MÉCANIQUE RATIONNELLE

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■êtlispo!

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positions personne i attribuer à cette science des caractères diflTé- 1 icnts et même contradictoires. Si l'on s'est bien pénétré I cependant de la vi^rité sur laquelle nous avons tantfl insisté dans ce cjui précède, à savoir qne toutes les 1 sciences sout expérimentales, on reconnaîtra qu'il n'y I il pUis à déterminer qu'une question de degré, et que 1 celte détermination devient chose relativement facile.

L'observation préalable du monde extérieur, toujours J indispensable, Fournit à la science mathématique pure, J telle que nous l'avons considérée jusqu'ici, un petit! nombre de vérités l'ondamentales, desquelles un sys- 1 lènie purement logique et rigoureusement établi per- \ mettra de déduire un nombre incalculable de eonsé- {(uences. J

Dans les sciences physiques, au contraire, l'expé- J rience et l'observation doivent être perpétuellement en: I jeu ; elles provoquent la recherche de lois nouvelles, 1 et une fois ces lois découvertes, elles en prouvent 1 l'exactitude et en établissent la vérification. ]

En Mécanique, il y a une situation intermédiaire. 1 ,Vucun axiome fondamental n'est directement fourni par l'observation de la nature, et cependant l'expérience n'est pas appelée à une vérification permanente pour le moins inutile. Au lieu d'axiomes (et tout en s'cmparant de tous ceux qui concernent la science des grandeurs et celle de l'étendue) la Mécanique part de ■ |)rincipes Ibndamentaux. Ces principes, nullement évidents par eux-mêmes, sout des vérités qui résultent à la fois de la contemplation raisonnée des phénomènes du monde extérieur et d'une longue suite d'opérations logiques. Les principes de la Mécanique sont donc le résultat d'une synthèse profonde, dont seuls ont été capables quelques génies exceptionnels.

Ces principes établis et formulés prennent un caraclére de propositions mathématiques ; par leur forme iiiéme, en effet, ils montrent que l'abstraclion préalable

1'j6 la MATIIEM.ATIQL-E

el indispensable a déjà élé effectuée ; nous reviendra (lu reste sur ce point d'une extri^nie impartante. De» lora, la Mécanique rationnelle est eu possession des éléments nécessaires à la constitution île toute science mathématique. Nous disons ^/L'cfi/i/^i'era/ro/i»e//e, parce qu'elle ne s'occupe que d'abstractions, d'êtres de raison, parce que le passage du concret à Tabstrait a élt^ effectué déjà, et parce que le retour ultérieur de l'abstrait au concret sera du domaine de la Mécanique appliquée.

Nulle part peut-être ce passage et ce retour ne sonl plus délicats ; et cependant nulle part on ne trouve les résultats de la science pure plus utiles et plus précieux quand on en vient aux applications. L'explication de cet apparent paradoxe tient à ce que les abstractions sont assez rapprochées de la nature pour représenter la vérité des laits avec une approximation suffisante ; et que cependant elles s'en éloignent assez pour avoir pu éliminer totalement les causes de complications qui eussent rendu l'étude des phénomènes scientifiquement impossible.

Introdactioa du temps; la Cinématique. — Le mouvement, nous l'avons précédemment fait remarquer, s'impose en Géométrie ; sans la notion du déplacement des figures, il n'y a plus de science de l'élendue. Maïs les mouvements en Mécanique se distinguent de ceux considérés en Géométrie, par l'introduction d'une grandeur nouvelle, le temps, dont nous avons tous la notion et qui est indéfinissable par nature. Seuiemcnl, comme celte notion est intimement liée à l'ordre de succession des phénomènes, et que nous ne pouvons même la posséder autrement que par celte considération, il s'ensuit que nous sommes en état d'apprécier des temps égaux, employés à l'accomplissement de phénomènes identiques, que nous savons aussi ce que c'est que la somme de deux temps ; dès lors, cette

LA MECANIQUE RATIONNELLE '■*7j

grandeur, nous pouvons la mesurer, !a traduire en.l □ombres et la soumettre au calcul, I

il est donc possible ainsi, comme l'a remarqué^J Ampère, de Taire Tétude des mouvements, eu y ïntro^l duisant la notion du temps, mais sans se préoccupecV en aucune manière des causes (]ui produisent les mou-'l vemenls que l'on considère. A cette branche de lav science a été donné le nom de Cinématique; elle com^l prend l'étude des mouvements des points, et en gêné- ■ rai des figures géométriques quelconques ; elle consi- 1 dère aussi des éléments nouveaux, tels que les vitesses I et les accélérations, dont on ne s'occupe pas en Géo- I raétrie. I

On a beaucoup discuté depuis près d'un siècle, et I surtout au point de vue de renseignement, pour savoir I quoi rang la Cinématique devait occuper dans la Mé-'fl canique rationnelle. La vérité, c'est que cette science I n'appartient pas directement à la Mécanique. Elle forme I non pas un chapitre à part, mais une introduction indis- I pensable, et voici, ce me semble, quelles sont les consi- 1 dérations décisives à l'appui de cette manière de voir. J

La Cinématique ne fait appel à aucun des principes ] généraux de la Mécanique ; c'est une science mathéma- | tique pure dans toute la force du terme. Elle emprunte j au monde extérieur les mêmes données premières j que la Géométrie; elle y ajoute la connaissance du J lemps, comme nous venons de le dire; mais une fois I ces éléments traduits en nombres ou en figures, c'est- 1 à-dire tombés dans le domaine de l'abstraction, elle J poursuit sa marche logique sans aucun emprunt sup- I plémentaire direct ou indirect à l'expérience et à l'ob- ] servation. |

Il y a plus ; en se plaçant au point de vue des tendances ntodernes de la Géométrie analytique, on y r pourrait faire rentrer la Cinématique de toutes pièces. I Il est fréquent, en elTot, qu'on étudie les déplacements ] géométriques qui dépendent d'un paramètre réel. Que

tï8 LA M.ITIIËMATIQIB

Ton considère co paramétre, nombre abstrait pa comme repn^sentanl le temps , et l'ctude cinématique se trouve effectuée. Nous ne voulons pas dire que cette méthode doive ^tre suivie en réalité, qu'on le remarque bien. La Cinématique correspond à un ordre d^idées trop important et nouveau, elle touche à trop de questions dont rîntérét géométrique est secondaire, pour ne pas mériter une place spéciale dans l'ensemble de la Mathématique, soit au point de vue de la classification générale, soit à celui de renseignement.

Mais cette place, nous j' insistons, est celle que nous venons d'indiquer; placée entre la Géométrie et la Mécanique rationnelle, l'étude mathématique des mouvements dans le temps et dans l'espace est un complément de la première et une préparation à la seconde. Il est juste de reconnaître qu'après bien des hésitations et des lâtoiiiifnipnts, les savants français semblent aujourd'hui entrer résolument dans cette voie, et que la Cinématique tend à prendre de plus en plus le caractère d'une science ayant sa doctrine, son autonomie et ses moyens propres de recherches.

Le point matériel. — La première des abstiactinus de la Mécanique consiste dans la considération d'un élément indispensable à la constilutiiin mathématique de la science, mais qui demande une couite explication, à cause du côté paradoxal et un peu arbitraire que cette conception présente en apparence.

Toute portion de matière, si faible qu'elle soit, fi'ilelle réduite à un atome, occupe une certaine portion de l'espace. Cependant, la Mécanique envisage un point, analogue an point de la Géométrie, c'est-à-dire dépourvu de toutes dimensions, et en lequel on suppose concentrée une certaine quantité de matière. Rien n'oblige même à admettre que cette quantité soit faible; on la prend à volonté, selon les besoins de la question, et l'on considère ce point géométrique comme

LA MEC.i.yiQlE RATlOySELLE

Jouissant des propriétés qui appartiennent à la matière J au point de vue mécanique. C'est à cet élément qu'on j a donné le nom de point matériel. Ici rabstraolîon est 1 poussée à ses dernières limites ; elle n'en est pas moins J précieuse pour cela, mais encore une fois, il faut unJ peu de réflexion pour ei» reconnaître les bienfaits, et 1 pour ne pas trouver qu'il y a une contradiction (enJ apparence, je le répète) avec les faits de la nature. [ L'idée d'un point géométrique ayant autant de matière j que mille tonnes, ou mûme que le soleil, par exemple, surprend un peu. Mais, si l'on réfléchit bien, on verra I qu'il n'y a rien là dedans qui soit plus contraire â nature des choses que le point géométrique lui-même,,! la ligne droite, et en général les autres abstractions] dont s'empare la Mathématique. C'est donc sur lesi points matériels que raisonnera constamment la Mécanique, et les corps qu'elle étudiera au point de vue des mouvements devront être considérés comme des ensembles de points matériels.

L'inertie etiea forces. — L'une des hypothèses nécessaires à la constitution de la Mécanique, bien qu'elle j soit également en contradiction avec le spectacle que 1 nous offre le monde extérieur, est celle du repos I absolu, qui permet, par l'établissement d'un système lixe d'axes coordonnés, de juger des mouvements à |iuints matériels. Cette hypothèse admise, le principe j fondamental de la Mécanique est eelui de l'inertie; on ' l'énonce en général sous cette forme : i° k un point matériel au repos restera au repos s'il n'est soumis à aucune action extérieure ; a" si un point matériel se meut uniformément en ligne droite, il continuera ce même mouvement tant qu'il ne sera soumis à aucune action extérieure ». Et on le complète en disant : " toute cause extérieure de mouvement ou de niodiflcation de mouvement d'un point matériel est une force »,

On a souvent aussi traduit le principe de l'inerlie j

,U lA MJTHSUATiqVE

dimensions; que les angle-S son! des rapports de- longueurs, etc. En Mt'Tanique, nous venons de voir qu'il s'iolrodiiit deux grandeurs essentiellement nouvelles, le temps et la masse, irréductililes par nature, soit entre elles, soit avec les longueurs. II s'ensuit qu'on est conduit à adopter des unités, d'ailleurs arbitraires, pour mesurer les longueurs, les temps et les masses. Mais une fois ces trois unités fixées, tout en découlera, chacune des autres entités de la Mécanique étant rattachée à CCS trois éléments fondamentaux : longueur, temps, masse. C'est ce qu'exprime le tableau suivant, où les symboles L,T,M figurent la longueur, le temps et la masse, et où les exposants représentent les dimensions relativement à chacun de ces trois éléments, par extension avec ce qui a lieu en Géométrie :

Longueur L' T« M'

AccélératLon L' T"» M«

Force L' '1"-'

Nous nous bornons à ce petit nombre d'exemples; mais cela s'étendrait à la force vive, au travail et à tout le reste.

On comprend donc l'importance de rétablissement définitifdes trois unités fondamentales; le système C. G. S. qui est à peu près universellement adopté aujourd'hui, du moins pour les questions de Physique mathématique, consiste, comme l'indiquent ces initiales, à prendre pour unité de longueur le centimètre, pour unité de masse la masse d'un centimètre cube d'eau distillée dans des conditions de température et do pression déterminées, c'est-à-dire le gramme-masse, et pour unité de temps la seconde sexagésimale de temps moyen.

Cette indication très sommaire ne nous a pas semblé être inutile dans un aperçu général, car les questions d'unités sont souvent en Mécanique et en Physique U .

^^P LA îiÈCA.yiçii: njTioyyELLE iî3 I

source de bien des difTicuUés, quand on u'est pas enil

• poasesaion des notions primordiales, cependant trè»l

simples. I

Xa Statique. — Il peni [iriiver qiin sous l'actionl d'un système de forces, un ensemble de points matérîelstS au repos reste au repos. On dit alors que ces forcefu se font équilibre, ou que le système est en équilibre. I

Sous le prétexte que le repos est pins simple que lel mouvement, on a souvent proclamé, et quelques per-| sonnes proclament encore aujourd'hui que c'est' par^ cette étude de l'équilibre qu'il convient d'aborder la Mécanique. C'est cette branche de la Mathématique à laquelle on a donné le nom de Statique. Telle qu'elle est habituellement constituée, du moins dans ses éléments, la Statique comprend l'étude de l'équilibreil d'un point matériel et d'un solide invariable, I

Nous croyons, comme pour la Cinématique, que le J chapitre de la Statique ainsi comprise doit être soi- I ^neusement détaché delà Mécanique rationnelle, dans 1 laquelle il ne peut jeter que trouble et confusion. 1

Tout d'abord, il parait assez étrange, après avoîff'J appelé, par définition, force une cause de mouve- \ ment, de n'étudier les forces que dans les cas oii elles | ne produisent aucun mouvement. D'un autre côté, le i solide invariable, nouvelle abstraction mécanique quf j n'existe pas dans la nature, repose sur une suite d'hypothèses faites sur les solides de la nature et représentant un cas particulier des systèmes matériels. Enfin, la Statique ainsi comprise oblige à une mesure directe des forces, dont la concordance avec les notions de la Mécanique rationnelle est loin d'apparaître directement.

Pour toutes ces raisons, nous estimons qu'il y a lieu de faire de la Statique, dont certaines parties présentent le plus réel intérêt mathématique, un chapitre com- ^^iémentaire spécial de la Géométrie , sans aucune ^^J

t34 /. I M.ITIIKMATFQLK

attache Hlrertc avoi' la JIi'raiii<|ii<', f|iii ^n cs( complètenii'iit disliiK-li'.

Il siillit |ioui' lela île tléhîgnrr provisoiremenl par force; un sogmeiit de droito de l'espace, ayant uni' origine et une cxliéinilé bien définies, et qui peut é.Uv transporté loiit d une pièce le long de la droite illitnitéesiip Ia(|uelle il est placé {'). L'origine de ce segment sera le point d'application, la liingueiir sera la grandeur de la force, el en partant de là, on pourra non seulement édifier toute la Statique élémentaire ordinaire, mais encoïc y ajouter ces notions si intéressantes aujourd'hui éparses, et qui mériteraient si bien de former un corps de doctrine, comme l'a fait observer M. lïatoti de la Goupillière, sous le nom de Géométrie des masses; elles comprennent notamment les centres de gravité et les moments d'inertie.

Le jour où l'on se serait ainsi décidé à faire de la Statique un chapitre de Géométrie pure coniplénientaire, c'est-â-dire une science exclusivement mathématique, n'empruntant aucune notion à la constitution intime des corps, il deviendrait indispensable d'en proscrire les démonstrations de propositions indéniontrables, comme celle du parallélogramme des forces, qui ne repose que sur un amoncellement de sophismes, et dont la vérité, en Mécanique, provient d'un principe fondamental révélé indirectement comme les autres par l'observation. Kn Statique, il faudrait, par définition el non autrement, appeler /■esH//«H/p de deux forces ayant même point d'application la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces.

La Statique géométrique, ainsi présentée, et dégagée de tontes les considérations mécaniques qui la dénaturent et l'obscurcissent, serait une préparation utile, mais non pas indispensable, à la Mécanique rationnelle.

LA MÉCANIQUE ItATrO.WKLI-E i]5

et lorsqu'on aborderait lelle-ci, il ne sérail pas tliilicile de voir la coïncidence entre les forces qu'on y étudie et les êtres de raison purement géométriques 1

désignés antérieurement sons le même nom.

La. Dynamique. — La Dynamique est l'étuile du moi vement sous l'action des Ibrces, C'est en elle que s concentre en réalité toute la Mécanique ralionnellevj Elle se divise tout naturellement en deux parties Dynamique du point matériel, Dynamique des systèmeî

Avant de dire quelques mots de chacun de ces sujets J qu'il nous soit permis de présentei' une observation d'ensemble. La Mécanique se sert de la Mathématique'! tout entière, de la Géométrie et du Calcul. Mais € n'est eu elle-même ni une science de calcul, ni i science géométrique, malgré son caractère de ratic naitté. La tendance manifestée par des auteurs asseH nombreux, et qui consiste à y chercher l'occaBion dw problèmes de calcul ou de Géométrie, est donc profou-'i dément regrettable, même quand ces auteurs y apportentj le plus de talent. Cette science présente assez de difli cultes par elle-même, son objet est trop important pour] qu'elle s'égare dans des questions latérales et perdftf ainsi le bénéfice de la situation unique qu'elle occn dans l'échelle générale des connaissances humaiut Plus on avancera, et plus on arrivera à reconnaître la" nécessité de ne pas abandonner un domaine oi!i les prt grès purement philosophiques trouvent leur compi temps que les applications pratiques rci .lement satisi'aclion.

Bg.1

La Dynamique du point matériel. — L'étude préalable' de la Cinématique permet de donner à ce chapitre de la Mécaniijue un développement modéré, sans qu'il cesse île former un corps de doctrine bien complet. Après un exposé des principes généraux les plus essentiels et l'introduction de la notion de la masse et de celle de la

lîG /--* MATIlk.MATIQlE

force, la Dyiiainiqtio du point matériel se déroule % une précisiim et une niîltelé lotales. L'introduction des vecteurs, d'aillL-urs pour ainsi dire iiidiapcnsabli; en Cinématique, serait de iiuture à apporter encore ici des simpliGcalions et des elartés nouvelles.

Dans cette élude prennent place : les théorèmes généraux, la théorie des forces centrales, le mouvement d'un point matériel qui n'est pas libre, et aussi l'étude si impartante des mouvements relatifs.

La. Dynamique dea systétnaa. — Autant nous uoiia sommes élevé contre rintroduction parasite des éléments de Statique dans la Mécanique, autant nous croyons qu'il est utile, poiu' un exposé méthodique des principes de la ^léeanique, de débuter ici par l'étudtde l'équilibre, qui se fait à un tout autre point de vue e\ qui est dominée par le beau théorème du travail virtuel, de Lagrango. Oh y trouve ravantiigo d'une grande unité et d'une simplification des notions qu'on est appelé ensuite à examiner.

Les systèmes libres étant ensuite étudiés au point de vue du mouvement, lorsqu'on aborde les systèmes à liaisons , le principe de d'Alembert vient projeter comme une hieur immense sur toute la science du mouvement et achève de lui donner cette unité qu'elle a acquise, grâce aux efl'orts de tant de génies incomparables. Les équations de Lagrange apparaissent comme une sorte d'instrument analytique universel permettant d'attaquer, sinon de résoudre définitivement, toutes les questions que l'étude du mouvement pourra soulever. En arrivant ensuite aux solides naturels, il y a une précaution indispensable à prendre : c'est de bien préciser l'étendue des hypothèses; car on ne doit jamais oublier qu'on est et qu'on reste dans la Mécanique rationnelle, et que les prétendus solides naturels ne sont cependant eux aussi que des abstractions nouvelles, moins éloignées de la nature que les solides

LA MÉCAXIQVE RATIOXyEl.LF. 1Î7

invariables de la Géonn-trie, mais qui cependant n'existent pas phis réellement.

11 nous serait impossible de passer ici en revue toute la série des problèmes auxquels peut s'étendre la Dynamique dans le développement, d'ailleurs indéfini, de j ses applications purement théoriques. Les plus remarquables d'entre eux sont peut-être ceux qui concernent l'Astronomie, ou la Mécanique réleste, (?ar c'est la seule des sciences naturelles oii Ton puisse arriver à une concordance aussi parfaite entre la théorie et les faits réels. Nous devons cependant la regarder, en raison de . son caractère même, comme une science appliquée, et \ nous aurons à en dire plus loin quelques mots à ce titre.

Ce que nous voulons seulement indiquer en terminant ce paragraphe, c'est l'infinie diversité des résultats et aussi l'unité de méthode qui caractérisent cette partie de la science depuis les immortels travaux de " d'Alembert, de Lagrangc et de leiu's continuateurs.

~ Les limites de la Mécanique. — 11 est un é<'ueil à éviter, et que malheureuseirient on n'évite pas toujours. Autant il est funeste, comme nous l'avons'dit, de chercher dans la Mécanique un prétexte à problèmes de ilalhématique ordinaire, autant il deviendrait dangereux d'y incorporer des chapitres qui ne lui appartiennent pas. Dans presque toutes les branches de la Physique aujourd'hui, on fait usage dans une mesure plus ou moins étendue de la Mathématique. De là est souvent résultée une tendance à vouloir introduire dans la Mécanique et soumettre à ses méthodes des questions et des théories auxquelles elle est incapable de s'appliquer, du moins aujourd'hui.

Sans que les limites puissent être tracées d'une manière absolue, il est nécessaire de laissera la Physique, d'une façon générale, la série des questions pour lesquelles une intervention directe et permanente de l'expérience est nécessaire.

/..i MA rin:MAriQiF.

La ohaleiip, lu lumière, rélccliii'ili-, lîi ronstitiT iriolùotilaire des corps, par l'xemplc, ajiparlieiiiit'iil iiicontostahluniPiil à la l'IiysiipU', bien que la Mallu^matique {misse H»uvcut leiii* i^ti'e ajjpttquée de la façon la plus utile. Plus lard piMit-i"-!!'*!, quand de nouveaux progivs aurniit l'té roalisés, quand les hypothèses auront lait place à d'indiscutables véritî's que nous ignorons aujourd'hui, certains chapitres do la Physique pourront-iis tomber dans le domaine de la Mécanique; mais nous n'en sommes pas là.

Le danger princ'ipal d'une telle conrusinu scinil d'enlever à la Mécanique le caractère do haute précision et do rigueur qui en fait une science impeccable, alors que SCS applications sont si rapprochées de la véritt^ naturelle, c'est-à-dire des faits. Ceci tient à ce que les hypothèses générales sur lesquelles ses abstraclions sont conslruiles sont en petit nombre d'une part, et que de l'autre ces hypothèses sont elles-mêmes fort pen éloignées de la réalité. Or, si l'on se condamnait à agir de môme en Physique, on couperait court à tout )»rogrès. La liberté la plus large dans les explications est la condition première de la marche eu avant. La théorie de l'émission en lumière, celle des deux fluides en électricité, ont eu leur raison d'être et ne sont pas déjà ai anciennes. Où en serions-nous si, bâtissant sur ces théories quelques chapitres de la Mécanique ralionnelle, il nous fallait aujourd'hui les jeter au feu comme d'inutiles erreurs! L'erreur est en Physique une route ouverte vers la vérité ; c'est par de perpétuels tâtonnements qu'on avance; il n'en va pas de même dans une science mathématique telle que la Mécanique rationnelle; et nous croyons possible, en s'appuyant sur ces idées générales, de tracer avec une précision suftisante les limites du domaine de la Mécanique, <

PHII,OS(JPHIK

CHAPITHE PREMIER

Considérations générales.

Le mot npplications peut t4re compris scienliQque-" lent, et surtout eu Mathématique, de deux manièreff"

1 distintles. Lorsqu'une proposition ou même une léorie nouvelle a été établie, on osl conduit, pour lontrer que ce n'est pas uniquement d'une vérité isolée l'il s'agit, à l'appliquer à un certain nombre de quesons, soit pour résoudre des problèmes, soit ])Our en éduire encore d'autres propriétés. Les applications de Btte nature font partie intégrante de la Mathématique ire ; elles y sont pour ainsi dire incorporées, et l'on i saurait comprendre la constitution d'une branche îelconque de la JIathémati<|ue, qui ne eontiendrain i d'applications. 1

Ce n'est donc pas de ces applications-là, dont la ' éoniétrie analytique en particulier odVe le plus i'rapant et le plus considérable des exemples, que nous voulons maintenant nous occuper ; nous en avons dit tout ce qu'il nous semblait nécessaire d'en dire. Mais les résultats obtenus par la Mathématique pure, sous

Iules ses formes et dans tous ses domaines, peuvent re utilisés pour résoudre les questions que présente nous le monde réel. Qu'il s'agisse de problèmes pra-

ii<i LA UÂTBÊMATtQtt

tiifur*i iliinl la solulitm nous r»t demandée par lèse ditions m^inpi> de la vie. ou d'une •simple salisfartion mlellertucllc, dt-s ipie nouï^ «{nillons le doiuaint des abslnclîons puirs pniir alMirder relui de la nature, des faitâ. nous sommes par cela mî^me dans la Mathémalique appliquée.

On pourrait ainsi, d'une faron à peu près satisfaisanle. définir retle dernière, la parlie de la Malhémn- (ique i|ui a [H>ur objet d'cfTecluer le rclour de l'abstrait au concret.

La Malhêraalique appliquée se subdivise par conséipieiit en une fouI« de branches, suivant la partie de ta science pure dont elle fait usage, el aussi suivant lii nature des questions ([u'il s'agît d'étudier et de résoudre. Nous ne saurions avoir la prétention de les passer toutes en revue, d'autant plus que chaque jour peut voir éciore une science niathéniatique appliquée nouvelle. Nous ne nous arrêterons au contraire dans les pages qui suivront, el à titre d'exemples, que sur celles de ces sciences qui présentent un intérêt spécial au point de vue <le la ntélhode et des idées générales.

La très grande majorité de ces sciences d'application concerne des sujets qui ont une utilité pratique évidente, et il faut hîcii remarquer qu'on rencontre dansln constatation de ce fait la véritable origine de la Mathématique. Dès qite Thomme s'est trouvé sur la terre, en possession de son intelligence et appelé à lutter contre toutes les forces de la nature, en apparence coalisées contre lui, il lui a bien fallu s'armer pour cette lutte; et, sans que la maxime fût exprimée, il s'est nécessairement convaincu de cette vérité k qu'on ne triomphe de la nature qu'en obéissant à ses lois ». D'un autre côté, dès que les relations sociales entre individus ou entre nations commencèrent à s'établir, les échanges, l'évaluation de la surface des champs soulevèrent des problèmes qui imposaient l'obligation de compter et de mesurer. L'Astronomie, imposée pour ainsi dire à J!hi>

f co.\siD!;iiATioys GtwKn.ii.Es ■419

nianité par le spectacle permanent qu'elle nous offre, I présentait en outre dans ses conséquences une utilité I pratique qui saule aux yeux ; or, on n'a pu y faire! quelques progrès que du jour où les premières notions ■■ de Géométrie et de calcul intervinrent. M

Il n'est pas besoin d'insister davantage pour établira que c'est le besoin, que ce soutles nécessités du milieu! ambiant qui ont provoqué la création de la Mathématique^! et déterminé les abstractions sans lesquelles cettefl science eut été impossible. Mais aussitôt les premières I l'ondations de l'édifice établies, le problème ne larda pas 1 à changer d'aspect. L'homme s'aperçut que dans laJ recherche de la vérité pour elle-même il y a des salis- 1 factions intimes de l'esprit, entièrement indépendantes I de toute préoccupation d'applications ultérieures. Il I reconnut en outre que la plus énergique incitation a la' I recherche, le plus puissant des instruments de progrès! était précisément ce besoin de découverte, poussé à deM si hautes limites dans quelques esprits. De là suivait! une conséquence : c'est que les sciences d'application I se trouvaient pour ainsi dire d'autant mieux pourvues I que les savants s'étaient moins préoccupés de, les pour- ! voir, si étrange et paradoxal que cela puisse sembler. I Dans tous les cas, au point où en est arrivée aujour- I d'hui la culture întellectueile dans le monde civilisé, la J question ne se pose même plus et ne saurait se poser; J tout au plus est-elle soulevée de loin en loin par quel-1 ques personnes d'une ignorance totale en Mathéma- | tique, et n'ayant même pas la notion de ce qui constitue la science en général. La question « A quoi cela peut-il servir ? » est en matière de science la plus folle et !a plus vaine qui se puisse poser. La meilleure de loules les réponses à y faire est : h Qu'en savons-nous ? » Lorsque les géomètres grecs poursuivaient leurs patientes et admirables investigations sur les propriétés 1 des sections coniques, pouvaient-ils supposer, et un seul de leurs contemporains pouvait-il supposer qu'un jour J

l{> LA MATHKMATrQfK

Kepler s'en servirait pour découvrir les lots des n vcmcnts des corps ràleslcs; que Newton en déduimil la gravîlalion iniîversclle ; que toute rAslronomie moderne sortirait de là. el que la t^iéographîe et la Navigation seraient appelées à recueillir le bénéfice des méditations de ces rêveurs.

Mesurer une science à son utilité est presque un crime intellectuel. Mais quand la science est faite, que des cherclicui's y trouvent ce qui est utilisable au point de vue des applications, ceci est une autre affaire. Que le mathématicien lui-même abandonne momentanément ses recherches purement abstraites pour mettre à la disposition de ses contemporains un ensemble de vérités dont on peut dès à présent tirer des applications concrètes, en le faisant, il complète sa tâche et montre une fois de plus que la science, si elle constitue primitivement une satisfaction de l'esprit, n'a pas oublié son origine première et conserve son utililé.

Dans cet ordre d'idées, il me sera permis de citer un exemple contemporain et de rappeler un souvenir. Parmi toutes les nations du monde, il n'en est assurément pas une plus intéressante que les États-Unis d'Amérique, au point de vue du développement rapide qu'a pris ce pays, des progrès prodigieux de son industrie, de l'énergie et de l'initiative dont il a fait preuve. Mais tant d'activité obligée, imposée à un pays neuf par les conditions de son existence, se conciliait mal avec des recherches purement théoriques, avec la poursuite sentimentale de la vérité pure. Aussi le nombre des mathématiciens américains a-t-il été longtemps des |ilus réduits. II y a environ vingt-cinq ans, mon ami regretté J. Ilouël, l'un des savants les plus instruits de son temps, et dont l'érudition mathématique était immense, m'entretenait dans une de ses lettres de la siliiiilion mathématique des diverses nations et arrivait à celte phrase typique, dont je n'ai Jamais perdu le soU<

CONSIDEH.t

venir: « Quant aux Etals-Unis, ils importent jusle la quantité de science pure «[ui est nécessaire à leur industi'ie. »

C'était 1res exact alors. Depuis trotte époque, un Bavant anglais, Sylvester, mort il y a peu de temps, fut appelé à professer à Boston ; il y fonda un important journal mathématique, et provoqua une sorte de révolution intellectuelle à ce point de vue, en quelques années seulement. AujoiirdUui, la Société malhéinaiique américaine de New-York comprend à peu près le même inombre de membres que la Société malhéinaiique de vFrance. La Matliématique, sous toutes ses formes et s toutes ses parties, est professée dans du nombreuses Universités, traitée dans une foule de publications et cultivée par des savants qui ne le cèdent en 1 à leurs confrères d'Europe. Elle n'est plus un objet d'importation emprunté à l'ancien monde ; c'est ^ievenu un article essentiel de la production nationale, et cette production augmente chaque jour, comme importance et comme quantité. Ce phénomène s'est accompli, i|e le répèle, en un très petit nombre d'années; cl il

t assez curieux pour valoir la peine d'une indication.

Malgré ce développement extraordinaire, et peut-être « cause de ce développement, l'industrie américaine rien perdu de son activité, bien au contraire ; elle jprend à tâche, et parfois avec une sorte de fièvre, de transporter tes résultats de la science pure dans le domaine des applications dés qu'elle les juge utilisables; *t c'est par centaines que l'on pourrait compter le!« piibli- '«ations américaines s'occupant «haque jour, si>u« une forme ou sous une autre, de Mathématique appliquée.

C'est tout naturellement dans l'art de l'ingénieur )qne ces applications, lâ-bas comme partout, trouvi^rit Surtout leur emploi. L'ingénieur, d'une façon gén «st l'homme qui est appelé par su profesHiim à réM es questions pratiques, où la coniiaiH«unea f

est HL'cetïsaii'e. Il oinpriinte à loutesl

naturelle:

scienftis pures, Mathéuiatique. Physique, Chimie, Biologie, etc., et la Mathémalique est nolaui nient pour lui uu iitstrumcnt iudispeiisable. Il ne saurait, en générnl, être niathêmatieien; sauf de rares situations exceptionnelles, les conditions de sa profession, les obligations qui en rùsullent, se concilient mal avec les recherches longues et patientes qu'exige la conquête de la vérilr pure; il lui faut parfois improviser les solutions, faire preuve de coup d'œil, tel un général sur le chiinip de bataille. Mais cependant une éducation mathématique préalable est indispensable à l'ingénieur, et îl lui faut avoir aussi Tesprit mathémalique s'il veut rester â la hauteur de sa tâche.

11 lui doit surtout d'être pénétré de la nécessité de l'abstraction et de comprendre sous quelles conditions peut s'effectuer le passage de l'abstraction â la réahté. Ces connaissances sont peut-être moins universellement répandues qu'on ne l'imagine ; il n'est pas rare de rencontrer des ingénieurs, d'ailleurs fort intelligents et distingués, pour vous dire qu'ils ont totalemeDt oublié ce qu'ils ont su jadis en Mathématique ; que de tous les éléments péniblement acquis autrefois, ils n'ont jamais occasion de faire usage ; et pour conclure que les connaissances mathématiques sont plutôt nn • moyen de sélection imposé dans les concours, que les bases d'une éducation professionnelle effective. Je n'en- i tends jamais ce langage sans en concevoir une pro- I fonde tristesse ; je n'y peux voir que le reflet d'un | enseignement incomplet et mal coordonné, qui arrive ' en lin de compte à des dépenses intellectuelles énormes, pour ainsi dire totalement perdues. i

Certes, il n'est pas indispensable à l'homme chargé de construire un barrage ou une machine à vapeur de | se rappeler la démonstration d'un théorème d'Algèbre particulier ou de résoudre tel problème de Géométrie analytique. Mais dans les raisonnements qu'il est con-

■ COySlDÉRATIOyS GÉ.\ÉHA/.ES i4S ■

*trainl du l'aire, dans les résultats luiiiiérîques qu'il doiti îippliquer, il se trouvera exposé aux plus cruels iiié^fl comptes s'il a perdu la notion des méthodes mathéma- J tiques, s'il n'est pas en état de faire, la comparaison I entre les abstractions pures et les réalités coni?rèteal (|iii sont sous ses yeux, etde juger des conditions sotisl lesquelles celles-ci sont sans inconvénient applicables.1 à celles-là. I

Aucun résultat mathématique n'est vrai, à proprement^ parler, quand on l'applique au monde réel, puisqu'illl porte sur d'autres objets que ceux du monde réel ; maï^fl un tel résultat est un premier guide, et un guide trè»*! utile, parce qu'il indique toujours une approximation,! Cette approximation est précieuse, surtout si l'on peutJ en connaître les limites. On peut et on doit corriger* les erreurs par l'appel à l'expérience, les comparaison»! avec ce qui a été fait précédemment dans des cas ana-«fl logues, et aussi par l'intervention du bon sens et del la sagacité personnelle. Mais on perdrait le meilleur 1 des appuis si l'on était seulement léduit à des rca-fl sources de cette nature. I

Dans les applications, une erreur n"e.st dangereuseJ ne lorsqu'on l'ignore. Prévenu, on est en garde t'ontrafl et si on en connaît les limites, elle devient aul intraire un bienfait. ■

Cet ordre d'idées m'amène à insister dès à présent! sur une idée générale qui parait relever du calcul, ■ dont la portée est beaucoup plus vaste : celle des 1 yfraxîma lions. 1

On introduit parfois, il est vrai, soit en Arillinié tique, 1 it en Algèbre, un chapitre parlicidiersur les approxi- 3 mations; mais, surtout dans l'enseignement, point spé- J cial sur lequel j'aurai à revenir plus loin, on n'établîtl généralement aucun lien entre cette étude et toutes les questions sur lesquelles elle réagit. On n'eu cherche pas les conséquences et l'on n'en poursuit pas les ana-

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logics dans ia science du rélciidue. Enliii, et cci^i est plus grave encore que tout le reste, on donne à luette étude un caractère exclusivement abstrait, ce qui la dénature et lui enlève sa principale utilité. II y a lieu d'ajouter aussi, comme nous le prouverons, que le reste de l'enseignement, dans plusieurs de ses parties, révèle un mépris complet de ces notions péniblement acquises.

En n'accordant pas a la théorie des approximations; la place qui lui apparlient dans le domaine du concret, en ne l'appliquant pas â l'étendue, en négligeant d'en l'aire usage pour toutes les questions simples qui se prêsenlent, on est arrivé, peu ù peu, à inruser de plus en plus dans l'esprit de ceux qui ctdtivent superficiellement la Mathématique cette idée fausse que c'est la science de l'absolu. 11 n'est pas surprenant, avec une pareille conception a priori, qu'on aille au-devant des déceptions ; mais il est bien injuste de mettre à la charge de la science les conséquences de la conception vicieuse qu'on s'en est faîte,

Babinel, dans l'Avertissement de ses Calculs pratiques appliques aux sciences d'observation , rapporte une anecdote qui nous parait bien instructive en cette matière, sous sa forme humoristique. Je cite : k A quoi bon, disais-je à l'illustre Dulong, mettre sept ou huit décimales dans le rapport de réfraction relatif aux phénomènes de la double réfraction, tandis que déjà les déterminations expérimentales ne s'accordent pas entre elles dans la troisième décimale ? — Il me répondit avec une gravité ironique : Je ne vois pas pourquoi on supprimerait les dernières décimales ; car si les premières sont fausses, peut-être les dernières sont-elles justes ! »

Une saine appréciation des approximations nous semble donc être la condition essentielle, fondamentale de toute branche de la Mathématique appliquée. D'après ce que nous avons dit plus haut, cette notion doit être complétée par une connaissance approfondie

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des objets concrets sur lesquels OQ raisonne. Ici, la i nécessité n'existe plus d'élablir les vérités de Mathématique pure dont on a besoin. Ces vérités sont à pied I fl'œuvre; il reste à les utiliser; pour cela, il convient' de les transporter dans le domaine concret, avec une I discussion qui aura pour résultat de montrer dans j quelles limites seront circonscrites les erreurs résultant de cette opération; autrement dit, sur quelles approximations il sera possible de compter.

Cette discussion est chose souvent délicate et difii- | cile; elle exige l'intervention de la pratique et de l'expérience, le rapprochement avec des résultats fournis par d'autres sciences que la Mathématique. 11 est permis, ce qui serait une monstruosité en Mathématique pure, de considérer ici un résultat approché corn très supérieur à un résultat rigoureusement exact, si le premier est par sa nature mieux adapté à l'objet qu'on a en vue, et si en somme l'erreur finale, an point de vue pratique, est inférieure à celle qu"aurail produite la solution mathématique absolue.

On se rend compte, d'après ces observations d'ensemble, des difflcullés que présente la Mathématique appliquée, et en général ce retour de l'abstraitau concret sans lequel un problème de philosophie naturelle n'est jamais complètement traité. Ces difficultés, variables ;ivec les sujets qu'on a en vue, ne sont pas au-dessus des forces de la science, mais elles exigent un développement particulier des facultés mathématiques, en liarmonie avec les nécessités du monde extérieur. De grands progrès, dans la Mathématique appliquée, ont été faits déjà ; mais ils doivent compter pour peu de chose en reganl de ceux cju'il reste à accomplir.