LA GEOMETRIE ANALYTIQUE

nous semble impossible de clôturer ce paragraphe surfl la théorie des surfaces sans signaler l'œuvre si consi-J dérable de M. Gaston Darbonx, dans laquelle sonil résumés les travaux les plus intéressants relatifs à c sujet : Leçons sur la théorie des surfaces et les appli^ calions géométriques du calcul infinitésimal.

R Coordonnées trilinéaires ettétraédriqueB; coordonnée angentieUes. — Nous avons indiqué plus haut qu peut imaginer à l'infini des systèmes de coordonnées. Parmi enx, il en est un dont l'usage est tellement répandu et souvent si utile qu'il mérite ici une mention , Mpéciale.

■ Si Ton prend un triangle ABC et un point M dansi 'son plan, on peut considérer les distances a, p, y de ce^ point aux trois côtés du triangle, ou encore les nombres a', ^', y 9*^* mesurent trois poids placés en A,B,C etj| dont M serait le centre de gravité. Trois nombres quelconques proportionnels à *, p, y ou à a', ^', ■/ sont] ce qu'on appelle les coordonnées iriliiiéairesdece pointM par rapport au triangle de référence ABC. Dans le premier cas, on a des coordonnées normales; dans le second, des coordonnées barycentriques. Ces coordonnées trilinéaires sont toujours homogènes; c'est-à-dire qu'on peut remplacer les coordonnées par des nombres proportionnels quelconques; et les équations de lignes qu'on obtient sont toujours homogènes, et du mèmoJ degré qu'en coordonnées cartésiennes. On peut d'aillenrsv ! servir d'autant de systèmes de coordonnées trili- ' jéaires qu'on voudra, en plus des deux qui précèdent. ) On pi'essent l'analogie et l'extension possible à l'es- Ace, en prenant un tétraèdre de référence ABGD au Wud'un triangle. S'il s'agit par exemple de coordonnées iârycentriques, a, 3, y, 5 (ou des nombres proportionlels) seront les coordonnées du point SI, si M est le jentre de gravité des quatre poids a, p, y, 5 placés en !, B, C, D. Ces coordonnées tétraédriques rendent de

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grantia &orvircs dans beauroup tie qucïîtioiis, i\e même que lus coordoiini'os Irilinraircs pour le plan, en simplifiant h'S ralcnls rt leur dunnanl une plus grande symétrie.

On a été conduit aussi, et surtout par rapplicatîotiileïi l'oordonnécs homogènes qui- nous venons d'indiquer, à l'emploi des coordonnées langentielles. Celles-ci résultent lie l'introduction du principe de dualité. Si dans le plan par exemple «a + c^-)- h'Y= o représente une certaine droite, les valeurs M, t', il" caractérisant cette droite seront dites les coordonnées langentielles de la droite en question. Ou étaliïit alors qu'un point est repiéHeiilê par une équation du premier degré.

Dans l'espace, les coordonnées //, e, ii', * sont celles d'un plan. L'n poiul est représenté par une équation du premier degré. Une droite est déterminée par les coordonnées de deux plans passant par cette droite, ou bien par les équations de deux points qui lui appar-

tiennent. Ces diverses coordonnées, :

l'on

possède

un peu le maniement, sont du secours U- plus précieux dans bien des cas; et elles ont le très grand mérite d'établir un lien moins indirect que les méthodes habituelles entre les symboles algébriques employés et les laits géométriques auxquels ces symboles correspondent.

Le Calcul géométrique. — Malgré les résultai

ble;

s qu

L doit à la <

epllun de Descartes et

à l'usage des coordonnées généralisées sous mille formes, il est permis de se demander si, parvenue au point où elle en est aujourd'hui, la Géométrie analytique n'aurait pas avantage à emprunter un autre secours.

Nous avons déjà signalé, au point de vue algébrique, l'intérêt que présente la méthode des équipollences en ce qui concerne les faits de la Géométrie plane, celle des quatornions pour ceux de l'espace, et la méthode de Grassmanu. D'une façon plus générale encore, tout

/.A GEOMETBIE .

MYTIQVF.

;tème dans lequel les éléments géométriques seront représentés directement par des symboles suseoptibles d'être t'ombinés suivant les règles d'une Algèbre précise constituera un Calcul géométrique.

Qu'il s'agisse d'un Calcul géométrique déjà connu, ou â découvrir, on comprend les avantages qui s'ensuivent, et qui n'excluent d'ailleurs en rien l'emploi des coordonnées dans certains cas spéciaux. Cette relation directe entre les formules et les faits à éludier est un grand soulagement pour l'esprit et apporte de la clarté; car souvent l'appareil du calcul cache la vérité essentielle que co calcul contient sous une forme nuageuse. La simplification dans les écritures est aussi un bienfait fort appréciable. Mais il y a plus encore; l'Algèbre systématiquement appliquée par la voie des coordonnées, manque de souplesse et ne se prête pas à des luiances géométriques, pour ainsi dire, qui ont cependant leur importance; il s'ensuit, quant aux conséquences géométriques, qu'on peut arriver à des résultats, sinon faux, du moins imparfaits; à cette imperfection un calcul géométrique bien établi portera remède, parce qu'il aura tiré ses principes essentiels de la Géométrie elle-même.

Pour éclaircir cette idée par un simple exemple, on sait qu'en coordonnées rectangulaires l'équation .r!^ -\-y' = I représente une circonférence, et.r' — y'^ ' une hyperbole équilatère.

On dira encore que ces éqii Hjit celles-ci :

^aussi aux deux systèmij

,1B B„nl

livalentes

= l/JI^

:= Cli(,i

1 conduit

( étant un certain paramètre dont l'éliminati eu effet aux équations primitives.

Or, l'équation (i) donne bien réellement tous les

tsi LA MJTBÉlÊJTIQC£

points dv la firronfrrencr si l'on fail varier j- Ae — ■ â+ ■; l'équation (i"> donne tons les points de l'hyperbole si X varie de — x à — i ou de i à -J- ac, Cbacun des points est obtenu une seule fois, et on cesse de ries obtenir si l'on sort des limites indiquées.

Au contraire, le système (3'^, quand nous faisons varier /de — 30 à + 3c . nous donnera une infinité de fois la m^me cirronférence. Et quant au système («') dans les mêmes conditions, il ne roiiniii-a que la moitié de l'hjperbole, c'est-â-dire l'une de ses branches senlemenl.

On voit combien des calculs algébriques pareils, ou semblant tels, peuvent répondre à des faits géométriques essentiellement divers, et quels services pourrail rendre le calcul géométrique en faisant disparaître de telles confusions. Les équipollences en effet, dans les exemples que nous venons de citer, dissipent aver la plus grande facilité ces obscurités tant soit peu paradoxales.

La représentation analytique des figures est un chapitre de la science auquel on n'a peut-être pas jusqu'ici apporté tout le soin attentif qu'il faudrait; et le Calcul géométrique seul est de nature à rendre possible une œuvre de cette uature.

L'introduction des imagiaaireB en Géométrie analjtiqae. — La nécessité d'interpréter les résultats de l'Algèljrc a conduit depuis longtemps à introduire en Géométrie analytique des figures imaginaires, auxquelles on prête une réalité sans qu'elles aient aucun caractère objectif. Sur ces figures on raisonne comme si elles existaient réellement, et cela n'a nen que de très licite; mais il faut bien reconnaître, la encore, qu'on ne fait guère autre chose qu'énoncer des vérités d'ordre algébrique en les habillant d'une autre manière. Quand par exemple on dit qu'une droite extérieure à un cercle le coupe en deux points (imaginaires), quand on parle d'une droite (isotrope) qui en chacun de ses points est per-

LA GEOMETRIE AyALYTlQUE 1j3

pendiculaire à elle-mt^me; d'un foyer, qui n'est autre tliose qu'un cercle de rayon nul doublement tangent à une conique, toutes ces formes de langage sont faites pour surprendre celui qui en ignorerait l'origine pui inenl algébrique ; et elles ne prennent une valeur géomi Irique que par extension, et aussi parée qu'elles pei vent conduire à d'utiles résultats,

11 est un autre mode d'introduction systématique di imaginaires sur lequel un certain nombre de tentatîvi intéressantes ont porté, sans que jusqu'ici on semble élre parvenu à un résultat définitif et décisif. Nous voulons parler de l'emploi de ces symboles imaginaires en coordonnées cartésiennes, lorsqu'on les substitue aux coordonnées elles-mêmes. En d'autres termes, que deviendra géométriquement ie point de coordonnées X, y] ou (t, y, 2) lorsqu'on donnera à x, y, z des ura imaginaires? Comment à ces éléments nouveaux, à ces points de coordonnées imaginaires s'applikqueront les calculs de la Géométrie analytique, et quiproduiront-ils ?

Parmi les auteurs qui se sont occupés de cette quesi d'un haut intérêt, on peut citer surtout Laguerre, Marie, MM. Mouchot et G. Tarry. La question a été ; en ce qui concerne la Géométrie plane ; il reste encore une lacune considérable, car la péométrie à trois dimensions ne se prête pas, ou du moins se prête incomplètement aux conceptions mises

I avant jusqu'ici. Le jour oii un tel problème aura été

finîtivement résolu sera celui d'im grand progrés kccompli en Géométrie analytique,

tes

Définition et objet de la Mécanique. — Oii défini gi- lié Tille ment la Mécanique : « iii science du moiivctnetit et (les causes qui le produisent ". !Mieux vaudrait fi'en tenir n la jircmicre partie, car sur les causes nous ne savons rien ; ou plutôt, nous donnons le nom du causes à des entités et à des locutions Ibrgées par notre cerveau. Du reste, dans toutes les sciences expérimentales, le même fait se produit ; le progrès ne consiste pas à chercher à proprement parler la cause d'iio phénomène, mais â découvrir les lois qui le régissent, et surtout, par l'application de ces lois, à le faire rentrer dans un phénomène plus général, dont il devient une fiiniplc conséquence à titre de cas particulier. Rien n'cmpècliera de qualifier de cause ce phénomène général, pour la commodité du langage, mais on n'aura fait que déplacer la difficulté.

Dans l'échelle générale des sciences, la Mécanique occupe un rang tout parlicnlier, dont elle tire sa haute importance philosophique. Placée aux conhus des sciences dites exactes et des sciences physiques, elle participe à la fois des unes et des autres ; il s'ensuit que

(') Une grande partie des réQei

p/fdit. (Voir l. XXIII, p, 484.)

îme sujet, publié d.