CHAPITRE III

Enseignement de l'Algèbre et du haut calcul.

En Algèbre comme en Arilhmétiqiie, la praliquc du I yilcul a une importance préliminaire capitale ; mais 1 ialcul ne saurait être enseigné par les mêmes moyens? [ exige, seulement pour qu'on en comprenne ^utililé^ losaible, des notions générales correspondant â uni «ertain état d'avancement de l'esprit. Cela n'empèche'J Kis que c'est par là qu'il convient de débuter, mais enii le bornant aux opérations rigoureusement élémen-" aires; les autres seront étudiées plus tard, à leur tour,] I mesure qu'elles se présenteront comme une nécessité. Le meilleur moyen de présenter les premières opérations du calcul algébrique, c'est à mon avis d'invo- |uer les notions d'Arithmétique que l'élève possède Jéjà, en attirant son attention sur l'avantage qu'il y Hirait, dans la solution d'une question, à savoir une Toïs pour toutes les opérations qu'il y aura lieu de faire pour obtenir le résultat. La distinction des données et des inconnues, les procédés habituels de représentation des quantités par des lettres, le rappel des principaux signes d'opérations, qu'on a déjà plus ou moins rencontrés en Arithmétique, découlent de là d'une 1 assez naturelle, et permettent d'exposer sans trop d'efforts le premier vocabulaire des termes algébriques pe l'on doit employer le plus souvent. Les opérations

nm LA .MAlHÉMATtQL-F.

proprenuMit dites ûtanl alors entreprises, la soustrartion itcriiK'l sans plus larder d'ouvrir une large parenthèse sur les qiiautilé.s négatives et les nombres négatifs, et de jeter ainsi, dès le début, dans l'esprit du commençant, des idées nettes, et surtout des idées simples qu'il reprendra plus tard avec grand profit. Dans ce but, il faut, sans nulle hésitation, se servir de toutes les resHourees que l'élève peut avoir déjà sous la main, et spécialement de la représentation géométrique ; eolle-ci n'exige rïen autre chose que la notido de la ligne droite, et elle a le grand mérite de fournir l'occasion d'insister sur la continuité des grandeurs, sans avoir besoin de se lancer dans des considérations obscures ou compliquées.

Il n'y a d'ailleurs aucun inconvénient, bien au contraire, à montrer ici comment on procède pour passer des grandeurs aux signes qui les représentent, et à indiquer comment une grandeur concrète quelconque arrive à pouvoir trouver sa représentation dans un signe déterminé, la réciproque n'étant pas vraie, car elle dépend de la nature concrète des grandeurs. Toutes ces idées philosophiques, à la condition d'être amenées avec discrétion et méthode, sans appareil ni solennité, mais au contraire comme remarques toutes naturelles, sont plus qu'utiles; elles sont indispensables pour une compréhension convenable du développement ulté de la science.

■e les I

Sur de telles bases, il est possible de poursuivre quatre opérations fondamentales, d'une façon rationnelle, et de les étendre aux fractions algébriques; ce n'est plus seulement la pratique et l'habitude du calcul algébrique qu'il s'agit d'inculquer à l'élève, mais en même temps on l'accoutume à raisonner d'une façon rigoureuse, à comprendre lés motifs de chacune des règles qu'on lui apprend, ou plutôt qu'on lui fait deviner au fur et à mesure. La multiplication et la division

tout offrent l'occasion de mettre en luniière de nom- Jireiises identités dont l'emploi sera très fréquent; c'est un grand tort de les passer sous silence, ou de les reléguer, comme on le fait si fréqueuinient, dans des chapitres ultérieurs. Il est bon de parsemer cette première ])artie de l'enseignement d'applications incessantes, et d'aborder sans crainte certains calculs tels que les puissances successives d'un binôme, les progressions, sans attendre plus longtemps, dût-on j revenir plus tard. Un seul exemple fera comprendre ma pensée sur ce [)oinl, et montrera quelle incohérence règne en général dans l'enseignement des premiers éléments de l'Algèbre. La division algébrique conduit à l'identité

'^'ailleurs facile à établir, et qu'on trouve dans presque tous les cours. Or, en général, lorsque plus tard on cherche la somme des termes (le la progression

on se donne la peine de faire une démonstration spéfiale pour établir que cette somme est ^ ' . N'est-ce pas cependant la même vérité que tout à l'heure, à cette seule différence près qu'on a changé la lettre x enq? ^ On surcharge ainsi la mémoire, on ne montre pas le "■ lien qui existe entre des chapitres identiques sous des apparences difterentes, on engendre le dégoût qui suit ■ le défaut de compréhension générale. Et Ton pourrait J facilement citer bien d'autres exemples Le plus triste, c'est que ces habitudes vicieuses sont invétérées à un tel point que l'on se trouve contraint de s'y conformer dans l'enseignement, alors même qu'on les juge à leur valeur. Les programmes ne permettent guère

igir autrement. Mais ici, nous sommes plus à l'aise

lur exposer ce qui nous parait critiqu.

aia LA MATHEMATIQUE

Arrivé au poinl que nous avons indiqué, c'est-à-dire ■ une fois en possession du calcul algébrique éléincntairo, l'élève peut al)onler l'élude des équations algéliriques, dont il n'a pas jusqu'ici entendu même prononcer le nom. Il est essentiel de lui expliquer alors, et sans aucun détour, comment lus équations s'introduisent, quelle en est l'origine, en exposant à g;rands traits sirr les fonctions les idées générales que nous avons trop souvent rappelées dans les pages qui précèdent pour qu'il soit nécessaire d'y revenir. Les opérations générales sur les équations, sur les transformations qu'on peut leur faire subir, permettent d'arriver ensuite à l'étude des équations et des systèmes d'équations du premier degré, ainsi qu'à celle des inégalités.

Remarquons bien cependant la nécessité de savoir se restreindre, et de proportionner l'enseignement à l'avancement intellectuel des élèves auxquels on s'adresse. Si l'on voulait ici pousser un peu loin l'étude des équations du premier degré, oïi se trouverait conduit à l'exposition délicate de la théorie des équations linéaires, c'est-à-dire, par contre-coup, à celle des déterminants, qui demande plus d'habitude préalable du calcul et plus d'instruction acquise. Dans une première étude comme celle-ci, il est donc nécessaire de présenter seidement des exemples simples, s'étendant à des systèmes à trois inconnues, ou a quelques exercices très particuliers dans lesquels ce nombre trois se trouverait surpassé.

Tout ce chapitre des équations du premier degré resterait lettre morte et représenterait presque un travail inutile, pour l'élève comme pour le maître, si des applications continuelles ne venaient l'éclairer et en diminuer l'aridité. Les problèmes méritent d'ailleurs une attention spéciale, etprètentà des remarques qu'on peut produire une fois pour toutes, qui feraient l'objet d'une ou de plusieurs leçons très utiles, et que d'habitude on ne rencontre nulle part. C'est peut-être la première et la plus simple occasion qui soit oflerte pour faire a.

■ E,\SE/G.\EME.\r DE L'ALGÈBRE ai3 I

l^ïneiil comiircndre le liiil généra! de la science malhé-J iiiatiqtie et ce que c'est que le retour de l'abstrait au<a concret, qui se présente ici sous la forme de discussioaj des solutions. fl

Avant d'aborder les équations du deuxième degré,.* quelques notions nouvelles de calcul sont nécessaires.! C'est ici que viennent prendre place la théorie de 14:1 racine carrée, les notions sur les radicaux du deuxièmal degré, comme préparation aux équations elles-mêmes. I Dans l'enseignement ordinaire, surtout tel qu'on le^l comprenait il y a peu d'années encore, cette élude du fl second degré et des questions qui s'y ramènent se trou-fl vait accompagnée de certaines considérations partieu- J liéres sur les maximums ou les minimums, abordables I par les équations du second degré, mais très artificiel- 4 lement, et sous une l'orme fort peu philosophique. Puis 1 s'introduisaient ensuite les progressions , les loga- 1 ritlimes, avec quelques applications, et le domaine de € l'Algèbre élémentaire ôtail de la .forte totalement I exploré, 1

Malgré quelques réformes partielles, l'état actuel de-l l'enseignement présente encore dans cette partie trop! de lacunes et de contradictions fondamentales pour que m nous puissions nous dispenser de présenter certaines 1 observations. I

Tout d'abord, on court pour ainsi dire au-devant des I dillicullés relatives aux imaginaires, et on les rend ïnso- I lubies pour les élèves, en ne présentant pas nettement I celte théorie à l'occasion de l'extraction de la racine 1 carrée. If n'est pas plus diflicile de le faire qu'il ne l'est | de parler, à propos de la soustraction, de la théorie des I quantités négatives. Et non seulement ce n'est pas dif- j ficile, mais c'est de nature à préparer utilement les études ultérieures, si l'on profite de la circonstance pour donner les premières notions sur les quantités géométriques, pour insister sur l'extension nécessaire !

de la nntion ilcs opêralions. à mesure (|ue les sjniboles s'appliquent à de nouvelles quantités. Dès lors on s'aperc;oit aisément que les imaginaires sont des quantités tout aussi réelles que les autres, et on en établit les règles de calcul avec une simplicité extrême, une netteté d'exposition qui frappe l'esprit, garantît contre les déraîllances possibles de la mémoire, et permet de retrouver, de réinventer la théorie, si par hasard cette défaillance se produisait.

En s'y prenant ainsi, les solutions des équations du deuxième degré n'ont plus à être interprétées. Elles se présentent d'une façon absolument uniforme et générale; tout s'éclaire et se simplifie. Je conclus donc qu'un exposé des premiers principes de la théorie des quantités géométriques, conforme aux doctrines de Cauchy et de Bellavitis, pour ne citer que deux noms illustres, devrait prendre place immédiatement avant l'étude ilw deuxième degré.

Mais je poursuis. Vnicî les maximums et les minimums qui apparaissent à une place où l'on ne peut même pas les définir. On veut étudier l'un des points délicats des variations de fonctions, sans avoir prononcé le mot de fonctions, et on y arrive par une suite de procédés artificiels, par la solution de problèmes isolés les uns des autres. Est-ce donc là une méthode scientifique ? En continuant la lecture de notre programme, nous rencontrons l'étude des logarithmes; et l'on prétendrait étudier sérieusement cette fonction logarithmique, sans dire jnème en quoi consiste la continuité. Tout cela, pour éviter l'introduction de notions beaucoup plus faciles, précieuses entre toutes, mais que, par convention, on a rejetées de l'enseignement élémentaire.

Le bon sens indique cependant qu'il n'y a pas à hésiter sur l'introduction du calcul des dérivées (') dans

EMLWI- DE L'-ILGEIlllE

iJ'enseignenient de l'Algèbre, en se liornant Ihcmi enlendii I aux éléments les plus simples et aux applications les 1 plus directement indiquées. Ces notions, platées après M les équations et les problèmes du deuxième degré, I permettent d'aborder très naturellement l'élude des I maximums et des minimums. I

En invoquant aussi la simple définition des toordon- 1 néeSj qui seule permet la représentation graphique desfl ibnctions, il est alors assez facile d'étudier, non seule* 1 ment la fonction logarithmique, et aussi les exponen-a tielles, d'une façon claire au lieu de se perdre dans la9 confusion des symboles, mais encore quelques fonc-fl tions simples, par exemple les fonctions circulaires,,! qui seront d'une continuelle application. I

Bien entendu, les notions géométriques, ac(|uisea'l par l'élève préalablement, permettent une telle exposi-S tion et lui donnent un caractère complètement naturel.! 11 va de soi, comme nous l'avons indiqué à plusieurs! reprises, que les diverses branches de l'enseignement;! mathématique doivent être suivies parallèlement, de! manière à s'appuyer réciproquement les unes sur les! autres. I

J'en ai dit assez sur renseignement de l'Algèbre élé- I mentaire pour que ma pensée soit clairement et corn- I plètenient comprise. Ce n'est là qu'une sorte d'Intro- I duction ; et les jeunes gens qui peuvent pousser plus! loin auront bien d'autres notions à acquérir. On a classé! fréquemment ces notions en deux grandes catégories :1

riHgnère duiia la scieiite. Tout au plus quclifUcB Dalians ù. ce sujet peuvent'l eUei être utilement données dans Ieb plus hautes régions de l'enBeignement,' lorsque l'esprit est déjà formé, ijuaueunc confusion n'est ù craindre. Hala ehei des jeunes gens dont l'éducation malhémotique n'est pas faite, oei aperçus, forcément ÏDcompletu, risquent d'engendrer le scepticisme et l'hésilotion sans aucun profil. Il s'agit d'une conception nouvelle de l'idée de fonction; et dans renscigneuicnt mojen, il serait fnciJe de (ourncr la difficulté, il supposer qu'elle existe, en QJoalant à la définition d'une fonction contiuue la condition d'admettre en général une dérivée, et en laissnnt do cûté l'étude des fonctions qui ne rempliraient pas celte condition.

iiG IJ .VATIIÉMATIQUE ^^H

Algèbre île iiiatht-matiqiius spéciales. Algèbre supH rieure. 11 faut d'autant moins (.-liercher quelque sens prccis, sons ces appellatious bizarres, que la première tout au moins ne représente rien de stable ; une théorie, uiiu proposition particulière sont introduites dans le programme de mathématiques spéciales ; après quelques années de présence, elles disparaissent (pour se réfugier sans doute dans l'Algèbre supéiieuce) et l'ont place à une théorie d'Algèbre supérieure, qui descend en spéciales, jusqu'au jour où viendra se produire une nouvelle permutation en sens inverse. Commeot savoir, dans une telle classification, où l'on devrait ranger les fractions continues, la théorie des formes, la décomposition des fractions rationnelles, le théorème de Sturm, le théorème fondamental sur la théorie des équations (dit théorème de d'Alembert) ?

Mais à côté de ces perturbations capricieuses de renseignement, il y a, en Algèbre comme partout, deux catégories de notions bien distinctes : celles qui répondent à des théories achevées, complètes, sur lesquelles la science a trouvé sa formule définitive; et celles qui provoquent encore chaque jour des travaux de la part des savants. Les dernières ne peuvent relever que du haut enseignement; nous ne nous y arrêtons pas ; quant aux premières, elles représentent un vaste champ de connaissances dans lesquelles un enseignement moyen rationnel duîl glaner, en choisissant les chapitres dont les applications sont les plus générales, ou qui sont de nature, par les questions qui s'y trouvent soulevées, à projeter sur l'ensemble de la science la plus grande somme de clarté.

Dans un tel ordre d'idées, la théorie des Déterminants et des Équations linéaires, la théorie générale des équations (y compris le théorème fondamental), l'étude de la décomposition des fractions rationnelles, et un complément aux premières notions sur les dérivées, me semblent ne pouvoir donner matière à aucune con-

■ ENSEIGNEME.Xr DE L'ALGEBRE xfj

lestation sérieuse, t!t constituent les éléments nécessaires d'une instruction mathématique moyenne. Il y a lieu d'y ajouter, bien que rigoureusement ceci n'appartienne plus au domaine exclusif de l'Algèbre, des connaissances assez complètes sur les premières notions du calcul infinitésimal et ses applications. Ce serait en effet une conception extraordinaire que de laisser dans un enseignement le fond môme des idées , sur lesquelles repose le calcul infinitésimal, sous le nom de théorie des dérivées, et d'en proscrire ce qui tend à rendre ce calcul facilement applicable et ma- ■ niable, c'est-à-dire la notation différentielle. Des con- J tradictions pareilles ne sauraient ^tre durables, qviand I par malheur elles se produisent. I

Quel que soit, en tout cas, le programme auquel on I aura cru devoir s'arrêter à im instant donné, les règles I â adopter pour en assurer le développement rationnel 1 sont toujours invariablement les mêmes. Les élèves ont 1 beau ae trouver en possession d'une maturité inteilec- | tuelle supérieure, îl n'importe pas moins de mesurer l'enseignement à leur force, de présenter même le»' > théories difficiles sous la forme la plus simple, de ne , jamais reculer devant les idées générales, de multi- ^ plier les applications, de solliciter sans cesse [la curiosité scientifique, et surtout d'attirer l'attention sur lea idées qui se représentent dans plusieurs circonstances i diverses, afin d'éviter chaque fois la dépense d'un cfTort \ intellectuel inutile, qui peut être mieux employé. *

Quant au Calcul infinitésimal proprement dit, il forme, en y adjoignant certains chapitres du Calcul des fonctions, empruntés aux parties de cette science pour les- J quelles la doctrine est définitivement établie, une i branche importante de l'enseignement donné dans les- Facultés, les Universités, et en France dans les grandes Écoles. Cet enseignement de l'Analyse est poussé plu.s

oins loin, sui> teindre. Tantôt îl

it le but que l'on se propose

d'at-

jlfl LA M.rnifiMATlQUE

rrci'iils, de iiionlrcr clans t[ii«'U(;s ilirerlions d'esprit, suivant (|UplIes foiitos on peut espérer découvrir iIcn vcriiés noiivelleH ; lanlùl on se propose de former (Ip futurs professeurs ; d'autres fois enfin, les notions soientiflques dont il s'agit sont surtout destinées aux applications eU'eclivea ; c'est ce dernier cas qui se pri^sente pour les écoles où se recrutent les ingénieurs. 11 est clair que dans ces divers cas, et -suivant le temps dont on dispose, l'enseignement du haut Calcul doit être plus ou moins étendu, plus ou moins profond, et recevoir une direction différente. Beaucoup de science acquise et beaucoup de discernement sont nécessaires pour atteindre le Ijut.

A cet enseignement scientifique, sous une forme ou sous une autre et quel qu'en soit le degré, on a souven! fait des objections superficielles, pouvant en général ae résumer en ceci : A quoi bon toutes ces notions théoriques ? Il ne s'agit pas de former des savants, mais des hommes pratiques, capables de bien s'acquitter des fonctions qu'ils auront à remplir.

D'abord, l'enseignement ne forme jamais des savants; les savants se forment eux-mêmes. Parmi les auditeurs d'un cours quelconque de Mathématique, ceux qui ont le goût instinctif de la science en elle-même, l'amoiii' de la recherche, finiront par trouver leur voie. Tel n'est pas le cas de la grande majorité. Mais, ainsi que j'ai pu le faire remarquer déjà, l'ingénieur qui n'aurait pas été mis en possession des notions scientifiques générales qu'on lui donne comme préparation professionnelle, se trouverait dans un incontestable état d'infériorité. D'un côté, bien des problèmes pourront se présenter à lui dans la pratique d'une façon inopinée ; plus d'une fois, il aura grand avantage à employer des ressources puisées dans l'enseignement scientifique précédemment reçu. En outre, l'esprit mathématique, c'est-ùrtire l'habitude du discernement, de la précision, de la

■ EySEICVEMEyr DE f.i LC./ÙII HE iit,

méthode, la distinction de l'abstrait el du t'oru-ret, do l'absolu et du relatif, donne une aptitude particulière pour étudier les questions que l'ingénieur peut avoir chaque jour à résoudre, alors même que ces (jurstions ne constituent pas îles applications direcles de la Mathématique.

Il est enfin une dernière considération sur laquelle je peux passer rapidement ici, puisque je serai conduit à y revenir dans l'un des chapitres qui vont suivre. Il serait difficile d'admettre qu'un ingénieur, savant ou non, puisse sepasserde notions de Mécanique, puisqu'il aura, tou3 les jours pour ainsi dire, à faire de la Mêcaniqiie appliquée. Or la Mécanique appliquée n'existe pas sans une élude de la Mécanique rationnelle, et la Mécanique rationnelle exige des connaissances assez étendues , sur le Calcul infinitésimal et sur le Calcul des fonc- i tions. Cette raison, bien qu'indirecte, suflirait à elle j seule pour justifier amplement l'introduction dans l'en- ' seignement préparatoire des notions dont nous avons parlé. On serait bien souvent en droit de regretter au contraire que les nécessités générales imposées par les autres parties de l'enseignement, et aussi le temps restreint dont on dispose, ne permettent pas de donner un plus large développement à ces théories élevées, concernant le Calcul différentiel, le Calcul intégral et le Calcul des fonctions. Dans l'impossibilité où l'on se trouvé d'étendre ces programmes, gardons-nous du moins de laisser porter atteinte aux modestes éléments qui y figurent aujourd'hui. Ce serait la inarque d'im recul, d'une décadence dont les effets ne larderaient pa.s à se l'aire cruellement sentir dans le domaine de la pratique, et montreraient ainsi, mais trop tard, aux détracteurs de l'enseignement scientifique, combien grande est leur erreur et combien leur thèse paradoxale est contraire ^u but qu'ils désirent atteindre.