H L'APPLICATION DE LA CEOMËTDIE

^b\i de bureaux, de voir remplacer par des tnuês t-xi-l ^caiit un lemps relativement court, les caleiils aux(|uel8 I l'onduirait la solution de tel problème pratique. f

Il est bon de remarquer que, dans beaucoup de cas, m ces solutions sont parfaites, bien qu'approximatives. Sifl un effet les tracés sont bien exécutés, et si l'on est sùr-l que l'erreur graphique n'est pas supérieure aux approxi-J mations limites que comporte la nature concrète del l'objet traité, il est évident que le calcul mathématique 1 rigoureusement exact ne saurait rien donner de plus. Il I n'est pas même besoin d'aller toujours jusque-là; si I l'on sait d'avance, par l'expérience et la pratique, I qu'une approximation déterminée suffit, il est bien inii- J lile de chercher â atteindre au delà, quand même on 1 le pourrait aussi bien par le tracé graphique que parla I nature de la question. On tcouve fréquemment dans-l cette remarque l'occasion d'une grande économie del lemps et de peine, lorsqu'on se propose d'appliquer I à une question les méthodes de la Statique graphique | et plus généralement du Calcul graphique. I

Il est encore une dernière forme sous laquelle la 1 Géométrie et en même temps la Géométrie analytique I viennent prêter leur aide au calcul ; c'est par l'emploi ] Aes abaques, auquel M. d'Ocagne a apporté de grands J perfeclionnements, et dont il a fait, sous le nom de | Nomographie, un nouveau corps de doctrine. Sous ce. J titre, suivi du sous-titre : Les calculs usuels effectués i au moyen des abaques, il a publié en 1891 un excellent ] exposé de cette doctrine, aussi remarquable par la clarté i et la concision (il comprend à peine une centaine del pages) que par le choix et la variété des exemples d'ap- 1 plicalion. Les indications suivantes sont extraites à peu près textuellement de la Préface de cet intéressant , volume, ou empruntées à d'autres écrits de M. d'Ocagne. I Il m'a semblé qu'en cette occasion je ne pouvais mieux J faire que de laisser à l'auteur lui-même le soin d'expli-^

170 tJ MAIIItWJTIQrE

r|ui'r le luit de la mtilliocU-, et les moyens à loelt? œuvre polir allcindrc ce biil,

La Nomografiliîe peut fournir la représciitalion sur un plan, au moyen de certains systiïmes de courbes Faciles à construire, et ronsiruitcs une fois pour toutes, des équations qui lient entre elles les ijuanlités soumises au calcul. De tels lalileaux graphiques, ou abaques, donnent, par une simple lecture, les résultats à déduire de la formule à laquelle tls s'appliquent, elsup priment ainsi, une fois construits, toute espère d'opirations.

Leur exécution représente un certain travail, Ijeaucoup moindre que celui nécessaire â la construction de tables numériques poiirleun^me objet. Cette exécution du reste ne sera avantageuse que pour dci^ formules d'un usage fréquent; niais ces formules soiil nombreuses dans la pratique.

La première idée des abaques semble remonter à Pouchet [1795). Depuis lors, M. Lalanne surtout la perfectionna en imaginant le principe de l'anamorphose.

Pour en comprendre l'intérêt il faut indiquer rapidement sur quoi repose la construction d'un abnque ; une équation f{.r,i/,z) = o est représentée si, donnant as une certaine valeur 3„ on trouve la courbe /'(,j,^,s„)=o qui s'ensuit, et si on en fait autant pour un grand nombre de valeurs de s. Si l'on suppose ces lignes tracées sur un plan quadrillé parallèlement aux coordonnées OX,0Y, on a l'abaque de l'équation proposée ; chaque courbe particulière répondant à une valeur déterminée de z est une ligne isoplèthe qui peut être désignée par ime cote.

Ceci étant, le principe de l'anamorphosedeM. Lalanne , a pour but, lorsque la forme de l'équation s'y prête, ] d'opérer une transformation qui substitue aux courbes isopléthes <le simples droites. Ce principe peut être généralisé, et l'on arrive à avoir trois systèmes de droites variables; la condition pour que trois droites, chacune d'un des systèmes, soient concourantes, se traduit pré-

L'APPf.lCATIOy DE LA GEOMETRIE

7 Té

l l"aba(

Tiséraent j

construit ibumit la représentatiou.

Enfin, M. d'Ocagne, par une application judicieuse du ! principe de dualité, est parvenu à substituer aux (|ues à droites isoplèthes d'autres abaques, à points I isoplèthes, plus simples, plus clairs, et s'applîquant à " des éqirations à plus de trois variables,

M. l'ingénieur des mines Lallemand, connu pour ses beaux travaux de Géodésie, a l'ait connaître aussi un procédé très ingénieux, applicable à une catégorie particulière d'équations à plus de trois variables.

De nouvelles extensions indiquées par M. d'Ocagne, J et fondées sur d'autres principes, donnent une portée I plus grande encore à l'usage des abaques, et ont permis de compléter l'exposé systéiiiali(]ue présenté sous le | nom de Nomographie.

Au point de vue philosophique, on peut faire un \ rapprochement entre la Xomographie et la Géométrie i descriptive. L'un et l'autre de ces corps de doctrine \ ont pour but la mise en application de certains principes, en vue de certains besoins absolument pratiques. La Géométrie descriptive ramène an plan les faits de Vespace, la Nomographie ceux du nombre. L'un repose l sur l'emploi de quelques propositions simples de Géométrie pure, l'autre sur quelques principes non moins élémentaires de Géométrie analytiqne.

CHAPtTRE IV

S'il eM. une ^^ence dont les* nh^uhal» soient de nature a frapper «rafimiralion les esprîtSv mente ceux qui y sont le moîn» înîtiéï». c'est assorèflAent rAstronomie. Vous avons rapidement nidi€|iié dams le chapitre précélient les caractères de FAstFonone descriptive. Mais «■'est surtout sous sa seconde forme. la Mécanique céleste, ffu'elle arrive a exercer sur Tîniagination cette action dune intensité pri>tontIe. La raison en est facile à comprendre. En Astnjnomie descrîptiTe, on enregistre les faits provenant des observations : si délicates etdifiîciles que soient ces observations, si précises que soient les mesures qu'elles comportent, rien en cela ne semble sortir du domaine habituel de la science. On étudie bien les mouvements des astres et les divers phénomènes astronomiques, mais c'est toujours au point de vue du passé et du présent.

En Mécanique céleste, au contraire^ comme on fait remonter à l'action de forces connues les mouvements druit il s'agit, on en peut calculer les lois. Dès lors, on Hîiit de façon précise quelles positions doivent être occupées par chacun des astres à un instant quelconque; (!t Ton arrive ainsi à pouvoir couuaitre Vavenir^ au [joint (1(5 vue des phénomènes célestes; c'est cette huiillé (l<î prédiction, s'exerçant sur des sujets sem-

et lui bit

sance

Au p<MAt ^

surtout saare de appliratii phénol avec les

Daosloot effet, les a siques

enrhcTètrécs.

quent les < gnées «les

Lorsqu'il s^a^l 4»

traire, I mutuel tes, b nulle) da Mécanique et

dence pr«sqoepav&ik.B «mS^jôb et même loirt

tique pure. c'e rt - a Jôr 4e b offrent arec les n'approche naturels.

C'est tic Kepler. tA Mécanique céleste. Le patientes ubserrafâoa* 4 pouvait seul tirer pmfc.

quelles se déplaçait les solaire. Le secoad. p artit 4e tx» k intuition merveilleus*- *crnef»rmmg | iiiatique incomparable.

mêmes la conséquence d'une aali->> I-.-.

veut, d'une hypothèse — uDÎqii''. l( phénomènes plus ou rnoin^ rxtoplexeav

174 t-i M.iriiÉM.iTiQrE

plus simple : celui de la gravllation ou atlraction uni-,

versfUe.

La Mécanique [■élestc «st douf Tondre, au moins eu ce qui concerne les planètes et leurs satellites, seuls corps célestes auxquels soient applicables les observations que nous présenttiiiB ici, A partir de cet instant, î) semble que tout soit dît. Les planètes décriveul régulièrement des orbites elliptiques autour du Soleil; autour d'elles, et entraînés par elles, les satellites circulent suivant des lois pareilles. Les masses de tous ces corps ont été calculées; on sait à tout instant, dans l'avenir aussi bien que dans le passé, quelle position chacun d'eux occupera dans l'espace par rapport au Soleil ; les phénomènes tels que les éclipses, les passages de la planète Vénus sur le Soleil, les phases de la Lune, par exemple, sont prédits de façon précise. On pourrait croire qu'il n'y a plus de place que pour l'Astronomie d'observation, dont le rôle se bornera à une simple vérification permanente, et pour ainsi dire inutile, des résultats obtenus par le raisonnemeul et lo calcul.

Il n'en est rien pourtant, et la voie qui doit être parcourue par les Laplace et les Le Verrier reste largement ouverte. Sans parler des mouvements de rotation de chaque astre sur lui-même, mouvements qui donnent lieu à de difliciles problèmes de Mécanique, et en continuant à considérer chaque astre comme un point matériel, il faut remarquer en efTct qu'en vertu de la loi de la gravitation, tous ces astres exercent eux-mêmes des actions les uns sur les autres. Les étoiles fixes, de leur côté, exercent aussi des attractions; par conséquent, ce ne seront plus des ellipses rigoureuses que décriront les planètes; chacune des trajectoires, par rapport à TelUpse mathématique idéale, présentera des différences plus ou moins appréciables; les mouvements prévus et prédits subiront des perturbations. C'est ce que les observations ont confirmé; et l'étude

M LAI'PLICATFOy DE LA MliCAMQlE 17S

de ces perturbations est et restera longtemps l'un des chapitres importants de la Mécanique céleste, sans parler dos comètes, des mouvements de rotation, de l'astronomie stellaire , du mouvement d'ensemble du système solaire, etc-

Si les perturbations sont faibles, cela tient à plusieurs causes : d'abord, le Soleil a une masse considérable ' par rapport à celle de chacune des planètes, et même de toutes les planètes réunies; en second lieu, les orbites elliptiques, qui n'appartiennent pas à un même I plan, sont dans des plans qui ne présentent les uns sur les autres que de faibles inclinaisons; un fait analogue a lieu pour les satellites; les planètes sont assez éloignées les unes des autres pour que leurs actions mutuelles soient réduites; enfin, si quelques-unes des étoiles fixes ont très probablement des masses formidables, souvent supérieures de beaucoup à celle du Soleil, les distances énormes qui les séparent du système solaire rendent quand même l'efl'et de leur attraction négligeable. Tout cela réduit à peu de chose les perturbations, mais ne les supprime pas ; le problème mécanique rigoureux est donc fort loin d'avoir une solution, et pour avoir une idée de la difTiculté qu'il présente, il suffit de se rappeler ceci : en supposant seulement trois points matériels de masses connues, s'attirant in\ituellement suivant la loi de Ne\vton, la détermination de leurs mouvements est un problème (célèbre sous le nom de problème des trois corps) sûrement insoluble par les moyens ordinaires que fournit le calcul intégral. Des centaines, peut-être des milliers de mémoires ont traité cette question; les plus grands géomètres l'ont abordée, et cependant c'est à peine SL elle a fait quelques progrès; en tout cas, elle n'a été résolue rigoureusement que dans quelques cas particuliers.

Si le problème des perturbations reste théorique- J ment insoluble, on pourrait se demander s'il en résulte. 1

176 /.A matiii:m.\tique

une lacune réelle dans la st'ieiioc concrète, c"est-â^ si les perturbation a nr rentreraient pas dans la falégorie des grandeurs négligeables, inférieures aux limites des erreurs admissibles. 11 n'en est rîen ; et c'est pour cela que bientôt les observations vinrent révéler les discordances entre les résultais annoncés et creux que l'on constatait, et provoquèrent ainsi do nouvelles recherches Ihéoriques- On sait qu'à défaut de solution absolue, l'Astronomie a été dotée de méthodes qui permettent de pousser très loin, aussi loin même qu'on le veut, le calcul des perturbations ; on n'ignore pas non plus, dans cet ordre d'idées, l'histoire de la découverte de la planète Le Verrier par le calcul, et je W- la referai pas ici.

Ce qu'il est utile d'indiquer, c'est que la science, dans cette direction, est appelée â un progrès indéfini. A mesure que les instruments se perfectionnent, on arrive dans les observations à mesurer les grandeurs avec une approximation qui croît sans cesse. Si loin que soit poussée celle qu'a fournie la science pure, Tobservation viendra donc révéler, â un certain instant, des discordances avec la théorie, et en exiger l'explication; la théorie progressera, ajoutera un terme nouveau à sa série, et ainsi de suite.

A ce sujet, une digression est nécessaire ; car en dépit dn caractère paradoxal qu'elle présente en apparence, elle renferme, je crois, un précieux enseignement. Kepler, nous l'avons rappelé, cherchant par l'observation les lois des mouvements des planètes, trouva en particulier qu'elles décrivent des ellipses dont nu des foyers est le Soleil (ou le centre du Soleil) . II n'avait à sa disposition que des instruments relativement grossiers, ou plutôt qui nous paraîtraient tels aujourd'hui. Supposons, au contraire, que dès cette époque il eût été en possession de l'outillage le plus parfait et le Jilus complet de l'un de nos modernes observatoires ; que fi'it-îl arrivé? A cause rnème de son admirable tal^l>

LAPPLICATtOy ÙE

S!QV

d'observation, du soin et de la patience qu'il apportait'! â ses travaux, les perturbations qui lui ont échappé se < seraient révélées; mais, étant révélées de la sorte, en j superposition avec le mouvement elliptique qu'on ne con-"! naissait pas préalablement, on n'aurait eu comme résuUJ lat qu'une trajectoire indéfinissable; et la sanction Aum tant d'efforts par un observateur de génie aurait été, An la place des trois admirables lois de Kepler, une véritM telle que celle-ci : « Les planètes, dans leurs mnuve^fl ments autour du Soleil, décrivent des orbites trèH coin^ pliquées, qui ne sont pas planes, et cela suivant den lois que l'Algèbre ne saurait traduire, o II oRt HUppo^il sable que cela n'aurait pas sulii à Newton pour le con-l duire à la découverte de l'attraction universelle. I

Donc — et c'est là le paradoxe que nous indiquiomt-J lout à riieiire, — dans certaines conditions, Ur Iropifl grand progrès des moyens d'observation peut t^lre un>J obstacle an progrès de la science, un empAcbement ù IaV découverte des lois de la nature. Ce qu'il faut, c'ifitt I que ces moyens matériels soient en harmonie Hvca J l'état général d'avancement des connaissanccn corri'tt* 1 pondantes. Le progrès scientifique ne se fait en Hoiiima . que sous la forme d'approximations succchhJvck : l'I surtout lorsque des faits observés il s'agit de rcinnulrp à des causes, à des phénomènes plus géiiérunx, il ''nl , souvent à désirer que les observations ne noient |ih» A trop approchées, c'est-à-dire qu'elles ne rellMiuit puH I l'influence des causes accessoires de (Toni[ili('iilitui<t, ( venant se superposer au phénomèiii' priucipiil, cl l'i'U- J dant impossible l'étude mathématique. 1

Ce que nous avons dit suHIt à caractéiim'r l'.\Nlr'iuii> | mie, qui restera quand même, et proliiibli-nii'iil liiu|>HM'n, comme l'exemple le plus frappant île riippri>clii'uii'u( entre la Mathématique pure et Ick IniU rlu iiuuuli) J réel, et comme un véritable monumenl eluvé i\ lu h''*'I1* J lie l'intelligence humaine et à la puittHiuii'e dit nilHi)ll»fl nement mathématique, ^^^^

KMA7IQIE

Défi ijiu' de la Mécanique rationnelle on essaie i tirer des conclusions concrètes, c'est-à-dire dès qu'abandonnant les abstractions pures, on vient leur substituer des réalités, m^me par voie d'hypothèse, comme simple exercice, sans qu'aucun problème pratique soit «iTectivement en jeu. on fait par cela mému de la Mécanique appliquée. Cette appellation est donc très générale et comprend notamment la Mécanique céleste, dont nous venons de parler.

La Mécanique appliquée se subdivisera en un nombre considérable débranches secondaires, et ce nombre peut être appelé à s'accroître encore chaque jour. Parmi elles, l'une des plus importantes est la Mécanique industrielle, qui concerne plus spécialement l'étude des macfniie-'i, de leur fonctionnement et de leur construction. C'est h Poncelet qu'on doit attribuer le mérite des plus grands jirogrès accomplis en Mécanique industrielle, progrès qui n'ont pas eu. seulement un intérêt scientifique, mais qui ont réagi de la façon la plus heureuse sur le développement industriel lui-même.

Une machine est en général un assemblage de corps destiné à transmettre l'action de forces, et à produire ainsi du travail mécanique sous la forme la plus commodément utilisable pour le but que l'on poursuit. Ce résultat s'obtient par des dispositions très diverses et en particulier par des transformations de mouvements, qui donnent lieu à l'étude des mécanismes^ et âla considération des machines à un point de vue exclusivement cinématique. Cette étude cinématique dans certains cas exceptionnels, comme dans l'horlogerie, par exemple, entre pour la presque totalité dans la théorie des machines. Cela arrive lorsque les forces à mettre en jeu sont d'une intensité tellement faible qu'on a une surabondance de ce côté, d'où il résulte que l'économie de force neprésente aucun intérêt ; la question mouvement estcapitale, et la question travail se réduit pour ainsi dire à Tta

LAPPLICATIOS DE lA MECA.yiQCE

Mais en g^>iiéral il n'en est point ainsi, et ce »ont I même (les conditions exactement contraires en pré- -I sencc (lesquelles on se trouve. L'économie de la furre I est essentielle; et toutes choses égales d'ailleurs, la meil- 1 leure machine sera celle (jui avec «ne Torce déterminée Ë produira le plus de travail, ou, ce qui revient au même, I produira un travail donné avec le moins de forcv. Nnusl ne saurions entrer ici, même à titre d'exemple, dans (a 1 moindre considération particulière sur l'étahlissemeDt J des machines, qui se subdivisent à l'infini et KOnt K^d^I ralement classées suivant la nature de la force que l'oB'fl emploie. Mais il nous semble indispensable de prè«] senter â ce sujet quelques observations d'un ordre aima* f lumenl général. I

Il faut d'abord bien remarquer que In .Mécanique'! industrielle, s'appliquant à des corps naturel» et pour- 1 suivant la solution de questions praliqucK, doit avoir! recours, sous peine de mécomptes, non fteulenieni A II I Mécanique rationnelle, mais encore à la l'hvKJque, ft !■ J Chimie, A toutes les science» de nature a corriger la ] distance entre les abstractions et les réalité», en fournissant sur celles-ci des iodîcalionx complémentaire». La théorie des machines devient donc Waucoup pluH complexe qu'on n'aurail pu l'imaginer, si on veut la irai* ter avec une certaine rigueur, et dan» den condition permettant d'en déduire de& rc»ultali( pratique*.

Une machine comprend ewscntiellemeni Iroii» parties {1 ie récepteur, les transmissions et t'outil. I.e réreplniif ^ puise en quelque sorte dan» la source de forci- naluvf relie quelconque qu'il s'agit d'ulili»<-r, cl emploie t'urce dont on >i'est emparé pour produire un cerlainl mouvement. Les transniissionH IraUMforuienl ce mo, ment etiinissent par produire ainiti celui qui cifnvii^nt & j la marche de l'outil. En toute in«chiiic. réiénieni ettsuDliel qui mérite de fixer l'attention, c'otl le Iraïuil ou la force vive, dont leit définilion>> Mont dounéen •■! ilo l'identité est démontrée damt la Mécanique rationnelln,

isaïiOT^l

ttn JL.I MATUÈMATIQVE

pour les sjslêinps «le puiiils iiinlrrielii. Pur rntili d'iim* fiipce ili-torniiut-o, tjiiellp cju't'n soit la source, uni' mat'liinc absorbe donc iiiiecerlainesoitiiiie de forée vive; cjl« Iransniel telle forée vive Jvisqii'à l'outil, où rmi litiil par la retrouver sous forme de travail, ("est ainsi Jii moins que les ehoses se passeraieal si les rêsi^tunii^!^ tl«s organes, la raideur des liens (l^xibleH, les chocs, l«8 vibrulioiis et il'ntilres causes nombreuses encore, dc représentaient une certaine |ierle de force vive einployci" à produire inutilement ces divers effets, el qu'on ne saurait reirouvpr, par conséquent, dans l'outil, c'e^t-adire sous forme de travail- utile. La somme de force vivial>sorI>ôe par le récepteur correspondant juste à ce qu'on nomme le travail moteur, il suit de là ipie le travail utile est toujours inférieur au travail moteur. Le rapport de ces deux grandeurs constitue le rendement. L'utopie des chercheurs de mouvement perpétuel consiste, au i'ond. dans la conception d'une machine dotit le rendenicnl serait supérieur à riinifê, ce qui est radicaleiuent impossible. Autant vaudrait imaginer un moulin qui, lecevaiil 9 kilogrammes de blé, rendrait en écliango lo kîlngrammes de farine.

Les théories de la Physique moderne ont élulili i|ifc l'on pouvait afiirmer une équivalence remarquable cnlrf lieux grandeurs dont les apparences sont cependant bii;n diirérentes : !a chaleur et le travail mécanique. De là à conclure que la chaleur ne consiste qu'en un cas particuHer de mouvement des molécules à l'intérieur des corps, la pente était naturelle; ce n'est toutefois qu'une théorie, ou une hypothèse; mais cette hypothèse rationnelle a produit de beaux et utiles résidlats.

Allant plus loin encore, on est arrivé à la théorie de Vénergie, en désignant sous ce nom plus général une qualité inhérente â la matière et qui se retrouve sous une ibule d'aspects divers et de manifestations multiples : force vive, chaleur, phénomènes électriques, etc..

Al'PLICATlOy DE i

MQVE

3 phénomènes caloriques ayant cependant une prêponrant-e accentuée. Sur ces bases, on a étaltlî la grande érité naturelle connue sous le nom de coitsertiilion de 'énergie, et, revenant aux machines, on peut, avi^c un <]us haut degré de stmpHcIlé dans le langage, dire jju'une machine est un transformateur d'énergie. C e» vues générales ont été de nature à jeter quelque» c tés philosophiques sur des sujets compliqués loi'squ'i les considère isolément, et elles montrent, en loul t : les laeimes que peut présenter encore la théorie 4 e ou telle catégorie de machines sont intimement Ï\A tel ou tel chapitre correspondant de la Physique. C*j tinsi par exemple que l'étude des machiner a vapcMir, 4 (lus généralement îles moteurs thcnniqucc, tw p« Itetidre de perfectionneuienls que de ceux de lit Ttifl odynamique. et nullement de la Mécanique ralioiifitfU Sur l'étude générale des inachinett viennent tus ^ l'er certains chapitres spéciaux, tels que ceux qu; pour objet les freins, les voUnm, les réguIaleurH, p exemple. Nous nous contentons de leit meiilioiiner,

^K Ce n'est pas seulement à la Mécanique indiiHlnMll Kque la Mécanique rationnelle vîeut s'appliquer. Kllc rr des services dans l'élude de tous le» pliénum^'iiew interviennent les forces ou les niouvemeiilN, «n dcln des machines proprement dites. C'e»t Jiro <|U« l'Mi , l'Ingénieur n'est presque autre choiu; qu'uiiv couliili application de la Mécanique.

ILes construction» notamment exi((<'Ml riut>'rvi'iilUil|,| te la Mécanique; bien qu'il ne K'iigJHtM* (lan U'i di lËments en apparence, il împ^frle »u plu* IihuI |f<ill||' Tëtudier les conditions de «labilité, ^:' t-nt-k'tWt'** <!*• «' ^cer pratiquement dau» d«» comlili"tiit itU <I<'m tu»m. enients nu puissent pajt kc proiliiire. \jt» ■litlillll/' iliiN voûtes, celle des murs de iMjuléneffl<'nt, b<ii pruItlAlHl concernant les ponU Huspeiidiiiit uWfi'Ui Afn waitlll curieux de ce genre de qucMlioitH.

■fia LA MATIlÊMATfQVE ^^^|

Il faut aussi y rattacher le chapitre si important, et obscur enrorc sur certains points, que constitue la Hèsislance des mittérmiix. Mais ici encore, respérieme devient indispensable, on est dans un domaine (|ui relève à la lois de ta Physique et de la Mécanique, et ce serait une erreur -de croire que les problèmes di' résistance des matériaux puissent être utilement traités par le secours de la théorie pure.

11 est un genre de questions où l'étude des mouvements et du jeu des forces présente un caractère tout spécial: ce sont celles qui concernent les fluides; grâce à des hypothèses purement gratuites, et tout à fait analogues à celle qui nous fournit le point matériel, on a pu imaginer des fluides idéaux, gaz ou liquides, permettant de faire rentrer dans la science pure l'étudié des phénomènes dont il s'agit, ce qui donne lieu à V Hydrostatique et à V Hydrodynamique.

Mais aussitôt qu'on veut essayer de tirer parti des résultats ainsi obtenus, c'est-à-dire passer à Vifydrauligue, il est nécessaire de rectifier ces conceptions premières, de les corriger en y apportant des données nouvelles, fournies directement par rexpérience ou par les théories physiques qui paraissent le mieuï s'adapter à Pensetuble des phénomènes observés. Le régime des cours d'eau, les barrages, les distributions d'eau dans les villes, les canaux, et bien d'autres sujets encore, sont des applications de l'Hydraulique.

Les constructions navales soulèvent à la l'ois des questions d'Hydraulique et de Mécanique appliquée sous toutes les formes, surtout avec l'importance qii a prise de nos jours la navigation à vapeur.

Rien que par ces brèves indications, on se rend compte de l'étendue des services que rend la Mécanique rationnelle, aidée par l'ensemble des autres sciences, Elle est insuffisante, évidemment, car les hypothèse

L'APPLICATION DE LA MECANIQUE i8J

sur lesquelles on Ta édifiée sont généralement trop éloignées de la réalité pour que les résultats fournis présentent l'approximation dont on a besoin. Mais sans son secours, les sciences d'application dont nous avons parlé n'existeraient pas ; et du reste, si grossière qu'elle soit, la première approximation fournie par la théorie n'en constitue pas moins une indication des plus précieuses.

litre —g» biw. tamém ^m^ftmÊm txaMtrjMn^ émmmwjw luranl île b ^«eitMN en ck- 4fM <:M f » »« i«w r>4r<ii^ Ipays. Qnelqne» iadalMaB » <<J ifc»i' j< «m flMMitMâMW élraogèms pvorraat rryf <» ■ < •mmIm4mw» 4h»» «%• observatioiu et mtmir 4e l *w « j « 4c >wt«fdW3MM<#, 1» ««» écbêaut. Maû t««t ceb se p>i ! i i< fa jmikm* Y** *"* '*'*''•' tére excrplioiiftcL Mo* Inrt iE««a«l 4'fm^*^ àtt •à'mff quelqucM tAétr* gatbe» 4amt fruêUeuté, •iU Ut vmmUhh ,

ut ;ï ini'iiie du le laîre. Je n"ai pas l'ainhinl •al (

lormuler un plan général (le réforme de Tenseignemenl tnatliéinatique ; muitiH encore de préparer une sorte de manuel pédagogique, te dont Je me sentirais profondément ineapablc.

Ces explications pnJliniinaires étaient utiles pour éviter toute équivoque, et pour préciser k l'avance ma pensée dans la limite où il m'est possilile de lo faire.

Dire que renseignement mathématique est utile, c'est assurément une banalité. Cependant une question se pose dès le début : convient-il de distribuer à tous ce! enseignement, on bien d'opérer une sélection ? N'y a-t-il pas des aptitudes spéciales nécessaires pour réussir dans l'étude de la science mathématique et y faire quelques progrès ? Ne rencontre-t-on pas un grand nombre d'enfants ou de jeunes gens, d'ailleurs bien doués, qui manquent de dispositions naturelles au point de vue qui nous occupe, et dés lors est-îl véritablement nécessaire de leur imposer des études dont ils ne sauraient profiter ? 11 n'est pas rare de rencontrer des hommes instruits et distingués pour déclarer,parfois avec une légère afTectatioo, qu'ils ont toujours manifesté pour les études malliéuiatiques une aversion profonde, et qu'aucune des notions de cette nature qui leur furent enseignées jadis n'est restée dans leur esprit. J'imagine que dans ces propos il entre souvent un peu d'exagération, même lorsqu'ils sont absolumeul sincères; il nous est bien difficile de savoir au juste ce qu'a gagné notre cerveau, ce qui s'y est nettement gravé, dans quelle mesure il a profité des études de notre jeunesse. C'est un appareil enregistreur tellement complexe que la question est insoluble sous cette forme. Notre état mental et intellectuel présent est une résultante générale, et personne ne peut savoir avec quelque certitude ce qu'il serait, dans le cas oii l'on

VUE GÉNÉRALE SUR LESSEICyE »E.\ T (>«

lurait supprimé telles on telles parties de» inipreti.4ioiin E[u'îl reçut autrefois. ■

Aussi je ne m'arrête pas plus longtemps à l'objeclioilB lînsî proposée, et je reprends la question en «■noiirann leitx axiomes qui me paraissent vérifiés par une Kaioel îbservation des faits : Ê

1" Dans le milieu actuel, dcH notions malhématîqiiera loiit nécessaires à tous; I

2° Chaque intelligence moyenne eM apte â acquérill îes notions, restreintes à de certaine» liniile<t. I

Se demander si un enfant a de» dispoHitioiiH pour J|fl Mathématique équivaut â se demander h'iI en a poUM 'écriture et la lecture. Quelques-un»i restent Inteilf^nienS llettrés par faiblesse d'esprit; qiietqiieH-unH pourroDS lussi se refuser à recevoir aucune notion malhémaljqiig^ D'est une inlimiilé individuelle, mai» (|iii iiu p"rl|9 tUcune atteinte a la proposition générale. V

Si l'on posait celte question : « Tout enfant nnl il HplM B devenir un mathématicien ? » ou iu>iilemenl ; » iVul'fJH apprendre la série générale des ïtraavtu-n df> lit Maillée niatique composant renseif^ncmcnt rompltrl ? * la ré^ ponse devrait être toute contraire, l'our ronlîniH'r (^ ultiverla Mathématique aprèft Ur* éliide« lirriiiiii^'t^» "1 a dehors des nécessité» pn^ifiruMoiinelie». un (foi'il ■(!/■■ ial est nécessaire, et tout le mondi; ne t'a (■(^rluiiiemniit ^s. Pour pousser ses éludes dans celle difeliini, Il tot bon de s'y sentir portr^ naliirellemenl, lii''ri qui< iouvent le travail %-oulu el soulenu vieiin» hUf)\i\f'i'i' au» ptitudes naturelles, ou plutôt r^véltfr en* uplitinl»» a'on ne soupçonuait pan.

En France, le nombre e«t Irop ffraaâ âfn rnCurMi iflll ont été ioconsidéréineul lafie^» vum tU-n i'Uiiii'h \i'ttir lesquelles ils manquaient de dt^p^Miti"*» iiwttii'ulbib. I ii t succès de collège, un WM»d<-«le priK de lié«ri(ii'>|t'Ji> 1 d'Arithmétique, «urTït qu'^lquefoia, la vuniU' famiUuUi idant, pour fau»B«r uae ifoeai'mn. Ou allribiiu à dui> In-

rStt f..l ilATIlÉUATtQUE

rilllés fXre|ilioiinc|]fs ce (|iii est 1(? rêsnllat il'im bon travail iiioveu, el l'on Jirigc sur l'École Polytccbuique

I l'ÉfoIe N<irmalo un mallu'urevix L-aiulidul de plus, qui éclioiic iiialfjrv tons ses eilbrls, i-t qui aurait sans doute fait le plus hoiiui-able des couuucnaiils ou (Ifs agriculteurs.

On voit, en résumé, quelle est notre conclusion. De l'aptitude naturelle, aucun compte à tenir s'il s'agit de Tétiide des éléments; le plus grand compte, au contraire, s'il est question de pousser plus haut, et surtout d'affronter des concours dilliciles.

Mais, en dehors de la difficulté de bien apprécier les aptitudes naturelles, ce qui e.\ige du jugement et une longue observation, l'on est en droit de se demander quelle est la limite ainsi tracée; ou s'arrêtent ce qui' nous appelons les éléuients. Je crois qu'on pourrait sans inconvénient grouper sous ce litre, sans que cela ait rien d'absolu, ce que contiennent les programmes de l'ancien baccalauréat es sciences, complétés par les notions qu'on a introduites avec juste raison dans l'enseignement secondaire moderne, et par quehpies vues rapides sur la géométrie moderne, qui manquent à trop de jeimes gens. Cela ne veut pas dire que tous les enfants devront acquérir l'ensemble de ces notions élémentaires; ils le peuvent tous en vertu de leurs facultés naturelles; mais malheureusement les nécessités de la vie obligeront un grand nombre d'entre eux à interrompre prématurément le cours df leurs études. Je dirai sommairement, dans le dernier chapitre, comment à mon avis devra être compris pour ceux-là renseignement mathématique.

II n'y a pus, je le crois, plusieurs méthodes d'enseignement, si nous entendons par enseignement l'ensemble des efforts par lesquels on cherche à meubler de certaines connaissances le cerveau d'un être humain

rcE cÉ:rtmjMM

T[ai n'esl pas à

liante Malfaêrnal i^ii, JwH h»*

(lues par des exposées à des

3 notre obseri

Mais été tue n taire.

arithint-lîquc jv rius (le la Gë< nelleuient le ■ la recherche, lai d siun si l'on ¥v«l. ^'S * <*st enseigné.

On m'objertera i'aciles à foi^uder ^~k l disconvenir, je ctmim €KfemêMM ff^ ue i s'exagérer les olwtarie*. «tmM«rcr4ai parce qu'oo ne aecnît fo» 4r Cmkw a 1* a

lions : la preaîéfe, et la ffa» mifmtm0t:^ ^tmÊ, ttg 6a part du pro(ésse«r^Mei'fM'9«HLfrg»aaeC fammamé» î'enseignenieat: ait fait a» kan^M- ^Êtr lâtÊf^tmm 4t sittialion. ou tméi^r par Aevwâr #1 mmimifmt». !• favCw (^st perdue araal ^Hgm ^t t nf ô»^-. le <f««iê4r «•rMtma* nécessaire â l»«ii ptwg ri-» ac « iti M wa 9*** *** - '^w* pourra bien aller Teta aesélne*: f i wy wt ^ •«« *êr*«» iiira pas ver* lai.

En second lieu, le ■ rôle important: «i trMet^ d"»

certaine limite, variable *m^a»t le* d^ j j- rt» 4e. t ut t* ^ gaement, il n'y a pit» ir^lêre^, aï de fr*4* -mj >* . wt ; H J a un troupeau et un ebiea de ber y r; if»ill«wn»« «^ dit en passant, loal pr»>le»«enr «-««Iravat a foi»»' d»- ta discipline est condamné par cela ai ^ -aie a tim^mtutatt*-^. Au contraire, ou a iMiuvenl dêrfapfé qa^ «ï i*»»*^ t^»*MÊ a un effectif trop restreint. Xi:n**-ijfn*nt*^n\ "U vuUtf, laule dêmulation: je croî» fort peu (.■vnr ma ps<»l * In

micessiU' de celte 611111 la tinn en matière mathémaliqufl, et l'idéal à mes yeux serait un prolcsseiir par élève; il rsl d'ailleurs évideul i]ue, dans l'enseig^nemenl ordinaire, la rt'imîon s'impose, mais il est bon, encore une fois, qu'elle ne dépasse pas des limites raisonnables.

Il Tant aussi que ce groupe, qu'on appelle une classe, présente une assez grande homogénéité. Sinon, l'inslituteur est contraint de mesurer son enseignement sur les l'orts ou sur les faibles. Dans le premier cas, le découragement se produit chez ces derniers; ne pouvant plus suivre, ils désespèrent d'eux-mêmes; dans le second, c'est la ti^te de classe qui sacrilice.

Les conditions normales dont nous venons de p3i étant supposées remplies, il est une recommandation indispensable à faire atout professeur. C'est, sauf de très rares exceptions, de ne pas perdre de vue qu'une science pure, au point de vue dont nous nous occupons, n'est jamais une science complète. Il suit de là que toute instruction rationnelle doit contenir, à côté des éléments eux-mêmes, des applications continuelles, dans une mesure assez discrète, mais adaptées le mieux possible aux théories. Le but de ces applications estdouble: tout d'abord présenter à l'élève des exercices sans lesquels une science n'est jamais vraiment assimilée; el puis, ce qui est plus important encore, fournir des occasions continuelles de rapprocher le concret de l'abstrait, de montrer comment on peut revenir de celui-ci à celui-là, ce qui est le but définitif de la scieufe en général.

Et ce n'est pas par hasard ou par occasion seulement qu'il faudrait montrer ce rapprochement, et attirer l'attention sur les abstractions qui servent de base à la science pure ; c'est sans cesse que le côté philosophique devrait être la grande préoccupation ; et cela, dans toutes les classes, à tous les degrés, sur tous lei

VUE GEyen

LE SLR L-EySEIGXEMEyT

sujets. Les vérités générales, exposées avt;i: une ce laine habileté, mises à la portée de ceux auxquels on les présente, ont toujours un intérêt et exercent un attrait. , Attirer Tattention des commençants, même des jeunes enfants, sur ces vérités-là, et les en bien pénétrer, c'est l'un des moyens les plus sûrs de leur évilor des difficultés dans le développement ullériciu' de leurs études.

ir;

En dehors des idées philosophiques dont nous parlons, il est dans chaque science, et pour ainsi dire ' dans chaque chapitre de la science, des propositions très générales et d'un grand intérêt, en raison du I nombre considérable de conséquences qui en découlent ou d'applications diverses auxquelles elles se prêtent. A ces propositions-la, un soin tout particulier doit ] être apporté ; il faut les mettre en vedette, les signaler, .1 prévenir d'avance qu'on est destiné à les revoir ; et^l lorsqu'on les reverra, sous dix formes, sous vingt \ formes différentes, ce ne sera plus alors une étude nouvelle à recommencer chaque fois, comme cela i arrive trop souvent ; l'élève reconnaîtra sans peine une vieille connaissance qui se présente seulement à lui avec une toilette nouvelle, et sa mémoire ne se

«mettra pas à une torture inutile.

Du reste, le rôle de la mémoire, certainement nécessaire en matière mathématique comme en toute autre, • doit être réduit d'une façon générale à d'assez faibles i proportions dans un enseignement rationnel. Ce ne sont pas les images, figures ou formules, dont il faut surtout laisser l'empreinte dans le cerveau ; c'est la faculté du raisonnement ; et si un élève a appris une proposition importante en y étant conduit de telle sorte qu'il l'a pour ainsi dire découverte luf-même, cette proposition sera facilement retrouvée par lui, dans le cas où il viendrait à l'oublier, car son esprit repassera sans peine par les , mêmes sentiers qui l'avaient amené au but une première

fois.

gi /, 1 MAI llKMATlQUi:

En un mot. v'vnX «urloiil pnr l'initiative personnelle (|iie ppiit se l'aire d'iiiie faron normale le tlêvelopjiemont de l'eKitrit mathéniatifjiie : iniliativc chez 1« maitro, iniliativc chez rélève. Le premier, il faut le reconnaître, en est souvent empùchù par rexignïlé ol la raideur des programmes ; le seciind. de son cùtê, n'a géiiii'ralement pas d'initiative parce qu'on ne lui en a pa» communiqué le goût. 11 a été exercé à travailler, à apprendre, très peu à comprendre, et pas du tout à chercher. Dans des classes peu nombreuses, composées déjeunes gens se destinant aux écoles et désireux de réussir, il est pari'ois arrivé que les appels réitérés d'un professeur, tendant ii obtenir de ses élèves des demandes personnelles de renseignements, sont restés pour ainsi dire sans ell'et. C'est que, bons élèves du reste, se donnant de la peine, ces jeunes gens, depuis leur enfance, avaient été dressés en matière mathématique à apprendre toujours et jamais à penser.

Les moyens matériels, les procédés pédagogiques n mettre en œuvre pour obtenir le résultat désiré sont éminemment variables, suivant la nature des classes, l'avaacement des élèves, et aussi d'après la manière de voir et le tempérament du professeur. Nous en examinerons tout à l'heure quelques-uns parmi le.s principaux; mais nous tenons à insister dès maintenant sur cette proposition que, dans toutes les circonstances, rien ne 'peut suppléer à l'enseignement oral spontané, c'est-à-dire aux explications données à haute voix avec toute la méthode et la clarté qu'un esprit juste et une longue expérience permettent d'acquérir. Il faut en outre que fréquemment les élèves eux-mêmes, à tour de rôle, soient appelés à présenter des démonstrations ou ii chercher des solutions de problèmes, autrement que la plume à la main.

Il serait indispensable d'introduire surtout dans l'engnement oral deux coutumes qui semblent exig er du

VCE GÉNÉRA

plutôt I

SUR L'ENSElGyEME.yi

in font ffai^ner. Une se

ule (

temps, mais c

en vigueur, et encore dans une mesure un peu excep- I

lionnelle. Je veux parler de leoona d'introduction et de |

revision. Ces dernières seules sont appliquées, sous I

une forme ou sous une autre, dans quelques classes. I

('omme le nom l'indique, ces leçons devraient avoir J

pour but, une fois le cours terminé, ou mieux peut- I

être après chaque branche importante étudiée, de rap- J

peler à grands traits le chemin parcouru, de montrer I

d'où Ton est parti, oii l'on est arrivé, quelles sont les I

applications principales et les propositions les plus j

essentielles par lesquelles on est passé, laissant les J

autres dans une ombre relative. Lorsque la chose est 1

possible, ce travail de revision accompli par les élèves I

eux-jnémes avec un temps de préparation suffisant, J

peut donner d'excellents résidtats, en obligeant les I

enfants à rassembler leurs idées, à les exposer claire- ' ment, sauf à s'aider au besoin de quelques notes, et non plus à répéter purement et simplement des leçons apprises à grand renfort de mémoire. Bien 'entendu, ie professeur intervient alors pour corriger ce qui est

défectueux, ou pour présenter des remarques complé- I

mentaires. j

Quant à l'innovation des Introductions, elle ne pour- J

rait au contraire se pratiquer qu'en étant présentée par 1

les professeurs eux-mêmes, et voici quel en serait 1

l'objet. Avant d'aborder chaque chapitre un peu impop- |

tant de la science que Ton étudie, on ex|)oserait sous j

une forme résumée quel en est l'objet essentiel, pour- J quoi ce chapitre présente un intérêt, dans quelles cir-fl constances on pourra avoir à en faire application ebri

comment on se propose d'accomplir l'exploration que 1

Ton a en vue. La route étant ainsi jalonnée d'avance, 1

la compréhension des choses sera plus naturelle, l'es- 1

prit d'initiative et de recherche s'ouvrira plus facile- ]

itient, tandis que souvent des esprits, même bien J

doués, ne peuvent surmonter certaines difficultés ni 1

1^ LA ilATUt'MATIQVE ^^H

comprendre certains llu-orèuies, parce qu'Us marcgSIf^ romme dans In nuit, Hans fil c-ondiictotir, sans pouvoir «It^'iiu'r lo lien qnî existe entre les propositions successives qu'on fait passer sous leurs yeux. Cette pratique des ierons, ou mieux des fragments de leçons d'Introdiietion, serait utilement introduite dans tous les ordres d'enseignement, mais aurait surtout un intérêt spécial quand le niveau commence iin peu à s'élever, et que les complications apparentes de la science peuvent masquer, dans des esprits n'ayant pas encore une préparation intellectuelle suffisante, la grande clarté e! l'unité que la Matliématique présente dans toutes ses parties.

En résumé, l'enseignement doit être aussi peu dogmatique que possible, mais en même temps foncièrement philosophique. Cette conciliation de la simplicité dans la forme avec la profondeur des idées constiliie l'une des qualités de l'art difficile de renseignement. lies Introductions peuvent aider dans une très large Uiesure à suppléer à cette qualité maîtresse, cl contribuer même à la faire acquérir.

Dans les classes un peu élevées, ou emploie beaucoup aujourd'hui le système des notes prises sur des cahiers par les élèves tandis que le professeur expose chacune de ses leçons. Ce système en soi est excellent, mais exige pour être bien pratiqué un certain apprentissage, riiabitude d'une écriture rapide et claire, et une maturité relative de l'esprit; et ce serait peut-être un tort de l'employer trop exclusivement. Dans les classes d'élèves tout jeunes, il serait certainement impraticable comme procédé unique. Du reste, en ces matières l'esprit d'exclusivisme et de système est déplorable; c'est par des essais partiels discrètement tentés qu'un professeur digne de ce titre arrive à perfectionner sans cesse son outillage pédagogique.

Je ne parlerai, dans cet ordre d'idées, ni des devotfs

■ GÉNIÎRALE SUR L'EySEfG

coinpositioiiB plus ou moins fréqucntos t]iron peut donner aux élèves, ni des interrogations à leur l'aire subir en dehors des leçons. Tous ces accessoires de l'enseignement sont bons, sont même excellents à tous les degrés, pourvu que l'ensemble de ces moyens divers soit bien harmonieusement combiné.

Au lieu de notes prises au cours, un certain nombre de professeurs avaient, pendant d'assez longues années, adopté l'usage — qui n'est peut-être pas encore proscrit partout — de dicter textuellement un cours que les élèves devaient reproduire. Rien n'est plus formellement contraire à l'esprit de renseignement mathématique. Cette manière rigide de présenter les vérités dont se compose la science est de nature à solliciter sans cesse les facultés de la mémoire, au préjudice de relies du raisonnement, et c'est juslonicnl le lésultat contraire qu'il faudrait obtenir.

La forme sous laquelle on peut faire garder aux élèves, dans les commencements surtout, des traces sensibles de ce qui leur a été enseigné, est assez difficile à trouver d'une façon générale ; je crois cependant que des rédactions bien suivies, bien coordonnées et rectifiées par le maître, seraient incontestablement supérieures à ces cahiers dictés, constituant le pire des systèmes. Ajoutons que l'enfant doit être préparé le plus tôt possible à l'art de prendre des notes, et qu'on peut l'y amener graduellement en lui faisant justement exécuter ses rédactions sur les notes qu'il a prises luimême.

Autrefois, au Heu de cahiei'S dictes, on avait un autre système, |>eu recommandable encore, mais cependant iiiiiins mauvais : c'était l'étude d'un livre ; ce livre, iidopfé pour une classe, faisait le fond de l'enseignement ; chaque jour on en découpait une petite tranche, et le rôle du professem* se bornait pour ainsi dire à un simple commentaire. Je ne m'arrêterai pas à ce système

abandonné, et plus itnpraticable que jamais avec reSor tles publications classiques. Comme, s'il y a beaucoup dp bons livres, il n'y en a aucun de parlait, le système en question n'est évidemment pas soulenable ; mais il esl permis à ce propos de se demander quel rôle les livreB doivent jouer dans l'enseignement mathématique et quel secours ils peuvent apporter. Or, il semble qu'en général les choses soient organisées juste au rebours de ce qu'indique la raison. Dans les classes inférieures, pour la première initiation, l'intervention du livre esl bien rarement utile; l'enseignement doit être vivniil, varié, familier, provoquer incessamment l'esprit; et la parole figée dans un livre produit exactement l'eflel contraire. C'est donc là que le livre devrait être tout au plus réduit au rôle de très humble auxiliaire d'occasion ; et c'est là juKtoînenl qu'il régne d'une façon quasi souveraine.

Dans les classes relativement élevées, au contraire, les notes du cours, telles qu'elles ont été prises, forment le recueil sur lequel on travaille; mais des erreurs onl été commises, des lacunes subsistent; il y a des aperçus sommaires qui ont été donnée sur des sujets qu'un élève studieux serait heureux de connaitre plus complètement. Des livres seraient donc utiles comme recueils de renseignements complémentaires des noies. 11 n'est certes pas défendu d'en faire usage ; mais dans les classes dont je parle, et qui préparent habituellement aux grandes Ecoles, Je surchauffage des candidats est tellement bien organisé que l'usage des livres .^e réduit à peu près à rien, par cette bonne raison que les élèves n'ont pas le temps. Pour le succès dans les concours, il peut être bon que les choses se passent ainsi; pour l'éducation mathématique de l'esprit, c'est déplorable. On pourrait dire que nos candidats sont prodigieusement instruits; ils savent tant de choses qu'ils n'ont le temps de n'en comprendre aucune. Le délaissement des livres dans les classes mathématiques im