CHAPITRE V La Théorie des fonctiODS

Explication préliminaire. ^—Aprèa ce que nous avons] (lit clans les deux derniers chapitres, plus d'un lecteur, ^ en voyant le titre de celui-ci, aura le droit d'éprouver I un certain étonneinent. L'Algèbre a pour but essentiel I l'étude des ibnclions ; le Calcul iniïnitésimal intro-l duit dans cette étude des moyens nouveaux d'investigation et de démonstration. Ne semhle-t-il pas que tout | doive se borner là, et qu'il n'y ait plus place pour une doctrine nouvelle ?

Penser qu'il en est ainsi, cependant, serait méconnaître la plus grande et la plus belle part, peut-être, de l'œuvre mathématique du xix° siècle. A cette partie j de la science s'attachent les noms de Legendre, Abe!, 1 .lacobi, Cauchy, Riemann, Weierstrass, Halphen et de | MM. Mittag-Lcfller, Fuchs, Klein, Schwarz. Sophus Lie, Picard, Poincaré, pour ne citer que les plus l'auieux. A j l'heure présente, c'est peut-être dans cette direction que J se poursuivent les plus importants travaux mathématiques parmi les géomètres contemporains.

k Origine de la Théorie dea fonctions, — Lorsque après ' découverte du Calcul infinitésimal, on se mit à i l'œuvre pour aborder l'intégration des expressions algé- à briques, il fallut bientôt reconnaître que certaines 1

7H LA MATtlf:M.I riqvE

iiilc^nilioiis lU' cette iiatuie, simples en appai (cependant, préseiitaictil une dillicullé insiirmonlable e résista if lit k tmis les ell'orts. On s'était habitué jusqu'alors à ne ffuére consittéri'r d'autres fonctions que celles qui pouvaient s'exprimer par les signes ordinaires de l'Algèbre ; et l'obstacle contre lequel on venait se heurter démontrait jusqu'à l'évidence que cette conception de l'idée de l'onction devait Mre étendue. Les intégrales nouvelles qu'on n'arrivait pas à déterminer n'en constituaient pas moins de véritables fonctionti transcendantes nouvelles. Quelques-unes de ces transcendantes se présentèrent à l'occasion de la détermination de la longueur d'un arc d'ellipse, ce qui leur valut, ainsi qu'à d'autres intégrales analogues, la désignation iX intégrales elliptiques. A ces intégrales, au nombre de trois, furent ramenées toutes les intégrations d'expressions contenant la racine carrée d'un polynôme Au troisième ou du quatrième degré. C'est à ces intégrales que Legendre, avec une adiiiirahlp patience, consacra une grande partie de sa vie ; mais malgré l'importance de ses travaux, il en méconnut le caractère essentiel.

Pour élucider la question, il était nécessaire déconsidérer les inverses des intégrales elliptiques, car ce sont ces fonctions inverses qui offrent en réalité de.s propriétés caractéristiques. Mais toute la foule des vérités mathématiques qui devaient sortir de là exigeait d'autre part l'extension des opérations du calcul aux quantités dites imaginaires. C'est l'un des principaux titres de gloire de Cauchy d'avoir jeté sur cette dernière question de véritables flots de lumière; antérieurement, Jacohi avait fait ressortir les principales propriétés des nouvelles fonctions, et surtout leur double périodicité.

Cette notion de la double périodicité joue dans cette théorie un ai grand rôle qu'il nous semble intéressant de faire comprendre en gros quelle en est l'essence. Lorsqu'une fonction /"(j) est telle qu'elle reprend de»-

I IBEORfE DES EOSCTtOS

valciirs pareilles pour des valeurs de x qui diffèrent ' entre elles dune quautilé déterminée, si bien que l'on a

=fix~d\=fix—id] =

quel que soit x, on dit que la fonction f^x") est perûfi digue, el que la période est d. Par exemple, toutes 1« Ibnctions circulaires de la Trigonométrie sont périodiques, par leur définition luénie.

Lorsqu'on étend aux imaginaires ta notion de fonC' tion, on peut, comme nous l'avons précédemment indivj que, représenter par une droite limiléeOXla variable ^r.! A chaque position de X sur le plan correspondra uaeV

valeur y de la fonction f[x), valeur en général îmagiTi naire et représcntable par OY. Le point X, au lieu dfti se déplacer sur une droite, doit varier dans tout le pla! lorsqu'on donne à la variable x toutes les valeurs possibles. Or, si l'on a tracé sur ce plan un réseau dej parallélogrammes tous pareils et si le point X vient enl X,, X,, Xj,... occuper des positions semblables dans leB"! divers parallclugramuies, il peut arriver que la fonction /"(.r) reprenne chaque fois exactement la même I valeur. On dit alors qu'elle est doublement périodique..\ Les deux périodes sont les quantités imaginaires ( représentées par les deux cotés du ])arallél()granii]i il est clair qu'on a

et n' étant deux nombres entiers quelconques.

8o il ilATIIÉMATIQVE

Le» fi)iu-tioii.s clliptitjues, r't'sl-à-iliro Iks fonctions inverses des intégrales elliptiques, jmiisspnt de cette propriété qui est absolument fondamentale, et qui n^aiiraît jamai» pu s'établir saus l'introduction des imaginaires dans le calcul. Ces fonctions se rencontrent a tout instant dans les questïoni^ de Mécanique ou de Physique. Elles permettent d'exprimer des intégrales impossibles sans ce secours nouveau, et on comprend même qu'elles rendent .praticable Tévaluation numérique de ces intégrales, si des tables en ont été préalablement dressées. Mais pour l'instant, c'est leur intérêt théorique qui nous semble principalement digne de retenir el de fixer l'attention du lecteur.

II est permis de se demander si la pénétration delà méthode des quaternions n'est pas appelée dans l'avenir à étendre encore les notions dont nous venons de parler, et à devenir l'origine de nouveaux progrès. La représentation des quantités dans l'espace nous fait entrevoir la possibilité de fonctions triplement périodiques, de même que la double périodicité est née de l'introduction des imaginaires. Mais ce ne sont là que <les conjectures sur un avenir peut-être encore bien lointain.

Classiûcation des fonctions. — Les fonctions elliptiques, nous venons de le voir, donnèrent à l'idée de fonction une généralisation extrême. Les études qui se poursuivirent ensuite conduisirent les auteurs à distingiier, d'après telles ou telles de leurs propriétés, les fonctions en familles de plus en plus nombreuses; il y eut même un luxe de dénominations dont il ne convient pas de se féliciter, car c'est à peine si l'on s'y reconaalt encore aujourd'hui, des expressions différentes sei'vant souvent h dé.signer des choses identiques.

Cependant un certain ordre a commencé à s'étaHiP, et, la première période d'enfantement passée, le chaos est devenu progressivement moins obscur. Il en a

n en Ȉi^

r..t rutjoitn; des royrTio.vs tii 1

de intime des notations, primitivement peu ordonnées, ■ pas toujours rationnelles, et (pii ont ajouté aux grandes I dilTicullés que le sujet comportail par luî-jnénie. Nous I n'essaierons même pas ici de rappeler quelques-unes I des dénominations employées. Jlais ce que nous vovi- I Inns retenir, c'est une idée générale, qui consiste essen- I (tellement à classer une l'onction par ses siiigularilés; I un appelle ainsi, d'une façon générale, toutes les valeurs. I dans le voisinage desquelles il se produit un fait excep- I tionnel ; cette notion mathématique emprunte beau- 1 coup à la Géométrie, à l'exemple d'un grand nombre 1 d'autres. Ce sont ces singularités qui, par leur nature 1 et leur distribution, fournissent les cléments d'une 1 classification rationnelle; à chaque famille de fonctions I correspondent certaines singularités, toujours les mé- | mes, qin caractérisent cette t'amille. Cette classification 1 semble avoir contribué dans une très large mesiu'e aux I progrés de la Théorie des fonctions. 1

Étade des fonctions. — Dans l'ordre d'idées «pie nous cherchons à exposer, ou plutôt simplement à faire com- I prendre d'une manière générale, les fonctions ne sau- i raient s'étudier, comme on le l'ait en Algèbre, sur les I symboles dont on se sert pour les représenter, puisque I l'es symboles n'existent ]»lus. Elles sont définies, comme J nous venons de le .dire, par leurs singularités, et ces j singularités sont elles-mêmes révélées par l'examen i de.s équations dilférentielles correspondantes. Le nom~ hre des propositions générales sur les fonctions ainsi i définies, sur leurs relations et leurs propriétés respec— j lives, est devenu très granil, et quelques-unes de ces i propositions, en raison de leur généralité, présentent i une importance de premier ordre. C'est tout un monde nouveau qui se révèle, et dont les plus illustres géomé- J très des siècles précédents ne pouvaient même avoir la pensée. Le calcul n'intervient plus à la manière habi- ' tuelle, il ne se met pas au service du raisonnement, J

8) LA .V.ITIIÉMATIQLE

pour lu soulager et le suppléer au besoin, en triturant, suivant des règles Inen C'tablie», des symboles dont la signification est |)rècise. Il faut — et o'est la plus grande difliculté de celte branche de la Mathématique — attaquer ici les proLlênies en eux-niCnies, pénétrer jusqu'au i'ond la nature dos choses, remonter aux origines et aux définitions, et n'avoir recours au calcul, dans le sens habituel du mot, qu'à titre d'instrument accessoire, bien qu'il présente souvent par lui-même de très grandes difficultés.

Cette méthode d'étude des fonctions sur les équations différentielles auxquelles elles satisfont devait avoir pai" contre-coup, comme conséquence, une inlluence considérable sur la théorie des équations différentielles elles-mêmes et sur leur intégration. 11 n'y a pas lieu, dans le sens moderne, et en se plaçant au pointde vue de la Théorie des fonctions, d'attribuer à ce mot d'intégration une .signification identique à celle qu'il avait dans le Calcul infinitésimal ordinaire. C'est ce que M. Painlevé, par exemple, a très nettement fait ressortir dans ses remarquables Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles. Une intégrale est uniforme lorsqu'elle n'admet qu'une seule détermination. Or, — nous citons ici M. Painlevé — k dans ces dernières années, grAce surtout aux travau.x de M. Weicrstrass et de M. Mîttag-Lefller, la repréeentation des fonctions uniformes a fait de tels progrès qu'il sera toujours possible, si l'intégrale est uniforme, de la définir et de la suivre dans tout son domaine d'existence, à Taîde d'un développement unique, et c'est en cela précisément que consiste Tintégration entendue dans son sens le plus large ».

Cela explique et justifie cette remarque du même auteur, placée dès le début de ses Leçons : « Une équation dont l'intégrale est uniforme doit être regardée comme intégrée au sens moderne de ce mot », 11 semble au premier coup d'œil que des spéculf)!

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qui l'appliqaent. romi^x les in g f n ienrs, par exemple.

1 1 est facile de fanv lo^iher cette a[^nrenle roatradiction. si l'on «eul Uea y têAécfcàr et regarder les choses [l'un peu prés. Pour qn'un problénte queKx>nquc soit utilisable au point de vue pratique, il suflil que les résultats en puissent être traduits en nombres, dans chaque cas particulier, arec une approximation déler- I minée, qui corresponde aux Bécessités de la question [ elle-même et aux erreurs que nous commeltuns niH-es- ) saîreuient dans nos observations, nos expériences et noa mesures. Dés lors, si une expression, dont nous n'avons pas la notion par un symbole particulier, pcvit i^lre obtenue par un développement en série, la laeullé de i-alculer cette expression avec telle approxinmtioii qiui nous pouvons désirer s'ensuit nécessairement.

La tâche du mathématicien pur est Icniiiiiée, quand il a indiqué de la sorte comment ou pourrait trouver lu ijolution; le reste n'est plus qu'une question d'Arillmiétique, plus ou moins pénible, qu'on pourra l'aiûliti^r par la construction préalable de tables, ou par de» urtificnH plus ou moins ingénieux,

A voir de près les choses, n'en est-il pu» de nu^nn pour les fonctions les plus élémentaires, pour le» lif^nci trigon orné triques ou les logarilhnieH, [>ar exemple Lorsqu'un résultat est exprimé par une (ontiule ronlf ï telles fonctions.

84 £.1 MASIIKMMIQVF.

latimi i\v calculs ii l'uire, et ilc rnlnils approchés? Et iiéaniniiiiistoiis 1ns ingcnicui:*, lous les praticiens ayant hi'sdin d'upiilii^uer la .Matht-tnalii|iie hêsit<>nt-iU 6 .se servir d'un sinus ou il'iin cosinus, ou à ouvrir une table (le logaHlKnies'.'

En celte inaliêre, comiiiF en beaucoup il'autpes, les liabiliidea prises jouent un grand rôle ; mais il est à prî'- Huaior que, dans un avenir qui n'est pas bien éloigné, les résultats de la Théorie «les fonctions pénétreront dan» les applications elles-mêmes et y rendront d'ëclataiils services.

L'Interpolation. — C'est avec intention que j'ai tenu à incorporer ce sujot dans le présent chapitre, bien qu'il n'ait pas un rapport direct avec les développements qui précèdent. Habituellement, le problème de l'interpolation est traité, ou plutôt ellleuré dans leaconrsd'Algôbnt, où il semble tenir une place accessoire. Dans les limites étroites où d'habitude on l'enserre, il est assez naturel d'en agir ainsi. Mais la portée du problimie général de l'interpolation est à mon avis bien plus étendue ; à cause du rôle que joue cette question dans la Mathématique appliquée, elle constitue l'un des plus intéressanL" chapitres de la philosophie naturelle. Eu raison de cette importance, elle prend un caractère très général qui niériti! qu'on lui fasse une place à part, même dans lo domaine de la Mathématique pure. Ce caractère de l'interpolation parait avoir été quelque peu méconnu, puisque, même à l'heure actuelle, on a mutilé sur ce point certains programmes d'examens à un degré que rien n'excuse. Nous reviendrons s'il y a lieu sur ce point spécial en partant de l'enseignement mathématique; pour l'instant, nous voulons simplement tirer argument de ce délaissement injustïliable, en faveur de la nécessité d'une explication un peu développée.

Lorsqu'on entreprend d'étudier une. loi naturelle quelconque, une relation de cause à effet, il s'agit en

^H LA TIIEOIIIE DES rOi\Cr!0.\S 85

général (le savoir cuiniiieiit varie une grandfiif lorHqiie j trcrlaines autres gramicitrs sont elles- intimes variables. I Autrement dit, les lois sont expnm<!'es par des fonctioiis J naturelles, et l'applieation de la Matliônialiqiie doit avoir 1 pour objet final de transl'oriner ces (bnelions naturelles I en fonctions inalliéinatiques. |

Nous supposerons tout d'abord, pour plus de siin- 1 jilicité, qu'il s'agisse d'une seule variable indépendante. I Dans certains cas, des considérations rt/3/7'w(, des hypn- 1 llièses plausibles ou des notions antérieurement ac- 1 qutses peuvent permettre de formuler la loi dont il ] s'agit; et dès lors l'expérience n'a plus à intervenir qu'a J titre de vérification, ai cetteloi est vraie. Mais dans bien | d'autres circonstances, en Météorologie, par exemple, I oii tes considérations purement théoriques sont perpétuellement en défaut dans l'étal présent do cette j science, il est manil'estemenL impossible de procéder 1 comme nous venons de le dire. Tout au contraire, il j faut mettre les faits, c'est-à-dire l'expérience, à la base \ de la science, enregistrer ces faits avec les mesures 1 qu'ils comportent, et tâcher de dégager de cet anioncel- 1 lement de matériaux la loi maihéuiatique que l'on poursuit, ainsi que le fit Kepler pour les mouvements des ' |jlanêtes.

ilais l'expérience, en dé]»il de l'emploi des appareils enregistreurs, ne nous donne pas directement, avec ( l'approximation et la rigueur requises, les valeurs en nombre infini d'une fonction répondant à l'infinité des valeurs correspondantes de la variable dans un intervalle déterminé.

Nous ne pouvons retenir, comme présentant des garanties suffisantes, qu'un certain nombre de valeurs de la fonction inconnue !/,, y,,--,i/„ , correspondant à des valeurs déterminées de la variable j',, .Cj,... .r„, chaque l'iiuple de valeurs corres|)ondantes de jr et de y repré-^ sentant une expérience ou une observation. ^Ê

Cela étant, le problème de l'interpolât ion matbiéHJ^I

r..i .M.irin:.VATiQCE

' l'oni'tion f{.r) qui preni

lique consiste à troir

tes valeurs données de y |)oiir les valeurs correspondantes de J",

Par sa nature même, ce problème est essentiellement indéterminé, ce que l'on comprend instinctivement si l'on remarque qu'il se réduit à celui-ci : tracer une ligne qui passe par n point» donnés. Le nombre des solutions est infini; mais avec quelques conditions imposées, il est possible d'en faire une question ne comportant jilus qu'une solution unique. Si. par exemple, on s'impose la condition que f{jr) sera un polynôme tintier en .r, et que le degré de ce polynôme sera au plus égal à H, Lagrange a donné une formule, très symétrique et fort remarquable, quic(mstituela solution désirée, A Newton on en doit une autre, également fort intéressante, et qui résout le même problême dans le cas particulier oii toutes les valeurs T,, jr,,... ,r„ de la variable indépendante se succèdent en progression par différence.

Mais de telles solutions particularisent à un degré extrême un problème tout à l'ait général par sa nature; Caueliy, qui s'est également occupé de cette question, a montré comment on pouvait aussi interpoler parl'emploi d'une fraction algébrique, et non plus d'un polynôme ; en outre, quelques études siu' ce sujet ont eu pour résultat de taire voir comment il était possible d'employer pour cet objet une forme de fonction dont on dispose a volonté, ce qui peut pré,senter de sérieux avantages suivant la nature de la loi qu'on veut essayer de traduire en formule.

Il faut citer aussi Ampère, qui parait avoir le premier, par l'emploi des fonctions qu'il a nommées interpolaîres, indiqué comment il est possible de poursuivre une interpolation, c'est-à-dire de la modilier h mesure qu'on enregistre de nouveaux couples de valeurs de la fonction et de la variable, sans perdre le bénéfice des calcula antérieurement effectués.