CHAPITRE IV Enseignement de la Géométrie

J'ai déjà (lit ((Ue les premières Dotions géométriques devaient être données a l'enl'ant paralièlcment aux premières noti<ins d'Algèbre, c'esl-à-dire suocéder, sans trop de retard, à l'initiation à l'Arithmétique raisonnée. Mais, de même (|iic pour l'Arithmétique il y a une préparation préliminaire, la pratique du calcul, de même il est utile que la Géométrie théorique soit précédée de ]a pratique du dessin. L'habitude, prise dès Tentance, de tracer des Ggures nettes et sensiblement exactes, sera d'un grand secours plus tard lorsque se développeront les divers chapitres de la Géométrie. Celui qui a défini cette science « l'art de raisonner juste sur des figures fausses » s'est singidièrement trompé. On ne raisonne jamais que sur des abstractions, et les figures sont toujours fausses; mais lorsque l'approximation est par trop grossière, lorsque les tracés sont mal exécutés et confus, cette confusion matérielle engendre vite celle du raisonnement, et contribue à empêcher l'apparition de la vérité. Il y a même des circonstances où une figure mal faite permet, par des raisonnements irréprochables, d'arriver à des absurdités manifestes. La première éducation géométrique doit donc être entreprise, comme celle du calul pratique, chez l'enfant qui apprend à lire et à écrire, et cela sous forme de dessins, de tracés dont profitera

^H EySElCVEMENT DE LA GÉOMÉTRIE aîi

aussi l'enseignement du dessin d'imitation ordinaire. La Chalotais, que nous avons déjà cit^, insiste sur ce ■ point avec grande raison dans son Essai d'éducation nationale.

On doit profiter de cette pratique du dessin des figures pour donner en m^me Icmps à l'eniant la nomenclature, sans aucune définition, d'un très grand nombre de laits géométriques. Sans aucune fatigue de mémoire, et à force, en se jouant, de multiplier les tracés, il saura bientôt ce que c'est qu'une droite, un cercle, i un système de droites parallèles, un carré, un rec- ^ tangle, un losange, un trapèze, etc. Ce sera autant de gagné pour l'avenir; et lorsque se présenteront plus tard les définitions rigoureuses, il n'aura pas de peine à les rapprocher de ce qu'il aura vu et exécuté lui-même si souvent.

Rien ne s'oppose même à ce que l'on complète ces , notions par quelques autres sur la Géométrie de l'espace. Quand un jeune écolier a acquis assez d'habileté pour dessiner un cube en perspective, pourvu qu'il ait entre les mains le modèle à représenter, il est facile d'attirer son attention sur les particularités que présente cette figure : faces, arêtes, sommets ; on peut faire de même pour un grand nombre d'autres figures, cylindres, cônes, etc., et l'amener môme à confectionner ces figures par des découpages et des collages de cartons. A ces leçons de choses, toujours récréatives, n'exigeant jamais rien de la mémoire, l'esprit géométrique se développe, le sens des figures s'acquiert, dans le plan et aussi dans l'espace, et l'on a semé une bonne graine peur l'éducation scientifique qui devra venir plus tard.

J'estime que dans toute cette période l'usage des instruments doit être à peu près complètement proscrit, puisqu'il s'agit de faire ici surtout l'éducation de l'œil et J de la tuain. Seulement, l'enqiloï du papier quadrillé est J non moins utile que pour les opérations de calcul, Bilffl -tout au début.

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Lorsque viendra l'instant de l'étude scientifique dëlï Géométrie, l'enfant arrivera donc nuini d'un petit ba- (jage préparatoire Ibrt prérieux, et qui évitera autant de peine et de perte detenipuà lui-même qu'au professeur. Il sera capable de reproduire rapidement et nettcmenl, avec une exactitude sulÏÏsanto. les figures tracées sous ses yeux; il aura une nomenclature assez complète de ces figures.

C'est alors une initiation nouvelle qui commence. Jusqti'à présent, je l'ai fait remarquer plus haut, cette initiation a eu lieu suivant une méthode bien aride, et pourtant le .sujet est un de ceux, dans la Mathématique, qui permettent le mieux d'éviter l'aridité, 11 faut néanmoins reconnaître que, dans les dernières années, d'importantes tentatives ont été faites pour modifier un peu la forme rigide et même rebutante aous laquelle la Géométrie se présentait jadis, et dont le célèbre livre de Ltîgendre ofl're le type le plus parfait. Parmi ces tentatives, on peut surtout citer les excellents ouvrages de MM.Rouché et deComberousse. lime parait cependant possible d'aller encore plus loin dans cette voie nouvelle, et d'étudier tout aussi complètement les propriétés des ligures, sans recourir à cette découpure en propositions isolées, qui s'adresse a la mémoire plus qu'à l'intelligence, et empêche l'élève de suivre la filière des idées, l'enchaînement qu'elles présentent entre elles. C'est peut-être en Géométrie, plus que dans aucune autre des parties élémentaires de la Mathématique, que la curiosité, l'esprit de recherche peuvent être le plus facilement mis en éveil. La grande question, c'est d'amener l'élève à chercher lui-même, à découvrir les propriétés, à se poser des problèmes; dans ce but, il faut soigneusement éviter la forme dogmatique et pénible de Legendre, et, après avoir nettement insisté sur les idées générales fondamentales, chercher à classer l'étude que l'on poursuit d'après la nature des figures, en commençant par les plus simples.

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Donc, les axiomes dont on a besoin doivent être in- J Iroduits avec une entière franchise; les définitions^ doivent être soigneusement choisies. C'est ainsi que làJ célèhre définition de la ligne droite, « le plus court che-4 min d'un point à un autre », définition d'ailleurs à peu \ près unanimement abandonnée, représente l'un des plus 1 remarquables exemples de la persistance avec laquelle^ une absurdité peut se propager pendant des siècles. Enl premier lieu, l'idée exprimée est incompréhensible 1 pour des commençants, puisqu'elle suppose la notion 1 d'une longueur courbe; en outre, c'est un cercle vicieux, 1 car la longueur d'une courbe ne peut être comprise quetJ comme limite d'une somme de longueurs rectilîgnes; "1 de plus, cela n'est pas une définition, puisque c'est au 1 contraire une proposition démontrable. Pourquoi ne pas 1 reconnaître francliement que la ligne droite est indéfi- \ nissable ? Pourquoi ne pas admettre la propriété dont il \ s'agit, à titre d'axiome provisoire ? Pourquoi ne pas I profiter de la circonstance pour montrer que la ligne I droite, de même que toute ligne, toute figure gôomé- I Irique, n'existe que dans notre esprit ? Tout simplement ] parce qu'on a voulu trop longtemps réduire la Géométrie ] à un mécanisme logique, et qu'on s'imaginait la dimi- j nucr en lui attribuant une origine expérimentale. |

Il y aurait encore bien d'autres critiques à faire, ef'J ])ien des améliorations à désirer. Dans mon souci 1 d'abréger, je dois me borner à des exemples. Je rappel- I leraï donc simplement ce que j'ai dit sur la Géométrie J à une dimension, et en particulier sur la Géométrie de ■ la droite. Il y a là des notions intéressantes à introduire 1 dans l'enseignement dès le début, sauf à les reprendre I plus tard après l'étude des mesures et des rapports, de manière à arriver à cette conclusion évidente, que bien j pou d'élèves ont remarquée : « Toute identité algé- 1 brique entre quantités positives ou négatives est la tra- ] JuctioD d'une propriété de points en ligne droite. »

MATfm.VATIQUE

Autre chose. On dC-finït les figures égales : dëta 1 triangles égaux, par exomplo, sont ceux t|ue Ton peut surperposer. Mais cette superposition peut s'essayer de deux manières : par glissement dans le plan, ou par rol)Iigation supplémentaire de retourner Vune des deux figures. II faudrait donc distinguer Xégalitf directe et l'égalité symétrique. La différence philosophique est capitale, puisqu'on n'arrive à la superposition qu'en sortant de l'espace à deux dimensions que l'on étudie. Elle engendre une conséquence intéressante, car c'est la base même de la symétrie, qu'on doit étudier le plus tôt possible. Et lorsqu'on arrivera à la Géométrie de l'espace, lorsqu'on examinera deux trièdres symétriques, par exemple, est-ce qu'on n'aura pas ainsi l'explication de ce phénomène, bizarre pour les commençants, de figures égales dans toutes leurs parties, mais pas superposables? L'analogie avec le plan est manifeste. Pour superposer les figures il faudrait faire sortir l'une des figures de l'espace réel où nous sommes et la retourner, ce qui ne se peut. Mais le résultat peut être obtenu par une représentation matérielle, physique, absolument frappante : le retournement à la manière d'un gant ou d'un bonnet de coton.

Et tout cela pourra et devra être repris et complété à propos de la similitude qui peut être, elle aussi, directe ou symétrique. Combien d'autres additions je pourrais indiquer, si je ne sentais que la place m'est mesurée, si je ne me contraignais volontairement à rester dans les idées générales, et à citer seulement des exemples. Il y aurait aussi des amputations indispensables; je n'en citerai qu'une. Qui pourrait dire les raisons pour lesquelles, dans Ja plupart des Cours ou des programmes, on a laissé traîner le calcul de -a par ia méthode des périmètres et par celle des isopérimètres? Et il y a des élèves qui ont pâli pendant des semaines sur de telles questions; quelques-uns, leurs études ter- , croient encore que c'est comme ce]

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