Grèce à la transformation opérée, cette vérité que nous poursuivons apparaît avec une clarté particulière ; nous l'établissons ou nous la constatons, puis, remontant par transformation inverse à la question primitive, celle-ci se trouve dés lors résolue.

^H LA GÉOMÊrniE "Ol

La Qéométria projective. — Parmi les Iransformations possibles, en nomlire infini, il en est Je particulièrement intéressantes. Ce sont celles qui résultent de la i construction elTectuée en prenant un point fixe O, le joignant à tous les points M de la figure primitive et en déduisant la position du point M de la figure nouvelle, sur la droite OM, par une loi déterminée. La perspective dune figure plane sur un autre plan, par exemple, est un cas spécial de ces transformations qui jouissent de propriétés fort intéressantes. C'est à Pétude de ces propriétés projccUi-es que Poncelet a consacré son principal ouvrage de Géométrie. Depuis lors, les notions dont il s'agit ont été largement généralisées, surtout entre les maîns de MM. Reye et Cremona, et il en est sorti, sous le nom de Géométrie projectwe, une véritable science à part, qui se développe chaque jour davantage et produit de brillants résultats.

La. Géométrie cinématique. — Sans empiéter en rien sur les considérations que nous aurons à présenter plus loin sur la science du mouvement, il y a lieu de constater que la Géométrie en elle-même exige en maintes circonstances qu'on i'asse intervenir l'étude du déplacement d'une figure. C'est là une question purement géométrique et non mécanique; la notion des centres et axes instantanés en est un exemple intéressant, et c'est l'un des grands mérites de Chasies d'avoir jeté sur ces théories une clarté frappante, grâce surtout a la simplicité des moyens employés par lui. Mais il y avait un intérêt réel à ne pas laisser ces questions noyées en quelque sorte dans la masse des vérités géométriques. C'est principalement à M. Mannheim que revient l'honneur d'en avoir fait l'objet d'un chapitre à part, BOUS le nom de « Géométrie cinématique », Après avoir apporté lui-même les plus importantes contributions à cette branche de la science, le créateur de la Géométrie cinématique a eu la satisfaction de voir df^

lOî LA MATI/KMATIQrE

noiiilireux disciples suivre la voie tracée par lui, soil en France, soit à l'étrangpr. U en est résulté de nombreuses et inléressantes découvertes nouvelles, aussi importantes en elles-mêmes ^ue par l'aide qu'elles apportent à la science du mouvement.

[1 nous sera permis de profiter de celte occasiun et de cet exemple pour faire ressortir le grand inlérH qu'il y a, tout en respectant la grande unité de la science, à la diviser en chapitres povir mieux étudier et approfondir certaine» catégories de vérités. Ces chapitres ont entre eux des alGnitcs nécessaires, l'étude de l'un réagit sur l'étude de l'autre; mais il n'en est pas moins vrai que cette classification permet de voir Jjeauconp plus clair dans le chemin que l'on poursuit, et devient par cela même l'origine de découvertes nouvelles qui très probablement, sans ce secours, seraient restées ignorées. C'est à ce point de vue qu'on peul dire sans exagération que la création de la Géométrie cinématique a été un véritable bienfait scientifique.

La Géométrie du triangle, — S'il est une figure, parmi celles que présente la Géométrie, qui ait été étudiée <lepuis la plus haute antiquité, c'est assurément le triangle, formé par trois points et par les droites qui les joignent. U pouvait sembler, après tant de travaux antérieurs, que rien dans ce domaine ne restait inconnu. Cependant, en 1873, un mathématicien français, M. Emile Lemoine, publia un petit mémoire concernant un point remarquable du plan d'un triangle dont on avait constaté séparément de nombreuses propriétés sans remarquer qu'elles s'appliquaient toutes à ce seul point, désormais désigné, avec justice, sous le nom de point de Lemoine. Bientôt suivi par un grand nombre de confrères, parmi lesquels il convient de citer surtout M. le commandant Henri Brocard et M. Neuberg, M, Lemoine créa de la sorte une branche géométrique nouvelle, sous le nom de « Géométrie tis |

/..( GÉOMF.TItlE io3 1

contribua perBonnelIcment au développe-l ment de cette partie de la science par d'incessantesl publications. L'étendue prise par la Géométrie du triangle est aujourd'hui considérable ; on la cultive dans presque tous les pays où la science mathématique a des représentants, et il serait profondément injuste de méconnaître riiitérêt des nombreux résultats obtenus. Peut-être serait-on en droit de reprocher à cette i branche de la Géométrie de s'être un peu égarée à la 1 poursuite des vérités de détail^ mais il est à espérer J qu'un jour, prochain pcut-âtrc, une sorte de synthèse! permettra de donner un corps plus solide à cette doctrine déjà si féconde, et lui apportera ainsi une force! nouvelle, destinée à produire des résultats plus oomlets et plus importants encore.

Xa Géométrographie. — C'est aussi ii M. Emile Le- i moine qu'on est redevable de la Géomélfographie, oui « art des constructions géométriques ». Steiner (et 1 M. Lemoine ne s'en doutait guère quand il jeta les premières bases delà Géométrographie) avait, dans un passage tout récemment mis au jour, attiré l'attention sur le grand intérêt qu'offrirait un moyen méthodique de comparaison entre les diverses constructions qui peuvent permettre d'obtenir avec la règle et le c un résultat géométrique déterminé. C'est à ce vœu que la Géométrographie donne satisfaction. En remarquant que toute construction, si compliquée suit-elle, est constamment réductible à un certain nombre de constructions élémentaires, toujours de même nature, et en assimilant entre elles, par une hypothèse bien naturelle et justifiable, ces constructions élémentaires de même nature, M. Lemoine est arrivé par un syslènie simple de notations à pouvoir analyser une cons- Irnc-lion géométrique quelconque et à la caractériser j par deux nombres, appelés par lui coefficient de simpU cité et coefficient d'exactitude.

lo.i l-A M.trtlÊ3lATHil£

Nous ne saiiriuiis entrer ici dans aucun dùlail \ sujet. MaÎB il nous est permis de constater que la Géométrographie est dès à présent cultivée et mëm? enseignée dans plusieurs pays étrangers, et d'exprimer le vœu qu'il en soit ilo iu(''nie un jour dans sa patrie d'origine.

Les Oéométries à n dimensions. — Le besoin de généralisalioii qui est la caractéristique de l'esprit mathématique devait conduire certains géomètres à sortir du domaine de l'espace réel à trois dimensions, dans te([uel nous sommes placés, et à se demander quelles pourraient être les propriétés des figures tracées dans les espaces supérieurs dont nous ne pouvons d'ailleurs avoir aucune notion directe ou indirecte. C'est surtout par l'intermédiaire du calcul qu'on est arrivé à s'engager dans cette voie. Une formule déterminée répondant h une figure bien caractérisée de notre espace, on a donné un nom analogue à une figure hypothétique répondant à une formule analogue. 11 en est résulté qut les Géométries à plus de trois dimensions n'ont guère été qu'un moyen de donner des formes géométriques à des faits algébriques. Peu à peu cependant, et en poursuivant les analogies, on a reconnu qu'il était'possible de raisonner sur ces êtres géométriques supposés, de manière à obtenir des résultats s'appliquant au inonde réel, c'est-à-dire, comme toujours, aux abstractions auxquelles ce monde réel nous conduit.

Dans cette mesure, les Géométries à n dimensions ne sontpassansprésentercerlains avantages. Elles abrègent le langage, peuvent dispenser de longs calculs, permettre à l'esprit de moins s'égarer dans les symboles. Mais autant une pareille étude est digne d'intérêt et d'une utilité réelle si on la maintient dans ses limites naturelles, autant elle deviendrait funeste dans le cas où l'on prétendrait lui accorder la réalité qui appartient à l'espace dans lequel nous vivons. Gela ne deviendrait

LA GÉOilÉTRIE i

plus qu'un jeu plus ou moins brillant de l'esprit, mettant au service de rôveries directement contraires \ au but de la Mathématique,

La Géométrie de BituatioR. — Nous avons indiqué^J dans le chapitre premier, celle branche si intéressante de la Mathématique. Elle se rattache à la Géométrie pari son titre, à l'analyse des combinaisons, et par consé- ([uent à l'Algèbre, par une grande partie des objets ' qu'elle étudie, à l'Arithniologie par plusieurs de ses conséquences. Enfin, elle rend des services importants dans la Théorie des Ibnrtions et dans les applications géométriques du Calcul infinitésimal. Des auteurs considérables ne craignent pas de consacrer aujourd'hui d'importants chapitres à la Géométrie de situation ou

\alysis situs, comme l'ont fait MM. Picard et Simart Théorie des fonctions algébriques de deujc variables indépendantes. C'est une sorte de Protée affectant des furnies diverses, suivani le but pour-

Dans la Géométrie de situation, ce n'est plus la mesure que l'on se propose ; ou examine les figures ou les objets, au point de vue de leurs positions respectives; ainsi, dans les surfaces, ce sont les ordres de connexion qui constituent l'étude essentielle, Les problèmes si nombreux et généralement si difficiles, concernant les jeux d'échecs, de dominos, les labyrinthes, les figures magiques, etc., appartiennent àla Géométrie de situation. Dans cet ordre d'idées je ne résiste pas au plaisir de citer un des ouvrages les plus originaux et les plus curieux qui aient été publiés dans ces der- ^l^iières années, ouvrage d'autant plus intéressant qu'il ^■^émane pas d'un mathématicien de profession. Je veux ^Hàrler du livre de M. Gabriel Arnoux : Arithmétique ^^raphigue ; les espaces arithmétiques hypermagiques. Il serait surprenant que les idées si profondément nouvelles et fécondes semées dans ce modeste volume

io6 LA MATHÉMATIQUE

n'arrivassent pas un jour à produire d'heureux et brillants résultats dans les questions arithmologiques, lorsqu'un savant de haute valeur, et désireux de faire progresser la Théorie des nombres, voudra se décider à en prendre connaissance et à en tirer parti.

GlIAPITRE VU La Géométrie analytique.

Les coordonnées. — De tout temps, on a fait appIica-1 tion (iii calcul à la Géométrie. Ce n'est donc pas cette J application qui caractérise l'iniinortelle découverte de I Descartes, l'inventeur delà Géométrie analytique. Mais 1 il a eu la gloire de donner à cette application un caractère systématique uniforme, et d'établir que toutes les j propriétés géométriques pouvaient se traduire par dea '] relations numériques- Pour arriver à un tel résultat, il allait tout d'abord montrer comment par des données numériques il était possible de représenter le point, premier élément essentiel de toute figure, et de fixer ainsi la position d'un point. C'est à quoi l'on arrive par ' rétablissement des coordonnées.

Pour plus de clarté, nous ne parlerons tout d'abord ici i

^^ue di

menci

) questions de Géométrie plane, et nous cornons par définir les coordonnées recUlignes ou , cartésiennes. Si deux droites fixes qui se coupent, X'OX,

iiii t,t iu.4riii:M.ii/Qtf

appelle l'éi/ualion de la ligne; une ligne étant définie, son équation s'ensuit, el réciproquement l'équation d'une ligne étant donnée, on peut on déduire la forme, la position et les propriétés de cette ligne.

Pour préciser, il faut bien remarquer que la définition d'une ligne implique ses propriétés et qu'iiu point de vue qui nous intéresse, cette définition est nécessaire pour que la ligne ait une existence. Suivant la remarque très juste d'Auguste Comte, toute définition géométrique explicative est une équation de cette ligne dans un certain système de coordonnées, si l'on traduit en symboles numériques la définition dont il s'agit. Pour prendl-e le plus simple des exemples, cette définition ; « la circonférence est une courbe dont tons les points sont à tme même distance d'un point fixe appelé centre » donne l'équatitin i=a, en coordonnées polaires, si l'on prend l'origine O au centre et si l'on désigne par a la longueur du rayon.

Il peut être parfois assez difficile d'eff'ectuer cette traduction, mais elle est toujours philosophiquement possible, et il s'ensuit que toute ligne ne peut en réalité être conçue autrement que comme un lieu géométrique. II y a plus; c'est que lorsqu'on a trouvé l'équation, en coordonnées cartésiennes par exemple, cette équation elle-même n'est en réalité qu'une forme spéciale de la définition de ee lieu géométrique.

Cette identité de la représentation analytique (') des lignes avec la notion des lieux géométriques est de la phis haute importance. C'est 1<) l'origine de tous les résultats si nombreux et si féconds de la Géométrie analytique; c'est là aussi qu'il faut chercher le lien étroit et indîssohible qui unit la science du calcul à la science de l'étendue.

(I) Le mut ■ otioljlique - tsl uppliijut' ii:i pour «iprioier l'ciiiplcii du calcul, ■uivont l'iiQag^ habitue]. 0«t dans le même sens qn'il enti'e dani In désignation de la bronche qui nous occupe, lu Géométrie analytique. Il Tuai d'aiUeura reaonnaiire que la méthode analjilifiue est ici d'un usage tellement oonitant que l'expression est asseï justifiée.

^^P LA GEOMÈTHJE AXALrTIQUE "'1

Quand on se propose un problème déterminé: «trou- I ver nn point qui jouisse de telles ou telles proprié- I lés, » si l'on néglige une de ces propriétés, on recon- I naîtra que le point doit se trouver sur luie ligne,.! autrement dit qu'il doit appartenir à un certain lîea 1 géométrique dont l'équation es,\ f[x,y)^o. Si l'on fait 1 abstraction au contraire d'une autre des propriétés I énoncées, le point devm av. trouver sur un autre lieu I géométrique, ayant pour équation tp [x, y) = o. II devra I donc se confondre avec l'un des points communs aux! deux lignes en question, et ses coordonnées vérifiant] à la fois les deux équations seront obtenues en résol- 1 vaut le système qu'elles forment à elles deux ; le pro- I blême de Géométrie a été ainsi ramené à iine question I de calcul. I

Pour la recherche des lieux géométriques eux-mûmes,l la Géométrie analytique nous offre une ressource noa'l moins merveilleuse, à cause de sa généralité. On s'en 1 rendra compte par un exemple simple; supposons qu'il I s'agisse de déterminer le lieu géométrique des points 4 tels que le rapport de leurs distances à un point P etl à une droite (D) soit égal à — - Supposons qiic M soit 1 l'un des points du lieu cherché, et appelons X la dis-! lance MP; la distance de M à (D) sera a).. Ainsi M | appartient à la circonférence de centre P et de rayon X; J soit f\x,y,')-)=^ o l'équation de cette circonférence;! M appartient aussi à une droite parallèle à (D) à une I

fstance 2À; soit f{x,y,X) = o réqualion de cette \ oite.

Si l'on vient à éliminer / entre ces deux équations, on aura une relation qui devra exister nécessairement entre x et y, quelle que soit la valeur attribuée à ).. Ce , sera donc précisément l'équation du lieu demandé.

Il est bien facile de reconnaître que le raisonnement 1

présetilé sur cet exemple très simple est d'un nsagdfl

^entièrement général, ^^|H

ll> LA M.iniKM.ITJQlE

TranafoTmatîon des coordonnèeB; classiffcation des lignes. — Lorsqu'une ligne Psl rapportée à un système d'axes coordonnés cartésiens OX, OY, elle a une certaine équation /"('.r, y) =;o.Onpeut se proposer de cherrher quelle serait son équation si on la rapportait à uu autre système 0,X,, 0|Y|. La Géométrie analytique résout ce problème en le ramenant à un autre plus simple, et que voici : lonnaissanl les coordonnées x,^ d'un point M par rapport à OX, OY, trouver ses cooi-données x„ y,, par rapport à O, X,, O, Y,.On établit que .r,, ^/^ s'expriment par des fonctions du premier degré de ,r, 3/, et inversement, et il résulte immédiatement de là que l'équation d'une ligne /'(.r, t/) ^^ o, si elle est algébrique, conserve le mémo degré quand on passe d'un système d'axes coordonnés à un autre système. C'est l'avantage capital et incontestable de la métbode des coordonnées cartésiennes, car elle permet, par cela même, d'établir une classification de toutes les lignes qui ont des équations algébriques, et qu'on appelle courbes algébriques, d'après les degrés des équations elles-mêmes. C'est aux lignes qu'on applique désormais le degré, ou Yordre, comme l'on dit plus souvent peut-être. L'unique ligne du premier degré ou du premier ordre est la droite; les lignes du second ordre sont les coniques (ellipse, byperbole et parabole) ; et de même pour les lignes algébriqi d'ordres plus élevés.

qu^

Extension à l'espace. — On comprend aisément la plupart des notions générales de Géométrie analy tique que nous venons d'indiquer, surtout en ce qui touche la métbode des coordonnées cartésiennes, sont susceptibles d'une extension à la Géométrie de l'espace. Que l'on suppose, en effet, trois axes coordonnés OX, OY, OZ formant un trièdre, et en menant par un point M des plans parallèles aux faces, on obtient sur OX, OY, OZ trois points d'intersection P, Q, R.

■ LA GF.OMETHJE A .VALri'IQrrF:

nombres qui mesurent les segments OP, OQ, OR son les coordonnées de M; los coordonnées d'un poin' délerminent ce point ; et réciproque me ni la position dun point entraine la connaissance de ses coordou' nées, le tout sans ambiguïté.

Une équation /'(j',)/,z) ^^ o qui lie les trois coordonnées d'un point variable représente une surface ; on peut cbanger d'axes, et l'équation d'une même surface, si cette équation est algébrique, ne change pas de degré lorsque les axes changent, en sorte que les surl'aces algébriques peuvent être classées d'après leurs degrés, ou leurs ordres.

En tout ceci, l'analogie est manifeste. Elle l'est tellement, surtout au point de vue du calcul, qu'il est permis de se demander s"il n'y aurait pas un véritable intérêt, dans.uiic exposition doctrinale un peu complète de la Géométrie analytique, à présenter l'ensemble des' théories essentielles concurremment dans le plan et ilans l'espace, et en s'élevant tout naturellement d'une notion à l'autre ; de rares tentatives ont été timidement faites jusqu'ici dans let ordre d'idées ; nous serions étonné si quelque jour elles ne finissaient pas par produire des résultats efficaces, sous l'influence d'efforts nouveaux et plus énergiques.

Il faut néanmoins reconnaître que certaines notions de la Géométrie analytique de l'espace semblent se refuser, mais plus en apparence qu'en réalité bien' souvent, à la poursuite de cette analogie. C'est ainsi qu'une ligne dans l'espace, c'est-à-dire en général une courbe gauche, est représentée par l'ensemble de deux équations f{-r,t/,z) = o, ïj{.r,i/,s) = o, ce qui traduit cette vérité géométrique qu'une ligne est l'interseclioii de deux surfaces, Mais en tout cas, si la mise en œuvre du calcul peut arriver dans certaines questions à se compliquer et à présenter des diUicuItésparliculières, l'esprit général de la science reste le même ; t toujours, uniformément, la réduction systémalique'i

ni LA MATIlÊ.li ATIQI E

tle toute question de (jéométrie à une question de oui qui constitue le but essentiel tle la Géométrie analytique ; et ce but, on l'atteint par dos moyens analogues, qu'il s'agisse du plan ou de l'espace. Si donc nous établissons une distinction dans les rapides considérations qui vont suivre, c'est uniquement dans le but d'être plus aisément suivi et compris.

caT- 1

cier j ette I

Théorie àea courbeB planes. — Pour se faire une i< complète de la Géométrie analj-tique et en apprécier l'immense étendue, il ne faudrait pas restreindre cette science aux éléments qui figurent d'habitude sous ce litre dans renseignement. Elle comprend en réalité toutes les applications du calcul, et notamment du Calcul infinitésimal, à la science de l'étendue ; et il esl digne de remarque que ce soit |)récisément l'étude des courbes planes, considérée au point de vue de la recherche des tangentes, qui ait conduit à la création du Calcul influitésiraal, comme nous avons eu l'occasion de l'indiquer précédemment. Cette observation confirme bien la grande unité de la Mathématique, dont les diverses branches, tout en se ramifiant à l'intini, arrivent à se souder entre elles et â se prêter un mutuel appui.

L'étude des courbes planes, avec le secours de la Géométrie analytique, de l'Algèbre proprement dite et du Calcul infinitésimal, peut être faite à un double point de vue. Il est possible d'en étudier successivement les propriétés, en commençant par celles d'un degré plus faible pour s'élever de proche en proche, sauf à examinera parties courbes transcendantes {dont les équations ne sont pas algébriques) ou du moins quelques-unes d'entre elles.

L'autre méthode consiste à remarquer que certaines recherches s'appliquentégalement d'une façon uniforme à toutes les courbes, soit algébriques, soit transcendantes, et à construire ainsi des théories généralea.

■ LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE I iS 1

dont l'application se fera ensuite aux courbes dea<:l divers degrés, et sera généralement d'autant plus dif-V ficile que le degré sera plus élevé. m

La première méthode a prévalu pendant de longuesfl années, et c'est à peine si l'étude ordinaire de Is^ Géométrie analytique avait dépassé les coniques et» quelques aperçus concernant les courbes du troîsièmoV ordre, jusque vers le quart du xix" siècle. Mais les tra-^ vaux plus récents accomplis dans le monde mathéma-a tique tout entier ont été marqués par une tendancefl contraire et plus philosophique. C'est vers la secondcrfl méthode qu'on s'est orienté désormais, se préoccupantfl des théories générales beaucoup jilus que de l'étude! particulière des courbes de tel ou tel degré. m

Ce résultai, dont il y a lieu de se féliciter quant aux.fl espérances de progrès futurs qu'il permet de concevoir, ■ a été dû pour une bonne part aux conquêtes de la Géomé- 1 trie moderne, qui fournissait assez de ressources pour l'étude des coniques et permettait ainsi à la Géométrie analytique de prendre son essor vers des régions plus vastes et plus dignes d'elle.

Nous devons nous borner à mentionner ici quelqui unes des questions qui permettent de constituer autant I de chapitres particuliers de la théorie des courbes planes. L'une des plus importantes, et qui appelle surtout l'Algèbre à son aide, est celle de la détermination d'une | courbe par un certain nombre de points. Très simple dans les cas ordinaires, le problème se complique et présente de réelles difficultés, qui ne sont pas tontes aplanies, lorsque l'on considère les points particuliers qui offrent des singularités, en particulier les points multiples, d'innexîoH, de rebroiissement, etc. Le principe de dualité rattache à cette question celle de la détermination d'une courbe par des tangentes, et conduit à la notion de la classe d'une courbe (nombre de tangentes qui peuvent en général lui être menées par un point quelconque).

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de la Géométrie

EoSn. U détermiiMboii d«s aires des courbes et des longueur» de leurs ares, releraot du Calcul intégral, rentre rgalemeol dans ces généralités dont l'applicalion peut ensuite être faite à toute courbe particulière- Cette éuumération. nécessairement incomplète, préttenlerait la plus grave des lacunes si nous ne signalions l'importance de l'étude générale des transformations faite nu point de vue delà Géométrie analytique. En parlirulînr, les transformations spéciales qui donnent lieu aux polaiiofl, aux caustiques, auxconchoïiles, aux courbes pHrolléIca, présentent un intérêt tout à fait général.

.Noua insistons sur ce fait que nous ne nous proposons iiiillninont ici de reproduire une table des matières il'un traité de Géométrie analytique en ce qui touche lu théorie générale des courbes planes. Nous tculenioul voulu, par l'indication de quelques e montrer coinliien est vaste, et même indéfini, c d'étude on tant de brillanlcs moissons c dl^jà, «iirliml depuis un demi-siècle.

l^ri'lld luie extension