CHAPITRE II

Enseignement de l'Arithmétique

L'Arilhin(-li4|iie, nous l'avons vu précédeniment, oompreod deux ordre» d'idées très distincts, même dan» sa partie la plus élémentaire : le calcul et la théorie. Or, s'il est exact que tes régies des opérations les plus simples exigent pour Être justifiées des raisonnements dont l'exposé n'est pas toujours simple ni facile, la possibilité il'exécuter couramment ces opérations d'une façon pratique n'en existe pas moins. Et comme cette pratique des opérations du calcul arithmétique a un intérêt de premier ordre dans les diverses circonstances de la vie; comme, d'un autre côté, cette habitude du calcul est l'un des éléments précieux d'une bonne continuation des études arithmétiques, on voit qu'il y a dans l'ordre d'idées que nous indiquons la matière d'une branche de l'enseignement mathématique, branche bien importante puisqu'elle réagira plus tard sur toute.s les autres.

Les premières notions du calcul peuvent être utilement données aux enfants, à la même époque où on leur donne les premières notions de lecture et d'écriture. Ce n'est pas, bien entendu, sous une forme abstraite qu'un tel enseignement peut être distribué ; ce n'est pas même par des leçons, mais par de véritables jeux. Les dominos, les lotos, les billes, toutes ces collections concrètes d'objets, permettent d'apprendre à l'enfant à compter, J

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plus en arrit'ii' ! Et combien est grande la (l(>i'epir quand ou compare ce qui devrait éli-e, co qui pourrait 4>tre, et ce qui esl! Cependant, coinmw les déveliriipemcnls que je présente ici ont pour Ijul de provoquer quelques progrès partiels, d'oii résulteroni pcul- 6tre d'aulres progrès plus importants, je crois qu'il ne faut pas se décourager, et je demande à insister encore.

Voici comment Lucas indique lu conslriution possible d'une Taille de multiplieaiion par \in enfant. Ayant rangé dans leur ordre les 90 boules d'un jeu de loto, il les retire de 2 en 2, et il obtient ainsi les multiples de a, c'est-à-dire les nombres qui doivent figurer dans la deuxième colonne de la Table ; puis, replaçant les boules, et recomnienranl l'opération analogue, luais de A en 3, il a les iiDiiibres de la troisième colonne, cl ainsi ilr suite.

Il n'est pas difficile d'imaginer des procédés semblables pour les Tables d'addition ; ces diverses tables peuvent être poussées beaucoup plus loin qu'on ne le fait d'habitude, et l'enfant qui les a construites ne les oubliera certainement pas. On voit que le papier quadrillé, au point de vue matériel, est appelé à jouer un rôle important dans cette première partie de renseignement. C'est une importance qui nest pas destinée à s'amoindrir à mesure qu'on progresse, car on" pourrait presque affirmer que cet outillage est aussi nécessaire à Tauditeur des cours les plus élevés de nos facultés qu'au petit enfant formant pour la première fois ses chiffres. C'est là, je le devine, une assertion et une opinion qui feront sourire plus d'un professeur. Que d'objets d'apparence puérile, cependant, sont appelés à des applications d'une cxtrôme importance ! Mieux vaut réfléchir et raisonner que de rejeter sans examen ; mieux vaut surtout expérimenter, alors que l'expérience coûte si peu.

.VSEIGlVEMEiyT DE L ARITII MÉTIQUE ià

Jai un peu insisté, â dessein, sur l'initialioii première elle doit iMre entreprise de bonne heure, et poursuivie mélhodiqueinent à mesure t|iie les années s'écoulent, avant que l'on n'aborde l'enseignement scientifiqiii raisonné. Il est possible, dans cette voie, et en sachai utiliser toutes les occasions qui se présentent, en vaut toujours à la pratique du calcul un caractère réoréi tif, d'aller beaucoup plus loin qu'on ne pense. Non sei lement l'enfant pourra l'aire avec sûreté les quatre op< rations fondamentales de l' Arithmétique, non seulement il aura pris du calcul mental une habitude suffisaute

(pour être capable de pratiquer les opérations dans de»; ^s relativement simples sans aucun secours niatériei^ Itoais il aura été possible de l'initier aussi, sans mémi ^u'il soit nécessaire d'en prononcer le nom, à Lien di calculs sur les progressions, par différence ou par qui tient, sur la formation des carrés, sur des exenipb simples d'analyse combinatoire, sur les premières puii sances d'un binôme, qu'on obtient en multipliant

Élément le nombre H par Uii-mèmo, et sur biei 'autres sujets encore. Tout cela semble être du r^veJ l je sens bien qu'aux yeux de beaucoup de lecteura; 'est une thèse paradoxale que je soutiens en parlant ainsi. J'ai cependant la conviction raisonnée — et appuyée sur des faits — que cette thèse est la vérité même, ,et que de cinq â dix ans, par exemple, on pourrait obteiir de l'enfant, dans ce domaine du calcul pratique, des ^sultats qui nous paraissent prodigieux et qui au fond lOnt tout naturels. A une condition, cependant : c'est ; une méthode rigoureusement expérimentale l de ne pas s'en départir ; do laisser l'enfant, en préiBnce des réalités concrètes qu'il touche et qu'il voit, a lui-même ses abstractions ; de ne jamais essayer B rien lui démontrer ; de se borner à lui fournir les >iïcations qu'il se trouvera conduit à solliciter deluime; de conserver enfin à cet enseignement du calcul î apparence d'amusement, et non pas celle d'un tra-

it,

lo* t.l MATHEMATIQUE

rail imposé. Si la fatî^r rcrùbrale se produit ; si nui veut ronlraindre un jrune enfant k fixer son attention j*ur «1*8 sujets «pli ne rintèrcssenl pas et à comprendre des raisonnemenls au-<)essii$ de son âge. alors le but est manqué, le W-fiiiIlal est... ce que nous avons aujoiird'hiii, c'esl-i-dire une population st-olairc sachant mal calculer, pas préparée aux études futures, et associaot d'avance au mot « Mathématique » l'idée de fatigue et d'ennui.

Le malheur, c'est que la réforme à faire dans ce sens exigerait une transformation radicale des cerveaux et l'uliandon d'habitudes invétérées ; aucun Tn-re d'étude ne peut contribuer à en liftier racconiplisssement, puisqu'il s'agit justement alors de ne jamais placer un livre entre les mains de l'enfant. Ce sont les maîtres qu'il faudrait transformer ; or, quand on a reçu un enseignement mal compris et déraisonnable, il est diltîcile de s'en rendre compte plus tard. C'est pour cela qu'il s'écoulera peut-être un temps bien long avant que le» idées de La Chalotais rencontrent le milieu dans lequel elles sont destinées à fructifier et à produire les heureux résultats qu'on est assuré d'en tirer, le jour où i>d les appliquera.

Malgré tout, bien ou mal. dans des condi conques, l'enfant a appris à calculer un peu ; les a se sont écoulées, et il atteint l'âge où Ion va commencer à lui enseigner l'Arithmétique.

C'est alors qu'il est essentiel de lui montrer dès le début comment il a procédé lui-même sur les quantités concrètes, conunent il a fait ses abstractions, de lui donner d'une façon nette et j)ar des exemples répétés la notion du nombre, sous forme abstraite ou concrète, 11 convient alors de reprendre les opérations avec lesquelles il est familier déjà, et de lui en montrer le n pourquoi ». La numération, les diverses opérations simples de l'Arithmétique exigent alors le dévelopi

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C'est de la * (lu calcul pratique aa olnal i l'idée du nombre »"ét«>d *t a génération des frarlioBH-, e lions décimales, â la fom traction des racines, en i notions d'Àrîthinologîe, sur le» i

premiers entre en\, pareseHpIe, q^'s* d«il d^Mar «^n un soin extrême, tout en les restret)Ç»aBl j ment à ce (]iii est nécessaire pour la Miite da r Monné.

Bien entendu, dans un tel en^^eigneinf ni ralioa»*4, l>r« progressions, et surtout les progressionis c termes entiers, doivent être introdu comprendre pour quels niolifs des sujets exclu] arithmétiques rommc ceux-là, et quïi

"<'> LA .MArilÉ.VAriQlE ^^H

à leur vrai rang, ont iHi; relégués dans d'autres pa'^^^ dt> l'onseigneinent. c'ffsl-à-diro dans l'Algèbre.

Il est clair que dans toiil le i-ours de cet enseigne menl arithmétique, l'usage des lettres devra être introduit chaque fois que cela pourra faciliter les raisonnements ou la recherche* de» Holutions, Nous avons vu que ce n'est là en aucune façon un empiétement sur l'Algèbre, qui se distingue par des caractères d'une toiit autru nature.

L'Arithmétique ne peut élre complètement exposée si l'on n'y fait pas figurer la thcorie des approximations, sur laquelle nou.t avons déjà tant de fois insisté. Par de nombreuses applications, il est possible de rendre claire celte théorie, qui n'est certainement pas exempte de difficultés, et cela sans quitter le domaine élémentaire; on arrive aussi par ce moyen, et ci force de multiplier les exemples, à en rendre l'usage familier, ce qui est au moins aussi utile que de bien posséder la doctrine ellemême. Rien n'est plus indispensable que cette étude comme préparation générale permettant d'aborder plus tard avec sûreté les parties plus étendues de la science,

On doit faire rentrer encore dans l'enseignement de l'Arithmétique, mais à titre de compléments, et lorsque ie moment en est venu, certains calculs spéciaux, tels que les constructions de tables, le calcul des différences au point de vue de ses applications numériques, la résolution numérique de quelques équations.

Enfin, en dehors des premières notions d'Arithmologie indiquées plus haut et qui sont rigoureusement indispensables, on doit ne pas hésitera donner quelques indications sur un certain nombre de questions intéressantes, telles que les fractions périodiques et leur généralisation, les systèmes de numération en général, les théorèmes les plus simples sur les nombres premiers, et les notions les plus élémentaires sur les con- ""uences.

ySt:/G.\£M£yr ÛE L AltlTIlMETIQCE 107

II va de soi que loiil cet o 11 se ij^ ri orne ni doit t^tre échelonna sur UD assez grand nombre d'années, et se combiner avec celui des autres branches de la science niathématique. il ne fatit jamais perdre de vue que les sciences sont destinées à s'entr'aider, à se compléter tes unes les autres; si bien ((ii'on ne s'assimile convenablement aucune d'elles sans avoir des notions de celles qui y conflnent.

L'enseignement arithmétique, notamment, dés qu'on aura franchi les premiers degrés, tirera grand profit des premières notions d'Algèbre et de Géométiîe. il doit donc être bien entendu, sans que nous ayons besoin d'y revenir désormais, que l'Algèbre et la .Géométrie prendront place dans l'enseignement mathématique général, et d'une façon à peu près simultanée, aussitôt que les théories arithmétiques auront été poussées au point j voulu pour rendre les premiers principes intelligiblea.

Je ne dirai que peu de mots de ce qui touche l'enseignement élevé de l'ArithmoIogie. Ainsi que je l'ai fait remarquer déjà, on ne saurait guère formuler de règles générales lorsqu'il s'agit d'un enseignement donné k des , hommes, non plus à des enfants, et qui porte sur les hautes régions de la Mathématique, Là, le professeur doit être un savant, et non jilus seulement un pédagogue; ce qu'il peut faire de mieux, c'est d'exposer | surtout ses propres travaux, de montrer comment ils se rattachent à l'ensemble de la science, et de quelle nière ils peuvent devenir la source de nouveaux pro-

^ mil

\' Tout ceci est plus particulièrement vrai en Arithmologie; car si cette science a été enrichie par les travaux i des plus illustres géomètres, elle manque cependant , plus que toute autre de ces méthodes générales qui <

iractérisent une doctrine. On pourrait dire à ce jioint j vue que la Théorie des nombres est encore dans^

i&fance; malgré cela, les propositions qu'elle présenU

loX LA MATilEMATIQVE ^^^1

cxciTPiil lin allraîl toul parliiulirr sur l'esprit de ^MP (|iii la cultivent, et elle mériterait une sollicitude plus large que relli* dont elle est gênêraleiiienl l'objet.

Dan» cet ordre d'idées, il est permis de trouver regrettable pour notre pays le délaîssemeat dans lequel ^"i{ tombé en France l'enseignement de l'Arithmoiogie, De grands esprits, parmi nos compatriotes, tels que Fermât, Legendre, Caiiehy, Lame, LioiiviUe. Lucas, ont apporté celte science de larges contributions; ce lui pendant longtemps une science française, malgré l'em- (ireintc si profonde qu'y a laissée le génie de Gaiiss. Et cependant, pas une chaire de Théorie des nombres n'existe en France; pas un livre français ne l'expose, car celui de Lucas, publié sous ce titre, est malheureusement resté inachevé après la mort de l'auteur. Et comme conséquence, il est impossible à un jeune savant, parmi nos compatriotes, d'apprendre cette partie de la science, sinon en étudiant les publications étrangères. II est juste de reconnaître d'ailleurs que l'enseignement de la Théorie des nombres serait diUtcile à rétablir en France actuellenienl,raute d'un professeur. Mais il n'est pas interdit d'espérer une renaissance, et de la souhaiter prochaine.