CHAPITRE II

L'application du Calcul.

Il n'est pas nécessaire d'insister sur runiversalité des applications du Calcul. Depuis la cuisinière qui fait ses comptes de ménage jusqu'à l'astronome qui accumule d'immenses travaux pour mesurer et déterminer les mouvements des corps célestes, la nécessité des opérations arithmétiques et du Calcul en général s'im pose partout. Si, par une fatalité déplorable autant qu'impossible, tous les individus qui composent Thumanité se trouvaient tout d'un coup dépossédés de leurs con naissances en cette matière, le monde tomberait subitement dans un état de profonde barbarie, eussionsnous conservé nos autres aptitudes en matière de littérature et d'art, et toutes nos facultés imaginatives en général.

Il est bien clair cependant que la nécessité dont nous parlons, si elle s'impose à tous, s'impose à des degrés fort divers. Et s'il est indispensable au dernier des manœuvres de connaître au moins la pratique de quelques opérations élémentaires, il n'y a par contre qu'un très petit nombre de personnes ayant occasion de mettre en usage les fonctions elliptiques par exemple.

Nous pourrions donc remplir un volume entier, rien qu'en passant successivement en revue les circonstances où les diverses sciences ayant le Calcul pour objet

iSo LA >IATIIF.MAT!QCE

k faire gagner <lii Ifinps sur cclnî (|u'i»ii i-mplo manijiulatioii iiialùriellc des calculs est un grand bienfait.

Pour les cas partiiuliei's, pour certaines questions «|ui reviennent constamment sous les iiièiiies formes, on a doîiiié aussi de iintnbreuses tables numéri(pies dont l'usage est continuel. Dans l'art de l'ingcnieur, les exemples fuurniillenl; on en trouve un autre dans les calculs d'intérêts et surtout d'intérêts composés, où des tables bien comprises ramènent à ta solution d'une proportion très simple des questions, qui sans cv. secours piTseuteraient une certaine complication.

A côté de leurs mérites, le» tables cependant ont souvent produit un résultat dont il n'y a pas lieu de se féliciter. A force d'en faire usage, beaucoup en sont arrivés à s'imaginer que la connaissance du Calcul devient sans objet, et qu'il est bien inutile de se donner une peine que d'autres se sont donnée pour vous en construisant les tables dont vous iaitea usage. C'est lii une des causes de ce délaissement de la Mathématique, signalé plus haut, jiar un trop grand nombril d'ingénieurs.

Une semblable idée, cependant, est radicale meut fausse. Une table numérique bien faite, quel qu'en soit l'objet, est un outil précieux, mais ce n'est qu'un outil; et l'on n'arrivera jamais à en faire usage d'une façon efGcace et sûre si l'on ne possède pas à fond le maniement de cet outil, si l'on ne sait pas comment il a été fabriqué, dans quelles limites il est permis d'en faire usage, et quelles sont les précautions à prendre pour s'en servir.

En dehors de ces tables particulières, il en est d'autres auxquelles nous devons nous arrêter quelques instants, tellement elles rendent de services, tellement elles sont rigoureusement indispensables dans toute la Mathématique appliquée. Nous voulons parler des tflbies de logarithmes, merveilleuses entre toutes^nuis-

Ljtri'ticjTioy or calccl «Si

JU 'elles pcrtiielleDt de substituer aux inuIlîplîcaUoti^ de simples additioni^. aux diviâious des soustraction^^, et, comme coiisê<iueuft-, de f-alcuJer avec une extréiue lâcilité les poissaDces d'ordres quelconques ou le» racines d'indices quelconques des nombres sur lesqueli» on peut avoir â opérer.

Les tables de togarilbmes prêseulent peut-«>lre le plus simple et le plus frappant exemple du lieu qui

■éuait les questions pratiques courantes au.\ spéculaitioDS élevées de la sfrîenre pure. Va découverte tleo logarilbmes. c'est-â-dire des fonctions jouissant des Belles et utiles propriétés que nous connawsonif Iouh jiiijourd'hui, seratlacbe au fond au CaJruI iaCaitéttimal : elle touche étroîlemenl à l'étude d'une équalîon dilTé- ,rentîelle, et il est peu probable que .\eper y ait été 'Conduit par d'autres coDsidératiom» qu'un ardent désir d'accéder à la vérité: et cependanl, cette dé<'ouverte a été la tiourre d'avantages pratique» Hjrle«quel»îl «erail puéril d'insister.

C'est sous deux fumies diitlincte» que »e préKenlenl 'ies tables de logaritbuies duo usage courant, et qui sont devenues très nombreuses. Elles ruurnti»ftenl id'abord les logarithmes de» nombre». Koît de i a loooo, ^it dans des limites plus étendue»; et puit>, d»rii> une

leconde partie, elles donnent le» logsrilbuieii de«i foncitïons circulaires : cusînuH, «inuiî. etc. li e»l |ierHiiit à

le sujet d'éprouver deux regret» : le premier, c'eitt qu« fusa^ des foncUons dont il *ajpt ne woît |*3» ar-coin> f»agné de celui de« foncliom» iiv{>erlMfliqiie«. doiil Vi-UuUiple, el dont l'utilité e»t prewqui? au»»i rj^nde dans une foule de que»liouH; le nerond, c'cmI 4||u'on ail renoncé, eu outre de» logarithme*, a wn Kervir tfe tables doaiuint Xkt, valeur* elle»-jn/-nie« de*. roiiriioii« '{circulaires ou hrperÏMrliqueo , ou. coniine Vim djl quirt- .quefois, 1rs vateurt nalurelltM de if* T'iiH-lioiin.

Les tables de logarithme» m: prt-M-uij^iit im^uk du l^re de di»f>o«flioitii dilTérenlo»; vm

iSi 1.1 Jt.lTa£3tArtQC£

pris i tàrhf (te leur donner un grand ctart^, |tertn«tlanl d'ûvitt-r aulaiil que possible les Tautes malrrirlles de lecture. Mais elles se distinguent surtout les unes des autres par le nombre deA décimales avec lequel les logarithmes y sont calculés. Il est bten évident que l'upproximalion atteinte sera d'autant plus grande (car les calculs par logarilhme» ne sont que des approximations) que ce nombre de décimales sera plus grand. Oci appelle une obsen-atinn d'ordre général. Lorsqu'on veut arriver â un résultat, il faut proportionner ce résultat aux inHlruments dont on se sert et ne pas demander plus que ce qu'ils peuvent donner. Or, dans toutes les conditions ordinaires de la pratique, dans l'art de l'ingénieur, en particulier, le calcul des logarithmes avec 5 décimales, et même avec 4, suffit largement aux besoins. Dans certaines questions d'Astronomie ou de Physique mathématique, on peut avoir recours utilement à beaucoup plus de décimales; mais en dehors de ces cas exceptionnels il n'en est pas ainsi. Dès lors, l'usage des tables à 7 décimales, par exemple, qui sont assez répandues, devient dans la pratique umïnutilité, et pis encore. S'il s'agit de trouver une longueur sur le terrain, par exemple, que cette longueur ait une vingtaine de kilomètres, et qu'on la calcule avec le secours d'une table ilc logarithmes à 7 décimales, on pourra l'obtenir à 1 centimètre près ; or, si les moyens matériels de mesure employés laissent possible une erreur en plus ou en moins d'un mètre on deux sur une vingtaine de kilomètres, l'approximation extrême qu'on a obtenue n'est qu'une chimérique apparence, et un leurre en même temps, car il s'ensuit une confiance injustifiée en des résultats ipie l'expérience ne vient pas confirmer.

On ne saurait donc assez conseiller à tous les praticiens qui ont à faire usage des logarithmes, de choisir leurs tables de manière à les mettre en concordance moyenne des approximations possibles ou déat-

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logîe a beaucoup contribiit' â populariser ce genre éf représeutatinn des f'iintti<nis, par les tracés divers que rvpi'uditisent luaititcuant ('lia(|ue semaine un grand uomlire de publications.

Nous voyons déjà le Calcul apparaître sous deslbrmes bien diverses dans la pratique de la vie, d'après ce qui précède. La connaissance des opérations arithmétiques, pour ne parler que d'un usage tout à fait évident, est indispensable en comptabilité. Mais ce n'est pas seulement à cela que peuvent se borner les services rendus par la Mathématique en cette matière. Plusieurs mathématiciens, et quelques-uns |iarmi les plus illustres, ont pris à tâche, en s'inspiraul de principes logiques et rationnels, de construire une méthode de tenue de livres mieux coordonnée que celles qui sont actuellement en vigueur et dont l'origine est plus ou moins empirique. Sous le nom de Logismoginphie, ces recherches ont même commencé à prendre le caractère d'une doctrine nouvelle ; et il est à espérer que la Mathématique trouvera ià encore, ini jour ou l'autre, une occasion d'ajouter un service nouveau à ceux qu'elle a déjà remlus.

Il est une branche des sciences économiques, la Statistique, qui est obligée de l'aire aussi constamment appel aux ressources du calcul; elle y a ajouté avec grand profit, depuis un certain nombre d'années, l'intervention des méthodes graphiques sous bien des formes différentes. Mais ce n'est pas â la seule Statistique qu'on a tenté de faire application du calcul dans le domaine des sciences économiques et démographiques. Il y a bien des années déjà que furent poursuivies des études, notamment par M. Walras, t Lausanne, ayant pour objet de faire rentrer Téconomie polilique dans les sciences auxquelles la Mathématique peut s'appliquer. Si ces essais n'ont pas touJMj^^

L'APPLICATIOM DU CALCUL lîï

donné des résultats sur U'squels tout le momie soit ilarrord, il faut s'en prendre surtout aux sujets euxmêmes qui, plus d'une fois, par leur ualure, prêtent à j controverses et n'offrent pas sricntifiqnement un carac- J It'-re de solidité sullisant. 11 tant dire aussi que [)armi I les économistes quelques-uns sont peu préparés à un 1 traitement mathémalique des questions dont ils s'oe- I ciipent. Cependant, les tentatives dont nous parlons i n'ont pas été abandonnées, loin de là, et dans certains cas particuliers, cette application mathématique nouvelle n'a pas été dépourvue d'intérêt. On a même j donné un nom. la ChiémalisUqite, à Tapplication génd- 1 raie de la Mal hé m a tique anx sciences économiques et sociologiques. (

Dans cet ordre d'idées, il est un domaine spécial dont J la Mathématique a pris possession d'une façon souve-fl raine, pour y faire application d'une science dont nouu n'avons pas parlé jusqu'ici : le Calcul des probabilités. | 11 s'agit des assurances, et notamment des assurances I sur la vie, qui ne sauraient exister en dehors de l'appti- I cation constante du Calcul.

Le Calcul des probabilités affecte en soi les appa> renées d'une science pure et fait appel dans quelquesunes de ses parties aux notions mathématiques les plus élevées et les plus dilficiles. Mais tl convient de lui J laisser sa place dans la Mathématique appliquée, k.\ cause du rôle fondamental que joue l'expérience dans les hypothèses premières. Là, il ne s'agit plus seule- J ment d'abstractions effecluéea d'après une observatioiM antérieure; on se propose d'étudier des événements sur^ l'arrivée et l'ordre de succession desquels nous ne savons rien, mais que nous supposons également probables. C'est à la fois plus et moins qu'une abstraction et une telle méthode ne peut avoir quelque valeur dans les résultats qu'elle présente, que par une continuelle

iervenlion de l'expérience venant à l'appui de l'hypo-

^^ter

I>f, /..l M.H IIKMATIQIB

thèse priniitivo, (i'fst fc (jiii so proifiiil à un très hWt (legrt- daiiM les asBiirauccs, et cela tient au nombre considérable (les observations rnitcs. Aussi la pratique eslcIIp venue donner un éelataut démenti à Auguste Comte, qui s"étail rruellement trompé sur les probabilités, déclarant cette couceplion philosophique » radicalemeiil fausse et susccptîblt: de conduire aux plus absurdes conséquences t.

Le Calcul des probabilités trouve ('gaiement son application dans les questions concernant les jeux de hasard, et aussi dans îles problt'nies relatifs au lir des armes portatives ou de l'arlillerie.

S'il est une branche, dans la Mathématique, qui paraisse se refuser à toute application pratique et destinée seulement â la satisfaction de l'esprit, c'est assurément la Théorie des nombres. S'imaginer qu'il en est ainsi serait cependant une erreur. Certaines séries numériques, telles que les suites de Farcy et de Brocot, sont le résultat de recherches laites sur des combinaisons d'engrenages au point de vue du nombre des dents. D'un autre côté, et dans une branche industrielle trèsdifl'érente. Ed. Lucas a montré tout l'intérêl qu'offrait la théorie des nombres premiers pour la composition des armures de tissus. Il a mâme publié plusieurs mémoires très dignes d'intérêt sur la Géométrie du tissage. Je me souviens qu'il me disait un jour avoir personnellement connu un industriel, d'ailleurs fort intelligent, mais n'ayant aucune notion de Théorie des nombres, qui, ayant été conduit à l'étude de certaines questions pratiques concernant le tissage, avait ainsi retrouvé plusieurs propriétés intéressantes des nombres.

Je ne saurais me dispenser, en terminant ce chapitre, de mentionner au moins les macldiies h calculer, ces appareils précieux destinés à abréger le temps inutilement employé, non plus par des approximations, comme

le font les logarithmes, mais eii effccluaiit mécaiiique-l ment les opérations sur les nombres entiers. Ce pro-' blême difficile a tenté le génie de Pascal. De grandsl géomètres, tels que Tchebychcfî, parmi nos contempo^ rains , n'ont pas dédaigné de s'en occuper depuisi.! Parmi ces très nombreux appareils, dont le défaut gêné- j rai, et peut-être obligé, est une trop grande complication, il en est un, l'arithmo mètre Thomas, dont l'usage est très répandu et qui présente de grandes qualités pratiques. La plupart des compagnies d'assitrancesd certaines grandes administrations financières ou statis^ tiques se servent quotidiennement de rarithmomètre^

Enfin, il serait injuste de passer sous silence I inventions d'un savant (jui paraît doué d'une aptitude! véritablement exceptionnelle dans ce genre de recher-fl ches, M. Henri Genaille. Les réglettes à calcul qu'il s publiées jadis, en collahoralion avec Ed. Lucas, sonty une véritable merveille d'ingéniosité, même au poiara de vue purement scientifique, en dehors de l'intérêt] pratique réel qu'elles présentent. Elles donnent à vue les produits d'un nombre quelconque par un multipH-; cateur d'un chifi're. Depuis lors, les recherches del M. Genaille ont fait l'objet de nombreuses et intérestl santés communications ; et nous croyons savoir que sil d'aussi utiles inventions n'ont pu pénétrer jusqu'ici! dans la pratique et rendre les grands services qu'on enj peut attendre, la faute n'en est pas à l'inventeur. Peut-!., être, dans quelques siècles, et lorsque ces appareils 1 auront été construits depuis longtemps au delà des ! frontières, reviendront-ils en France, et seront-ils / appréciés comme ils niéritentde l'être... par nos petits-, teveux !

S"il faut s'eu rapporter à l'origine du mot « Géométrie », le but que l'on potirsuivit primitivement dul être celui de mesurer la Terre, ou plus probablement « les terres », c'est-à-dire la surface des champs. Aujourd'hui encore, la détermination de cette mesure n'est pas la moins intéressante des applications pratiques de la Géométrie. \j Arpentage ne paraît donner lieu qu'à l'emploi de propositions fort simples de Géométrie plane. On y trouve cependant, et d'une façon fréquente, l'occasion d'utiliser d'intéressantes propriétés des figures, si l'on cherche à opérer avec la plus grande économie de temps et de peine, sans rien sacrifier de In rigueur. II faut nécessairement une certaine habileté pratique, un apprentissage consommé dans le maniement des appareils et la mise en œuvre des procédés en cours ; mais ce n'est pas de ce côté de la question que nous nous occupons ; en supposant une égale habileté, l'arpenteur qui possède des notions géométriques précises et sûres aura toujours une incontestable supériorité sur celui qui en est dépourvu. Certaines diflicultés surgissent qu'on n'avait pas prévues ; certains problèmess'imposent; etcen'estpasexagérerque d'affirmer que les notions de la Géométrie moderne elles-mêmes peuvent souvent trouver ici à s'utiliser. Du reste, l'un

L'APPLICATIO?- DE LA GÉOMÉTRIE I jg I

des senices publics les plus importants en France, et J qui se rattache â cette catégorie d'applications, celilil du cadastre, compte des hommes quî sont des ingénieurs fl de beaucoup d'instruction et de mérite, pourvus de fortes I et sérieuses connaissances de Mathématique pure, du ■ moins parmi celles qui se rapportent à leurs fonctions, J

Dans cette question de l'Arpentage, il y a plus que-l jamais occasion de mettre en œuvre le principe suri lequel nous insistons si souvent, c'est-à-dire de pro-fl pnrtionner l'approximation que l'on poursuit â la puis- 1 same des moyens mis en œuvre età la nature pratique! des questions. Celui qui évaluerait l'aire d'un champi de quelques hectares en se trompant d'un are ou deuï ■ serait un piètre arpenteur; mais celui qui prétendrait J la déterminer à un millimètre carré près serait un fou. ■

La même observation s'applique aux questions derfl ^«^«^■e, qui sont l'application directe de la Géométrie de>V l'espace aux mesures, dans des conditions analogues à1 celles de l'Arpentage pour les aires planes. Les moyens 1 mathématiques permettant de dcterminer le volume 1 d'un Gl métallique de la flnesse d'un cheveu, ou celui I d'une tour cylindrique de 5o mètres de hauteur, sont I assurément les mêmes. Mais le retour de l'abstrait au I l'oncret s'opère dans des conditions totalement diffé- 1 rentes dans les deux cas et nécessite Tîntervention de 1 qualités mathématiques nouvelles, et surtout d'une! l'acuité générale de raisonnement. I

Mesurer la surface terre.stre, dans l'une de ses por- J lions, ne sulfit pas pour un grand nombre d'applications. I Il nous faut en outre la représenter, c'est-à-dire poUr J voir en donner une image fidèle. Cette surface, tout'l d'abord, n'est pas plane ; elle présente des irrégularités \ plus ou moins accusées; elle est en outre parsemée J d'accidents divers, cours d'eau, voies de communica- I lion, constructions, etc., qui s'y trouvent placés par la I natore ou par la main de l'homme. Cette représeutatioqj

i6') LA MA I IIIIMA riQVE

s'obtient (îonvfiitioiiiifllL'iiiciil. Hiir imeretulk' de paj soni^iblement plane, par les piocédés delà Topographk, qui ne cesse de Inîre un (;iinslant appel à la (^êoniôlrie pour les diverses opérations iju'elle exige.

Les proeédèfl en qiieslion sont naturellement variables suivant le degré d'exactitude que l'on poursuit, el qui dépend surtout lui-rui>nie de rL'chelle employée. Il s'ensuit que la Topographie met en œuvre au plus haut point les qualités de sagacité, en même temps qu'elle nécessite une profonde connaissance de la Géométrie.

Il y a bien peu de silufilions oii des notions au moins élémentaires de Topographie ne trouvent pas leur emploi. Indispensable à l'ingénieur, d'un intérêt tout à l'ail capital au point de vue militaire, la Topographie est aussi nécessaire à l'agriculture; sans son secours, les drainages, les irrigations, pour ne citer que ces seuls exemples, sont impossibles à concevoir et à exécuter d'une f'aron rationnelle. Nous croyons qu'elle présente de plus, au seul point de vue scientifique, V grand mérite de ramener sans cesse l'esprit à la notion du relatif, et de montrer, mieux qu'aucune autre des applications de la science de l'étendue, quelles sont les relations de Tabatrait et du concret. Sans Géométrie, nous le répétons, la Topographie ne saurait exister. Mais en se bornant à mettre en usage les propriétés que nous fournit la Géométrie pure, nous arriverions à une Topographie incomplète et souvent impraticable. Il est nécessaire à chaque instant d'employer des méthodes approchées à la place des méthodes exactes, et d'apprécier les limites des erreurs qui s'ensuivront. A tous ces titres, la Topographie, dont la pratique est difficile, mais dont les principes sont simples. devrait tenir une place peut-être plus iiiiportaule eni'oif que celle qu'elle occupe aujourd'hui.

C'est à la Topographie qu'on peut rattacher V/li/drographie, représentation du fond des mers, el tpi'il nous ^Ûit ici de mentionner.

L'APPLICATION DE LA GÉOMÉTRIE i6i

Dans la pratique, toute opération topographique ne peut s'effectuer d'une manière ellîcace qu'en s'appuyant sur certains repères fixes préalablement établis. Ces repères sont fournis par la Géodésie, qui constitue également l'une des importantes applications de la Géométrie. Mais ici, l'esprit général de la science et les méthodes qui en découlent sont d'un ordre entièrement différent. Le problème consiste à placer sur toute la siirface d'un pays, et en assez grand nombre, une série de points dont on détermine les positions, soit sur une suH'ace idéale qui est par exemple celle du niveau moyen des mers, soît au-dessus de celte surface, ce qui constitue le problème partic\ilier du nivellement.

Nous ne voulons pas entrer dans la description des moyens généraux qu'emploie la Géodésie, expliquer ce que c'est que la triangulation, non plus que les réseaux ( jféodésiques des divers ordres. Jlais ce que Ton doit j retenir, c'est que pour la triangulation du premier ordre l notamment, la poursuite de l'exactitude la plus rigoureuse s'impose impérieusement, à l'inverse de ce qui se produisait en Topographie, Le problème est donc celui de pousser l'approximation à son maximum, lequel , dépend à la fois des méthodes et de la perfection de! instruments. 11 n'est plus permis de négliger la couriiure générale de la surface terrestre; on ne saurait l'assimiler à un plan, à cause des grandes étendues i sur lesquelles on opère. Bien plus, on ne se conten-' tera même pas d'assimiler cette surface à une sphère, Ton tiendra compte de l'aplatissement du globe; d'oii la I lessilé de faire intervenir des notions délicates etj Complexes de géométrie pure, relatives à la théorie de»^ surfaces. Nous sommes cependant ici dans une science ] appliquée, et il n'y a pas à se dissimuler que les résul-* lats obtenus seront entachés d'erreurs ; seulement, il faut que ces erreurs soient aussi faibles que possible; J il faut surtout que nous en connaissions très nettement j ^^Jes limites. Le temps et le travail ne sont plus ici qu6<J

M^on ti<

^Bêce!

lfi:i t.l Ml ll/I.VATIQCE

Ai'H ^Ir^nient» S4*c-i>tidiiir('ï:; on fer» toute la dépMM I QccessairL- à ce point de via-, sans essayer dtj poursuivre une économie qui irait rontre te but à atteindre. On se nu-nagera en outre des moyens de vérification nombreux et variés, s'entmîdant et se contrôlant les lins les autres; et si des opérations ont conduit à des résultats entachés d'erreurs supérieures à la limite qu'on sait pouvoir s'imposer, ces opérations seront aii besoin reprises de tontes pièces.

On ne peut se défendre d'une véritable admiration pour le degré d'exactitude auquel atteint la Géodésie moderne, pour la belle conception de ses méthodes et la perfection presque idéale des instruments qu'elle emploie. Si pourtant des progrès nouveaux, ce qui semble d'ailleurs peu proliable, amenaient ces instruments â lui degré de perfection plus considérable lincore, on ne se contenterait plus des résultats obtenus aujourd'hui; ils seraient regardés par nos successeurs comme une approximation grossière, si admirables qu'ils nous paraissent actuellement.

11 est à peine utile de faire remarquer que, dans les problèmes que pose la Géodésie, la représentation graphique n'est plus d'aucun secours; car dans le dessin le plus rigoureusement exécuté, il s'introduit des erreurs graphiques très supérieures à la limite qu'on s'est imposée. Il y a donc nécessairement ici une application simultanée de la Rcience de l'étendue et do relie du calcul.

Parmi les sciences qui se rapportent à l'étude de la surface terrestre, il en est une qui ne faisait jadis qu'un bien discret appel à la Mathématique : c'est la Géographie; cet état de choses s'est modifié, et l'on s'occupe aujourd'hui, à l'étranger plus qu'en France, il l'iiut le dire, de Géographie niathêmalique. IVous nous bornerons à l'un des côtés des nombreuses questions soulevées par cette application, en présentant quelqu^i

L'AI'PLJCATIOy DE LA GÉOMÉTRIE i63 '

coiisidéralÎDns d'ensemble sur rétablisscraont dea à cartes géographiques. I

Lorst|ii'il s'agit de figurer une portion plus ou moins ■ considérable de la surface terrestre au moyen de tracés 1 exécutés sur un plan, comme on le fait en Topojyrraphie, 1 te problème est évidemment impossible, du moins en i essayant de former, toujours comme en Topographie,J une figure semblable à celle que l'on veut représenter.^» La surface réelle, en effet, est une sphère ou une sur-J face courbe se rapprochant de la sphère ; car bicn^ entendu ou négligera ici les accidents de détail desfl terrains. La carte au contraire est plane. C'est donoV par une certaine transformation de la surface sphériquO' 1 sur un plan que devra se faire la construction. On tra- i cera sur le plan les figures transformées d'un cerlaiaJ nombre de méridiens et de parallèles régulièrement* espacés, et l'on aura un canei'as géographique. M

Chacune des transformations dont il s'agit corres-il pond à ce qu'on appelle un système de projection géo- I graphique. On peut en imaginer à l'inlini, el quelques- I uns de ces systèmes sont plus généralement en usage. I On adopte les uns ou les autres suivant le but que Ton ] se propose. Tantôt on veut déformer le moins possible J . les figures, c'est-à-dire conserver les angles ; tantôt il y a intérêt à ne pas altérer lesaires. Dans la pratique, et 1 pour une contrée d'étendue moyenne, comme cela a eu J lieu pour les cartes de France, pour celles du service;* géographique de l'armée et du service vicinal, par 1 exemple, on s'efforce, par des moyens plus ou moins J empiriques ou conventionnels, d'arriver à un certain, I équilibre entre les divers inconvénients et les avantage»* des diU'érents systèmes. Des travaux extrêmement inté-i ressauts au point de vue jjurement scientifique ont été A laits en grand nombre sur ce sujet. Les problèmes dont j il s'agit touchent, comme on le voit, à la question plus. 3 générale de la représentation des surfaces les unessu^fl tes autres, et exigent l'iulervention simultan^-e d^^|

iG-i /-A MATHEMATIQUE

Géométrie et de la GOijiiivtric analytique daim les pa^ lies où cette dernière emploie le Calcul infînitùsimal.

Soit en Géodésie, soit en Géographie, on est conduit à se servir des résultats d'une autre science d'application qui se relie assez étroitement aux deux premières : c'est V Astronomie, qui peut être étudiée à deux points de vue très diirérents. S'il s'agit de déterminer les mouvements réels des corps célestes, on est dans le domaine de la Mécanique céleste, dont il ne s'agit pas ici et dont nous dirons quelques mots au chapitre suivant. Mais on peut aussi envisager l'Astronomie en se préoccupant seulement des positions des astres relativement aux observations que nous en pouvons l'aire à la surface de la Terre, ce qui n'empéclie d'ailleurs en rien d'utiliser les résultats que la Mécanique célcslc nous fournit, La science réduite à ces proportions forme V Astronomie descriptive, qui est. elle aussi, l'une des branches importantes des connaissances humaines auxquelles s'applique la Géométrie. Rien qu'en rapportant, comme le faisaient les anciens, les positions des astres à la sphère idéale qu'on appelle la sphère céleste, les problèmes que l'on est amené à résoudre exigent l'emploi de la Géométrie et du Calcul d'une façon permanente. Les figures sphériques, naturellement, jouent un rôle considérable dans ces questions, où l'on est conduit à envisager les coordonnées célestes permettant de fixer la position de chacun des astres étudiés. Ce sont ces mêmes considérations, ainsi que nous le disions à l'instant, qui permettent aussi la détermination de la position des points à la surface de la Terre ; les coordonnées terrestres employées dans ce but sont la longitude et la latitude, c'est-à-dire l'angle que forme le méridien du point considéré avec celui d'un méridien adopté pour origine, et l'angle que forme avec le jilan deTéquateur un rayon terrestre qui aboutit •au point considéré. La détermination des longitudes et

L'APPlfCAnO

DE LA GÉOMÊTBIE

; des plus inipo riant es iiiiestioiis [ l'Astronomie destTÎptive, et présente dans ia pratique tdes difficnltés qui exigent, pour être suiHiionti'es, à la

ice et beaucoup d'exporîeni

U id« iro

tfois beaucoup de scîei BBcquise.

Ici, bien entendu, comme en Géodésie, les approxj mations sont poussées aussi loin que le comporte U nature des observations ; et comme cette exactitude extrôme est du plus haut prix, on n'hésite pas à faire Lde grands sacrifices pour augmenter sans cesse lapai pfection des instruments, car c'est un des facteurs 1 fplus considérables de la rigueur des observationBj Pour s'en faire une idée, il n'est pas inutile d'indiquer un résultat d'une vérification d'ailleurs inimédiale. On rencontre souvent dans la mesure des angles en Astronomie, des évaluations poussées jusqu'au dixième de seconde, Or, la différence de longitude entre deux points geur le même méridien, si elle est d'un dixième de leconde, correspond à une distance de 3'", 09 environ tentre les deux points. L'angle dont on peut se tromper hïnsi est celui sous lequel on verrait un objet de moins de 39 centimètres à la distance de Paris à Marseille ! Cette image suffit à donner une idée de la précision ; résultats possibles en Astronomie, Et pourtant, u*ablme qui sépare l'abstraction pure de la théorie, i valeur absolue de la valeur approchée, n'en reste s moins profond; car ce nii^me angle de un dixième seconde, tout à fait négligeable à nos yeux et % ia surface de la Terre, représentera des milliards de Ittilliards de kilomètres, comme erreur, s'il est luitaéme une erreur commise dans la détermination de la position de telle étoile fixe.

C'est â ce point de vue que l'Astronomie, en dehors de on évidente utilité pratique, a une importance philosophique de premier ordre dans les sciences d'application, et cela même quand on la considère simplement à l'ét^H d'Astronomie descriptive. Elle seule nous présente uqË