GEOMETRIE

(■alciilé le rapport de la circonférence au diamètre ! Ceux-là sont vraiment excusables s'ils portent sur la science niathémathique des appréciations peu sympathiques, mais plutôt bizarres; la faute en esta d'autres plus qu'à eux.

Ife'

Je ne saurais passer en revue les principaux sujets que doit comprendre un enseignement méthodique et raisonné de la Géométrie. Mais il est bon d'insister sur l'utilité d'introduire dans certains éléments, dans tous les éléments mesurables, pourrions-nous dire, la notion du sens, ou du signe, aussitôt que ces éléments se présentent pour la première fois. La marche parallèle de l'Algèbre et de la Géométrie rend la cliose facile, et en appliquant cette méthode on fait gagner bien du temps, EU l'on s'épargne bien des difïicultés pour l'avenir. ■ Pour nous en tenir à la Géométrie piane, les élé- , ments dont il s'agit se réduisent aux segments, aux angles et aux aires. Y a-t-il donc une difficulté notable à remarquer tout de suite qu'il ^ a lieu de distinguer les segments AB et BA, que les segments sur une droite peuvent être portés dans deux sens opposés ? Ne doiton pas montrer aussi que les angles peuvent avoir deux sens, parce qu'une rotation peut s'effectuer en deux sens opposés ? Et, profitant de l'occasion, il n'est pas inutile, incidemment, d'indiquer qu'un angle tracé n'est pas un angle défini ; la différence entre un segment et un angle étant à peu près la même, au point de vue des mesures, que celle existant en Arithmétique entre une égalité et une congruence. Et les signes des angles entraînant comme conséquence la considération des signes dei aires, on arrive tout naturellement à constater par :emple que les triangles ABC el ACB ont des aires

,e signes contraires, et queOBC-|-OAB-|-OCA^ABG, quelle que soit la position du point sur le plan ; proposition dont la portée est peut-être plus grande au point de vue de l'éducation de l'esprit, que certains J

tliéorèmes ou |)rolili'incs incurporésdanH ronseigné! par la puissance (Je l'usage.

J'aduiire autant que personne la Géométrie lies Grecs; mais qui tiit progrès dît ebangeitieiit. Et i)arfoîs le changement devrait consister à remonter beaucoup plus haut que les Grecs. C'est ainsi que, pour le célèbre théorème dit de Pythagore, et qu'on reprend au moinK sous deux formes dilTérentPs, sans aucun avertissement, on donne une démonalralion géométrique passableuieni compliquée, très peu naturelle eu tout cas, alors qu'il en existe une qiu^ Ion doit aux Hindous, qui est no» moins rigoureuse, qu'un enlanl de dix ans peut l'acili'iiient comprendre, et (ju'il esl sur, l'ayant cnniprise. {!;■ ne jamais ouldier.

L'idée générale de transi'ormaliou <loir être frauchrmeut introduite dans l'enseignement aussitôt que lu chose est possible. Pourquoi, par exemple, ne pas montrer ce qu'est l'iiomothétie et en déduire la similitude ? Pourquoi ne pas indiquer ce que sont les ccnlri;» de similitude de deux ligures semblables quelconques, pu disliiiguanl la similitude directe et la similitude symélrîque;' Pourquoi ne pas parler de l'inversion.cetteméthocli' si puissante, si féconde et si simple, même dans des coure tout à fait élémentaires'.' Des notions sommaires sur In division harmonique, sur les divisions homographiques. sur l'involulion.ne coûteraient pas non phisune grande peine et intéresseraient l'élève. Mais toutes ces questions font partie de ce qu'on esl convenu d'ap'peler la Géométrie moderne ou quelquefois la Géométrie supirieure. Ce n'est pas une raison suirisanlc à mes yeu.v pour les bannir de l'enseignement, ni même pour les rejeter en bloc dans un chapitre complémentaire vers la fin des études. Donner de bons outils à l'ouvrier quand la tâche est finie ne me parait pas être le comble de la logique.

Deux idées importantes méritent d'être constammorf

mises en lumière et appliifBévs; b p j<a ti érp Test »m fait par tous les pruft wtntu Jî g w eA de ce as^ : c'est celle des lieux géométriqae*. Je m'y « rè» ? dose pas, en ayant sutUsamment parié plss kaal. L'aaIive&IrvIle des L-onstnictions. L'élêre.à ce degré, a eotr^ les imiiis une règle el un compas ; il importe d« lui nonlrer lo\it ce qu'oïl peut arriyeràlaireà l'aide de c«sdeux simples instruments ; on doit reprendre toutes les expressions algébriques déjà connues, el qui s'v prêtent, pour les traduire en conslructions géomélriques ; on doit demander de chaque problème des constructions effeolives, et non pas seulement théoriques. Ce serait ici te moment de placer des notions sommaires, et cependant siifR- 1 santés, de Géométrographîe; il n'y faudrait pas consacrer beaucoup de temps pour y intéresser de jeunes auditeurs, et on les perrectîounerait sans autre effort dan» | l'art des ronstruclions géométriques ; pour les personnes qui attachent un grand prix à l'émulation, ne I serait-il pas intéressant, dans des classes nombreuses, de voir ouvrir des concours de simplicité sur un rt^sidtat géométrique à obtenir avec la règle et le runipax?

Dans une grande partie des considéi'alions [irrcédentes, nous avons supposé, iinjiiiciteuiLMit ou <riini> manière expresse, que l'Algèbre el rArilhtiiéli<pi(j étaient enseignées parallèlement à la (icoméirio. C'i'Ht indispensable et non pas seulement ulile, pour l'iiIlHi^l'' i ver à l'ensemble de» notions luatliéiniitiipii'M en i-arBi*tère d'unité etde coordination sans li-qui'i l'Ib'H iirrlvciit à perdre tout intérêt et toute valeur. Un Ji<ini« houililH qui aurait appris l'Arithmétique, pour {lutiMer anHUJt» A i l'Algèbre, puis a la Géomélnc-, et qui ciuiliniiaruil ilc lu ijorte pendant dix aiiH. aurait lO^pril iiiniiiH l'ui'iiiù ([u'avec trois ou quatre aniii'"'« d'un mtUin'x^mHuuwi parallèle, conduit avec uin' ci-Haiui- \titi>\Vnfafuii,

Ceci m'amène a quelque* (loiivellcit iddiul'VOli'fNV Bur l'étude des conique» tn O'^uiu^tiV. Uaut |»u|ll(M|^H

ll8 I-.i MATHÉMATIQUE

de programmes ou de cours élémentaires, celte ê forme un chapitre spécial et important. On la fait sans le secours de la Géométrie moderne, qui la 3ÎmpliBerait etrêclairerait, etaussi, bien entendu, sans se servïrdeR méthodes de la Géométrie analytique, que l'élève ne doit pas connaître encore. Toujours parce que les Grecs ne connaissaient ni Descartes ni Chasies, ce dont ils sont excusables.

Est-ce que le bon smis n'indique pas que tout cela dojl être mené parallèlement? Des éléments bien simples de Géométrie analytique ayant permis de trouver les principales propriétés des coniques, il est fort utile de rapprocher de ces résultats ceux qu'on peut obtenir rieii que par les ressources de la Géométrie. Voilà une étude comparative qui éclaire l'esprit, qui montre par quelles voies diil'érentes Tesprit humain peut accéder à la vérité, qui permet d'établir entre ces chemins divers une comparaison réfléchie et de constater que les uns sont plus sûrs, les autres plus rapides, suivant ks questions, et que dans l'ensemble tous sont égalemenl bons et dignes de provoquer l'admiration de ceux qui en profitent. En résumé, Tétude géométrique des coniques doit plutôt prendre place dans l'enseignemenl de la Géométrie analytique que dans celui de la Gén-

J"en ai fini avec la Géométrie proprement dite. Parmi les ligures importantes qu'elle nous offre, il en est une plus particulièrement intéressante, soit sur le plan, soil sur la sphère, au point de vue des applications, quand on fait usage de l'Algèbre. C'est le triangle. De là est sortie une branche de la science mathématique dontjo crois à peine avoir prononcé le nom et qui occupe cependant une place importante dans renseignement : c'est la Trigonométrie.

C'est qu'en effet la Trigonométrie, telle qu'elle existe, est une science purement artificielle, sans

Ë.\SEIG.\'EME!VT DE LA GÉOMÉTRIE aag

sans doctrine, et fabriquée uniquement pour les besoins de l'enseignement, et d'un enseignement peu rationnel. Pour qu'on en puisse juger, me bornant à la Trigonométrie plane, qu'on appelle partout, on ne sait trop J pourquoi, Trigonométrie /■ec///(g^«e, je remarque qu'elle 1 est divisée en trois chapitres : 1° Étude des fonctions I circulaires; 2° Construction des tables; 3° Résolution I des triangles et applications. I

Or les fonctions circulaires tirent leur définition et J leur origine de la Géométrie, et sont étudiées eàJ Algèbre; la construction des Tables est une question l d'Arithmétique qui s'introduit incidemment au coura j de l'Algèbre, comme il arrive dans bien d'autres cas; 1 (infin la résolution des triangles constitue bien évidem- ■ ment un ensemble de problèmes géométriques, aux* I (|uels l'Algèbre vient apporter son secours. I

11 n'y a dans tout ceci, ni but spécial, ni doctrine, I ni vue philosophique essentielle. Mais il y a la néces- 1 site d'aborder des questions pratiquement indispen- 1 sables, dont les applications à la Topographie et à la 1 (léodésie sont continuelles. Et comme l'enseignement ' de l'Algèbre élémentaire est incomplet à un tel point qu'il ne comprend même pas l'étude des fonctions circulaires, comme celui de la Géométrie a consisté pen- | dant des siècles à dicter Euclide et à le recopier, on a bien été forcé de former un amalgame composite sans J suite, sans lien, qu'on a décoré d'un nom particulier. U I faut savoir gré à ceux qui découpent ainsi la science en petites tranches de n'avoir pas placé dan.s la Trigono- J métrie l'étude des logarithmes, sous prétexte que les I logarithmes sont utiles à la confection des Tables; mais | d'un autre côté, on a enrichi cette science prétendue | d'une théorie qui est l'une des plus importantes de la ' Mathématique en général: celle des projections. La théorie des projections appartient à la Géométrie, et crée J l'un des liens les plus étroits entre cette science el I l'Algèbre ; on ne l'a placée ni dans l'une ni dans l'autre ;■ m

aîo LA MATBSMATIQCE

on l'a reléguée où je viens de le dire; le résultat, "c'a qu"<m la regarde comme un hors-d'ieuvre sans grande importance, que les professeurs l'enseignent quand ils en trouvent le temps, que les élèves se Tassimileat d'une façon douteuse, et qu'après s'ôtre donné beaucoup de mal, ils n'ont généralement pas de vues précises, ni sur l'Algèbre uisurla Géométrie.

Si. par ros|K>ct pour les habitudes [irises, on tenait abstduincnl à conserver le terme de Trigonométrie, on devrait au moins réduire cette branche à son dernier chapitre, qui seul répond au nom, et remettre les deux autres à leur rang naturel, en donnant à la théorie des projections une place d'honneur en Géométrie. Mais il serait mieux encore de faire de cette Trigonométrie ainsi comprise un chapitre de ta Géométrie en général, et d'y incorporer tout ce qiii est assez étudié dans la Géométrie du triangle, et d'un intérêt assez général, pour mériter de devenir classique cl de passer dans renseignement.

Parmi les sciences dont l'enseignement se rattache directement à celui de la Géométrie, il l'aut placer en première ligne la Géométrie descriptive, que nous avons essayé de caractériser plus haut. C'est une étude qu'il convient de commencer quand on se trouve déjà on possession des cléments de la Géométrie de l'espace, sans lesquels les premiers principes ne présenteraient que confusion et seraient incompréhensibles. Mais il importe aussi de ne pas difTérer plus longtemps, car la Géométrie descriptive, dans tout son développement, réagit sur la Géométrie elle-même, aide à la mieux comprendre et fournit des ressources pour beaucoup de propositions.

Ce qui est essentiel dans la Géométrie descriptive, c'est de n'oublier jamais qu'elle est par essence une science d'application, et par conséquent d'éclairer l'enseignement par de continuels exercices, bien chQJ

EMEyr DE LA

y-i empruntés pliitôl aux exemples malérielB qu'aux figures abstraites. Sans l'exécution des épures, faites avec soin, cet enseignement resterait à peu près tota- \ It'iiient improductif; cVst ainsi par exemple que dans J certains programmes de baccalaur^^ats, où on l'a intro-l (luit sans pouvoir l'accompagner dos exercices graphi- I i|iies nécessaires, il n'a produit d'autre résultat que de \ liMToriser les candidats en leur inspirant, pour la vie, ] l'horreur de la Géométrie descriptive. ]

On se demande parfois si, pour faire quelques pro- i ^ri>» dans cette science, il est nécessaire de « voir dana 1 l'espace », o'ost-à-dire de prendre une conscience nette 1 de la forme des corps ou des figures à l'inspection de"! leurs projections. Assurément; mais cette faculté ne se \ développe justement que par l'étude de la Géométrie ilescriplive; en suivant avec soin le développement de ^es premiers principes, d'ailleurs simples, en appliquant les méthodes qu'elle fournit et en appelant le I raisonnement à son aide, nn arrive à faire de bonnes^.] innstructions, alors luèiue qu'on ne « voit » pas encore ; \ et à force de répéter ces exercices, on finit par voir ; c'est une faculté qui se développe assez vite, même chez les sujets les inoins bien doués natiirelleinent à cet égard. On la perfectionne ensuite graduellement par la continuation d'une étude réfléchie et par la prolongation d'épurés graphiques d'une dillicuUé croissante. .

Un écueil à éviter quand on enseigne la Géométrie* \ ilescriptive, c'est de rendre l'élève esclave do ses deux plans de projection et d'une ligne de terre invariablement tracée. Pour que l'on puisse tirer de cette étude | tout le parti qu'elle permet dans les applications, il est -i 1res important de lui conserver une extrême souplesse; ' et la méthode du changement de plan vertical doit devenir d'une pratique pour ainsi dire instinctive. Quand ce changement a lieu parallèlement , ou lorsqu'on déplace le plan horizontal parallèlement à lui-même, on arrive à constater même l'inutilité, dans une fbuledftaj

questions, dt; tiati'r la ligne de terre, laquelle titue plus qu'une tiuperfêtation. On ne saurait asseï méditer les excellentes observations produites à ce sujet par M, Mannlieini, l'une des plus hautes autorités eoiiteniporaines sur une question de cette nature.

Ajoutons que dans tout enseignement rationnel, il serait bon, et même indispensable, de faire marcher parallèlement l'étude des représentations par deux projections avec celle des projections cotées. On y gagnerait au^si bien en ce qui touche les applications futures que pour les progrès directs et immédiats qu'on veut atteindre.

Enfin, ici comme partout, il faut conduire l'élève vers les méthodes plutôt que les lui apporter toutes faites. Le désir de trouver et de résoudre est ici doublé du sentiment d'utilité ; car l'esprit le plus vulgaire en saurait reprendre l'éternelle et stupide objection : « A quoi cela peut-il servir? » lors<|u'il s'agit de la tJéomêtric descriptive.

J'ai dit plus haut pour quelles raisons l'eiiseignemenl de la Statique me semblait devoir être iucorport' à celui de la Géométrie, dont il formerait un chapitre complémentaire. Il n'est pas très utile d'y revenir, et je me borne à insister sur les précautions extrêmes aveclesquelles la notion abstraite de force doit être ici introduite et définie pour éviter des confusions, des idées fausses dont les effets se feraient sentir plus tard d'une façon désastreuse, lorsqu'on étudiera la Mécanique.

A cette étude de la Statique doit être adjointe, tout en restant distincte, la Géométrie des niasses, dont nous avons également parlé. Pour montrer à quel point on peut avoir des dangers à éviter en ces matières, je me bornerai à citer un exemple d'erreur grossière obtenue par lUie fausse interprétation des questions et des principes.

On place d'habitude en Statique la détermination des

LA MATIIÈMATiqCE

' leinent la iluréo dont on peut disposer pour iin e giiviiit^nt rationnel, mais probablement la vie d'un bonime.

11 s'agit donc d'opérfir un triage, et cela d'après les principes suivants : s'allacher aux méthodes qui donneront des propositions en foule, plutôt qu'aux propositions particulières ; retenir de oelles-ci quelques exemples types montrant ce que peuvent donner les iiiéthotics, et quelques vérités pouvant entraîner c conséquences utiles pour la suite, ou se prêter à d'ÎM portantes applications.

En entrant dans cette voie, on s'éloigne singulière-' ment de l'ancien plan do la Géométrie classique, mais on donne à cette partie de l'enseignement la vie et l'intérêt dont elle devenait de plus en plus dépourvue.

Enfin, dans le haut enseignement, où se font connaître les progrès actuels de la science, et qui contribue à ces progrès, il y aura place pour tous les aperçus permettant d'ouvrir de nouvelles voies aux auditeurs, qui sont eux-mêmes des chercheurs et quelquefois des savants; mais c'est toujours en s'attachant plus aux méthodes qu'aux vérités de délaîl qu'il deviendra possible d'atteindre ce résultat.

liien. Ces! - JfrrMl Amk f Hii' - qu'il ••antit JWMMU ir dirt-. Mais 3 eelcatteaidii '^w «oim ijtil«ifi*vM» « ^f****!* Iraits le$ ligut» d'tMi «SMqgiBaHMUl ttl-mt. tmc^H*: ' 4 en praliquf . ^/m s'a ôns '4r < rhoses.

La •léfjuîtioa des «ootêmtmëtm. It^ur |ri*w>ft^mx<iM<,] lbi-<>riedelalig*e4lt<ijilejt«M|ftail <|Ufd<» '.«riin simples en .UgiAre d «a OMMBtftr^ . Ji^M* $M*tài iMMT^ la Géom^uie i

la '-'-~"fif«.£ -A. ^—at» friTMor. yirilMiitrB outiplif inlinJtésimal «oaC ^rrraniJHa H «ai ^mi, '4a <l<' faire coiatâêtT le ^dtf 4cr«l

iiiétrie aoaJ^|1Âf»e avec les <

(lérirées <rt <ir |MninHB*-«»- fMtfiitt«!t«w<iMrf «MM 4*1*^

éludes.

En caractrrûaal «du* Inufl bi •••i Dccupons ici am pMal d« vu»- «j.

rappelé co mwM i «• «» Miait f».i,

ÏÎ6 LA MATIIÉ>fATiQVE

méconnu l'eupril-Cest une rrititjue qui ne date pas d'h» Lacroix, dana ses remarquables Essais sur tenseigaêment (1828), après avoir indiqué les tuntatives de Newton et de ses successeurs pour étudier les courbes du troisième et du quatrième degré, s'exprime en ces termes:

M Persuadés qu'il fallait renoncer à faire une revue générale des courbes, les géomètres sentirent que cette partie aurait atteint toute la perfection dont elle étail susceptible, si elle fournissait des méthodes pour déterminer, par l'équation d'une courbe, ses principales propriétés et les diverses circonstances de son cours; el c'est là ce qu'ont l'ait Euler et Cramer, et ce que le calcul différentiel facilite beaucoup.

(I 11 semblait donc naturel de revenir sur ses pas, et de rattacher à un même fil toute la théorie des lignes droites ou courbes, classées naturellement par leurs équations; c'est cependant ce qu'on ne fit point. La force de l'habitude engagea encore les géomètres a amalgamer, pour ainsi dire, les méthodes anciennes avec les nouvelles; et cet assemblage informe portait loujour!* l'empreinte des premiers temps de la science ».

Insistant plus loin sur la nécessité du triage de» propositions qui doivent constituer la base de l'enseignement : H Qu'est-il besoin, ajoute-t-il, de se perdre dans une nuiltitudc de propositions, dans une variété de méthodes, qui ne font qu'éblouir les commençants, el leur faire passer sur le même résultat un temps qu'ils emploieraient à en apprendre de nouveaux?.., tout ce qui n'augmente pas la puissance des méthodes ou qui n'abrège pas la chaîne qui lie les résultats entre eux, ne doit pas entrer dans les éléments ».

Malgré les progrès de la science, ou pour mieux dire à cause des progrès de la science depuis l'époque oii Lacroix s'exprimait ainsi, ce sont encore aujourd'hui d'excellentes maximes, des indications générales précieuses dont doivent s'inspirer ceux qui ont à enseigner la Géométrie analytique.

E,\sEiGyËMt-:,\-r de la géométrie AKALYTIQUE a3;

Il y a cependant un double écueil à éviter, on doit le reconnaître très franchement. Par des études trop particulières, on enlève à la science toute sa portée ; mais si le développement des méthodes générales est donné saus certaines précautions, de nouveaux inconvénients Be produisent. Un élève ayant en sa possession, d'une façon irréprocliahle, les méthodes dont nous parlons, et se trouvant en présence d'une question des plus simples, a fréquemment recours à ces instruments puissants, au lieu d'étudier le problème qui lui est soumis et d'y appliquer sa raison. 11 développe de longs calculs, invoque des théories plus ou moins élevées pour décour un résultat qu'un peu d'attention et de logique lui fturait permis de reconnaître immédiatement. C'est la traditionnelle image de l'homme qui prend une massue pour assommer une mouche. 11 importe de bien persuaâer aux élèves, cependant, que si les méthodes généi-ales sont des instruments précieux, elles ne dispensent pas de raisonner, que la sagacité conserve toujours une aleur considérable; que la Géométrie analytique est une science géométrique; qu'y voir un prétexte à étabges de calculs sans fin est une conception fausse;

e la complication de l'appareil algébrique doit être en rapport avec la difliculté de la question de Géométrie correspondante.

Pour montrer tout cela, il ne suffit pas de le dire : il faut le prouver ; on le prouvera par de continuels exerj, rapprochés des méthodes elles-mêmes, et en indiquant bien l'usage. On pourra alors se convaincre {ue cet usage n'entraine jamais comme conséquence 1 non-intervention du raisonnement. Réduire les méthodes de Géométrie analytique h un rôle purement nécanique, c'est en méconnaître l'esprit et la portée. 1 Ue calcul automatique venant se substituer à un examen ^ [udicieux des questions, ce n'est pas là de la science ; îxamen doit invariablement précéder l'application lu calcul, ne fût-ce que pour déterminer le choix entre

ïJ8 LÀ MATlieil.iJIQlE

les divers chemins qu'nii peut suivre, et le ealeul lu' doit venir qu'à son heure, et ([iianil on l'appelle, comnu; un serviteur fltléle, et non comme un maître împérieu.\.

J'ai parlé déjà de l'intérêt que présente une comparaison entre les résultats relatifs à la Géométrie tlu plan et ceux de la Géométrie de l'espace ; c'est surtout à l'enseignemenl que s'applique cette observation. Si l'on entrait franchement dans cette voie, il ne serait pas étonnant qu'on pût, d'ici quelques années, arriver à pn'' senter à la fois les principales théories du plan et de l'espace, à gagner ainsi un temps précieux et à donner en même temps plus de portée à l'esprit, en lui présentant des analogies qui bien souvent lui échappent.

Dans tout le développement de la Géométrie analytique élémentaire, en dépit de l'imporlauce qu'y doivent prendre les théories générales, il restera toujours untplace sérieuse pour l'étude des coniques et des qiiadriques. 11 y a pour cela deux raisons : la première consiste dans les nombreuses applications des propriétés de ces figures ; la seconde, c'est qu'elles offrent les exemples les plus simples et les plus saisissables qu'on puisse invoquer pour mettre en œuvre les méthodes.

Seulement, cette étude, au lieu d'être détaillée, poursuivie jusqu'aux dernières limites, doit rigoureusement se circonscrire, s'appliquer aux propriétés essentielles, laissant les autres dans la pénombre en indiquant seulement les sentiers par lesquels il serait possible de les aller trouver. Dans toute celte partie de la Géométrie analjlique, de larges appels devront être faits à la Géométrie moderne, et fourniront l'occasion de montrer incessamment à quel point le calcul et la Géométrie pure sont des forces à associer entre elles au Heu de vouloir les opposer l'une à l'autre.

Il serait essentiel, dans l'étude des coordonnées cartésiennes, de donner plus d'attention qu'on ne le fait l'habitude à la correspondance entre les figures et ies

EySEIG\EM£yT DE LA CÉOMÉTRIE .'

ALYTtQL'E

symboles par lesquels on les l'ejirêsenle ; j'ai sommai' renient in(li(|iié plus haut cette question de la représentation analytique des figures et je ne veux pas y revenir davantage, me bornant à en constater Tinti'rét au point de vue spécial de l'enseignement.

Le plus généralement, après avoir traité indilîéremment par les coordonnées obliques ou par les coor- i données rectangulaires, la majorité des questions en Géométrie plane, on se restreint aux coordonnées rectangulaires lorsqu'il s'agit de la Géométrie de l'espace. Une des raisons les plus plausibles pour en agir ainsi, l'est la complexité des calculs; dès qu'il s'agit surtout de propositions où entrent les notions d'angles et de distances, la comparaison n'est certes pas à l'avantage des coordonnées obliques. Cependant, on peut regretter de voir certaines théories se particulariser ainsi d'une façon excessive ; ce serait un réel progrès s'il élait possible, par des notations nouvelles convenablement établies, de donner plus de généralité à l'exposition des principales méthodes, tes coordonnées rectangulaires n'étant alors qu'un cas particulier, lequel resterai! quand même avantageux à employer dans un très grand nombre d'applications. Ce progrès, il est permis d'espérer qu'il se réalisera quelque jour ; mais il est plutôt d'ordre algébrique que d'ordre géométrique, puisqu'il consiste dans une simplification des symboles, permettant d'exprimer les mêmes vérités, de leur faire subir les mêmes transformations avec des écritures plus concises. Cette remarque, dans tous les cas, ne constitue pas une critique, puisque l'outillage nouveau qui serait nécessaire est encore à trouver ; c'est simplement un desideratum portant sur l'enseignement de l'avenir, et qui reste subordonné à des perfectionnements algébriques, possibles à notre avis ('(■

;i) An moinentad a'imprime ce volume, M. le Commiindant Riperl publie e farocJiure ; La Dualité et l'Homagraphif dant h Tria«gl' et le TêtraMie.

i^o LA MATBSMATIQVE

Dans les cours de Géométrie analytique, on étudie surlotil. et c'est avec raison, les coordonnées cartesienops ; on consacre aussi un certain nombre de leçons aux coordonnées polaires, en développant même dans ce système plusieurs théories générales. Afais on se borne généralement là, et c'est tout au plus si l'on a donné très rapidement au début quelque indication sur ce que sont les coordonnées eu général.

11 serait bon, je le crois, d'étendre un peuces notions. d'indiquer un certain nombre des systèmes de cooidonnées qui ont été proposés, avec quelques exemples montrant ce que deviennent des équations de courbes parliculières dans ces systèmes. Mais en outre, les coordonnées trilinêaires, qui d'ailleurs figurent dans plusieurs ouvrages classiques, mériteraient d'être enseignées d'une façon plus régidière et plus générale. Il est bien entendu que nous entendons ici parler des coordonnées tangentielles aussi bien que des coordonnées ponctuelles. Cette introduction des coordonnées trilinéaires offre en effet plusieurs avantages : elle est tout d'abord intéressante en raison de ses très nombreuses applications; en outre, elle établit un rapport plus direct en bien des circonstances, entre les faits géométriques et les symboles destinés à les traduire; enBn, on y trouve un exemple, donnant de l'homogénéité des coordonnées une explication visible. Lorsqu'au contraire on se borne \\ définir les coordonnées homogènes en remplaçant .r, y par-—, -^, pour faire ensuite ï ^ 1, il semble aux commençants que c'est là un pur artifice algébrique, qui n'a pas de raison d'être géométrique, et qui se trouve, comme par une sorte de hasard, conduire à des résultats utiles. Notons encore

(|iii »ern nnneiée o

n supplément ù YlnUrniédiairc det Malh

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nil rhomieur de me demander une préface.

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EySE[G.\EME.\T DE LA GEOMETRIE AyALYTIQUE î4i

que les roonlonnc-t's trilinùaires, pouvant prcmlic autant tic caractères qu'on voudra, parmi lesquels les coordunnées barjceiitriquea et les coordonuéea normales sont les plus simples et les plus employées, fournissent l'occasion de montrer toute l'extension dont l'idée fonilanientale est susceptible, même quand on ne Tenvi- ^age pas dans sa plus grande gcnéralitê.

II va de soi que tout ce que nous venons de dire sur [es coordonnées trilinéaires doit s'étendre pour l'espace h celles qu'on définit au moyen d'un tétraèdre de réfélence, puisque c'est au fond la même idée fondamentale qu'il s'agit de mettre en lumière.

Dans toute cette partie élémentaire dn l'enseignement de la Géométrie analytique, les deux problèmes essenliels sont toujours les suivants : « Connaissant une ligure, déterminer son équation ; connaissant l'équation, déterminer la figure, et acquérir le plus de renseignelueuts qu'on le pourra sur ses diverses propriétés ». ( Test surtout le dernier qui se présente le plus souvent, l't c'est seulement par des exercices répétés qu'on parvient à le résoudre, Mallieureusement ces exercices ne sauraient, pour les figures de l'espace, se traduire elTec- I ivement par des tracés ; on pourrait bien, dans quelques laa particuliers, construire, par génératrices rectîlîgnes uu autrement, des modèles de surfaces ; mais ce serait luie porte de temps considérable. Au contraire, les consliiietions de courbes planes constituent des exercices l'iipidcs et très fructueux pour l'esprit. On peut faire ces constructions dans les divers systèmes de coordonnées dont nous avons parlé; mais c'est principalement en loordonuées rectilignes (et même rectangulaires) et :iLissi en coordonnées polaires qu'il convient de les mulliplier. Ces exercices étaient jadis en grande faveur; lin semble les avoir un peu abandonnés, ce qui est une chose fâcheuse ; il est probaJile que la surcharge des programmes sur d'autres points a contribué à cet abandon.

On est (.Ml eiret, dans cetle question d^^^^BQ^I Irnt'tûiii des conrbes, pris entre deux dilTicultés : si l'on se contente de tracés par à peu près, de figures sans aucun soiici d'échelle, on n'y apprend pas grand'chose. et l'on s'expose même quelquefois à des erreurs capitales ; si l'on cherche au contraire à obtenir des dessins exacts, en se servant de la règle et du compas, si l'on trace de véritables épures, c'est ime consommation de temps exagérée.

11 y aurait un moyen pratique, et fort simple, de concilier tout cela. Il sul'firait d'avoir un papier quadrillé spécial, à très petits carreaux, destiné à la construction des courbes ; cela permettrait de faire à main levée des croquis d'une exactitude largement snlTisante, Db même, pour les coordonnées polaires, des feuilles sur lesquelles séi-aient tracées d'avance de nombreuses cir* conférences concentriques, également espacées, et des droites régulièrement rayonnantes autour du centre, fourniraient le moyen d'obtenir un résultat analogue.

De pareils albums de tourbes, en les limitaot aux courbes les plus importantes et remarquableSt seraient pour les élèves qui les auraient confectionnés de précieux auxiliaires. Sur chaque feuille on pourrait rappeler l'équation de la courbe, quelques formules remarquables s'y rapportant, les plus importantes de ses propriétés. Ce recueil aiderait la mémoire; et les tracés, j'y insiste, auraient été eU'ectués dans ces conditions avec une dépense de temps bien minime.

J'ai essayé plus haut de faire ressortir l'importance philosophique du calcul géométrique en général. En matière d'enseignement, cette importance est capitale; et cependant combien d'élèves, parmi les plus distingués, ignorent même jusqu'au nom de n calcid géométrique H ! A cette lacune systématique on ne saurait trouver d'autre explication que l'incurable paresse de prit humain, laquelle le porte à ne pas vouloir chui* '

AiVGA'fMF.Vr DE LA GÉOMÉTRIE A X A LYTI QL E -i-

~^er ses habitudes jusqu'au jour où les progrès accom plis viennent le l'orcer à l'emploi de méthodes dou-

C'est en Géométrie analytique plane surtout que' f«tte résistance à Tintroduction du calcul géométrique ilevient incompréhensible. Là, pas de symboles nouveaux, pas de règles spéciales Je calcul ; la méthode lies équipollences amène à l'emploi des opérations courantes qui se l'ont sur les imaginaires. Les notions sur ce qu'on appelle si improprement l'interprétation géométrique des imaginaires sont données (mal données * eu général, il est vrai) au cours de l'Algèbre ; et aussitôt que de ces opérations, de ces connaissances élé-' rnentaires, il s'olfre une occasion de tirer des résultats utiles, on s'arrête, on s'y refuse, on persiste avec une sorte de fureur à piétiner dans la vieille ornière.

L'application des équipollences, cependant, donne à ' l'étude de certaines questions une simplicité pour ainsi dire intuitive ; en même temps qu'elle épargne le calcul, elle éclaire les faits. Elle dispense de l'emploi des coordonnées, mais permet cependant de revenir à tout instant à cet emploi, si l'on y reconnaît un avantage. La transformation des coordonnées, notamment, devient avec les équipollences un problème pour ainsi dire enfantin ; il faut trois ou quatre lignes d'écriture et dix minutes d'attention pour un sujet auquel on consacrait parfois deux leçons, et qui, pour les commen-fants, n'était pas toujours facile. C'est enfin par les équipollences qu'on peut arriver à avoir des vues prél'ises sur la représentation analytique des figures. Eu dépit de tant d'avantages, la belle méthode de Géométrie analytique créée par Bellavitis reste à peu près inutilisée, ou plutôt ne s'introduit que par fragments, d'une façon détournée, sans suite, sans lien, sans l'unité (|ui la caractérise et contribue à lui donner sa haute utilité.

Il est vrai de dire que jamais le progrès ne s'accom-

LA MATUSMÀTIQCE

plit dans le monde d'une fat-on régulière et normate^ ronFormément aux règles de la raison.

En ce qui regarde la Géoniélrie analytique de l'espace, le calcul géométrique reprÔBenté par la inéthude (les quaternion» présente dans son introduction de plus grandes difTicultês, en raison de l'Algèbre spéciale qu'elle applique. Quelques éléments sommaires seraient cependant laciles à enseigner, et on en retirerait uu ^rand profit. 11 faut reconnaître néanmoins qu'un mol emprunté à cette méthode, celui de « vecteur ■), a fini par pénétrer dans l'enseignement après bien des ell'orts; malheureusement, si l'on excepte un petit nombre de professeurs, le mot n'a pas été accompagné de l'idée, ce qui serait mieux encore ; on peut espérer que ce sera l'œuvre de l'avenir.

Enfin, d'une façon plus générale, la niétbode de (îrassmann, mise sous une forme accessible et réduite à des limites raisonnables, devrait aussi être enseignée dans tous les cours de Géométrie analytique. Rien que la connaissance de ses principes essentiels suffirait Ji lever bien des diflicultés, à éclairer bien des sujets, ii éviter bien des calculs inutiles.

Nous ne sommes pas encore arrivés à l'heure où le calcul géométrique, sous aucune de ses formes, pourra être accepté dans l'enseignement, sans réticences et avec gratitude pour les bienfaits qu'il apporte. On le regarde d'un mauvais œil. On serait tenté de se demander si l'on ne tient pas rigueur à ce malappris dé sa simplicité même ; il n'est pas mis avec recherche, dit les choses comme elles sont, n'a pas le souci de la mode. Il pourrait arriver, s'il prenait trop d'importance, à réduire à soixante pages des œuvres qui en contiennent mille, sans leur enlever rien d'essentiel. Cela peut expliquer certaines résistances et certaines terreurs ; on pourrait ajouter « certaines colères ii, bien que cela paraisse invraisemblable à propos d'un pareil

^P EUSEIGNEMEIVT DE LA GÉOMETIttE AyALYTIQUE .i^a^^^B

sujet, et l'on ne sortirait pas de la vérité. La seule introduction du mot i( vecteur u dans la langue scientifique classique a détenniné de véritables crises, chez des esprits d'aîllours très distingués. On doit bien se rendre compte d'une chose : c'est que la préciosité, la recherche de l'élégance dans la ibrme sans trop se soucier du fond, ne sont pas des qualités (?) exclusivement littéraires, à l'époque où nous sommes ; les savants n'en sont pas tous exempts, et les académies n'anéantissent pas ces vertus (que l'on a le droit de tenir pour des <léfauts), On a même quelquefois soutenu qu'elles tendraient au contraire à les développer.

Mais le jour ou le Calcul géométrique s'imposera dans l'enseignement aussi bien que dans la science, est peut-être plus proche qu'on ne croit. Quand auront disparu certaines générations, disparaîtront du même coup certaines résistances. La science a ses nécessités, auxquelles il faut bien finir par obéir ; et grâce à la nécessité, il arrivera un instant où l'on ne pourra plus continuer, par dilettantisme, à compliquer les idées simples, à faire des calculs pour le plaisir d'en faire, et à refuser le secours des diverses méthodes que nous venons d'énumérer. Ce sera un jour de deuil peut-être pour les ■ admirateurs de l'archéologie scientifique, mais de ce jour pourront dater de grands progrès intellectuels.

L'enseignement de la Géométrie analytique doit être ' complété, nous l'avons indiqué précédemment, par celui de la Cinématique. En réalité, lorsqu'on étudie une courbe en exprimant les coordonnées de chacun de ses points en fonctions d'un paramètre, il suffit de supposer que ce paramètre représente le temps pour avoir les équations du mouvement d'un point dont la «ourbe en question devient alors la trajectoire. Il est vrai que Cjuand on se place à ce nouveau point de vue, un certain nombre de notions s'introduisent, comme , les vitesses, les accélérations des divers ordres, les J

lift

M.l niEMAIIQVE

vitesses arcolaires, par exemple, et (|iie SS n'appartieniienl pas directement à la Géométrie analytique. Mais les nnnens à mettre en œuvre sont tellement eniprnntês îi cette dernière, qu'il n'y a pas d'hésitation possible. 11 est d'ailleurs digne de remarqup que cette étude partÎGiiHèrc de la Cinématique réagit, ainsi qu'on pouvait s'y attendre, sur un grand nombre de questions appartenant à la Géométrie elle-même, eir les éclairant d'une lumière nouvelle.

Il convient de diviser l'ensei^ement de la Cinématique, comme celui de la Géométrie analytique, en deux parties essentielles : Cinématique plane. Cinématique de l'espace, ce qui n'empêche d'ailleurs pas de faire ressortir les analogies, en proOtant de tous les résultat» obtenus pour des questions simples, de manière à les étendre, lorsque cela se peut, à des questions plus complexes. La différence entre le plan et l'espace est ici plus profonde qu'en Géométrie, et cela tient à la nature même des choses. Le mouvement des figures planes dans le plan qui les contient se réduit, d'après le célèbre théorème de Chasies, l'un des plus simples el des plus beaux de la Géométrie, à de simples rotations infinitésimales, et conduit à la théorie si féconde du centre instantané de 10 Lation. Ces notions peuvent aussi s'étendre au.\ figures mobiles à la surface d'une sphère. Dans l'espace, au contraire, le mouvement élémentaire d'un solide invariable est complexe ; il correspond à celui d'une vis, c'est-à-dire à un glissement le long d'un axe et à une rotation simultanée autour de cet axe. Cet a.ve instantané de rotation et de glissement, se substituant au centre instantané de tout à l'heure, suffit à faire deviner combien les difïicultés serontpfus grandes, combien les calculs seront plus compliqués, lorsqu'ou passera du plan à l'espace.

J'ai à peine besoin de faire remarquer que les avantages du Calcul géométrique indiqués tout à l'heure seront peut-être plus grands encore dans toute cette

EKSEIC.yF:MI\i\T DE LA CKOilKTRIE .ISALYTtQUE

Tëtiide de la Cinématique que dans le domaine de la | «impie Géométrie aDalyti(|iie.

Nous ne parlons que pour mémoire, en terminant, des théories élevées de la Géométrie analytiqne ou de J la Cinématique. Si considérables qu'aient été les pri grès de ces deux flciences, il reste encore un champj indéfini ouvert aux savants et aux chercheurs. La^ théorie des courbes, celle des surfaces, la science t mouvements dans l'espace, laissent encore bien des J points qui ne sont pas encore élucidés, bien des pro- j blêmes sans solution ou avec des solutions incom*^ piétés. Les aperçus qui peuvent provoquer des découvertes iiouveUes appartiennent, ici comme dans toutes ^ les autres branches, à cet enseignement exceptionnel, <|ui échappe â toute règle par Télévalion mt^me de son | niveau, ou plutôt qui ne connait d'autres règles que J

pcelles l'ésultaiil du

■ofesrtcurs.

On a longtemps caressple r^ve,qiii neseiiililee pas abandonné a l'heure actuelle, de constituer un enseignement élémentaire de la Mécanique ; j'entends par là un enseignement donné à des élèves n'ayaiil aucune notion de CaIruI infinitésimal, ne Bâchant pas ce que c'est qu'nne dérivée, possédant seulement les éléments de Oéoniétrie, quelques notions de calcul algéhrique et la connaissance des équations des deux premiers degrés. II existe un grand nombre de programmes où se trouve ainsi indiqué l'enseignement de la Mécanique ; l'usage s'est même établi d'opposer les deux expressions k Mécanique élémentaire n et » Mécanique rationnelle ». A les prendre dans le sens littéral, rien ne serait plus justifié qu'une telle opposition; il seniblr rait en résulter en effet que l'enseignement de la Mécanique élémentaire est irrationnel, c'est-à-dire peu conforme à la raison.

L'idée de donner un enseignement de la Mécanique sans les instnimeiits de calcul indispensables est une pure chimère ; on peut mettre tout ce qu'on voudni dans des programmes quelconques ; on peut par des prodiges de talent et d'habileté s'ellorcer à présenter à des élèves des notions qu'ils ne peuvent comprendre, en escamotant les difficultés, mais on ne saurait Iriom-

I E.\SFICMEiUE.\T DE LA MECÀMQVE ■'49B

pticr d'une iiiipotisiliilîté radicale absolue, et enscigneffl une science qui met en œuvre à tout instant les raison- 1 nements du Calcul infinitésimal, sans que les auditeurs I aient au moins quelques premières notions de ce calcul, fl Sinon, on n'obtient qu'un résultat : semer des idée»l fausses, jetKr le doute et le découragement chez les.B élèves qui raisonnent, donner aux autres l'illusion qu'ilaj savent quelque chose, alors qu'ils n'ont rien compris.* Cest assez régulièrement le produit de Tenseignement-j fantôme dont il s'agît. On reste confondu quand on voîtfl par exemple figurer dans des programmes de baccalau^fl réat, sous le nom de Mécanique : 1° des éléments de^ Statique ; 2° des études sur les machines simples \M H" des éléments de Cinématique et de Dynamique; 4" des.J notions sur le travail des forces. ■

S'il s'agissait, non pas d'un enseignement suivi, mais % certains aperçus généraux destinés soit à des gens^fl \\u monde, soit à c'es personnes dont la profession con*l fine aux applications de la Mécanique, il en irait autre-'ï ment. Quelques conférences, bien faites, par des pro- ^ fesseurs ayant une connaissance profonde du sujet, pourraient alors être très utiles et laisser dans l'esprit des traces eft'ectîves et des idées justes ; c'est qu'alors on suppose connues les notions dont on a besoin ; on cherche à faire comprendre les choses dans leur ensemble.nonpasà les démontrer avec une rigueur scientifique. Mais l'incorporation dans un enseignement sérieux et \ suivi est difficile à expliquer.

On finit pourtant par en trouver 1rs motifs dans deux ] pensées contradictoires, dont l'une est juste, et l'autre erronée : 1° La Mécanique, au point de vue des applica* tions, est tellement importante qu'il faut tâcher d'en I donner au moins quelques notions à tons les jeunes | gens d'une instruction moyenne ; 2"Comme à ces élève nous ne pouvons pas faire connaître les éléments duj Calcul infinitésimal, arrangeons-nous pour m passer.

La première proposition est d'une vérité inconl l)Io ; la seconde renlernie une erreur capitale. Sans ces pit'inières données sur le (^lalrul intinitêsiinal eu effet, il n'y a pas de culture niathéuiatique, il n'y a pas d'enseignemeni, il n'y a pas de perlectionnement de l'intelligence, et surtout de possibilité d'applications; il reste un fatras de propositions surchargeant la mémoire, une grande fatigue de l'esprit et une forte rancune contre des études si peu attrayantes.

Je nie suis un peu étendu sur ce point parce (ju'il est à num avis d'une importance capitale, et parce qu'il faut dissiper ncltenient une illusion. Ceux qui n'oul pas poussé assez avant leurs éludes mathématiques ne peuvent pas a€f[uècir des notions de Mécanique.

Ils auront peut-être, par la prarique, des connaissanles utiles sur les machines ou le jeu des forces; ils seront capables, par intelligence naturelle et par une sorte d'intuition, de donner de très bons avis sur une question déterminée; mais cela n'a rien de commun avec une instruction scientîiique, raisonnée, qui exige l'intervention des moyens de calcid indispensables.

Laissant doue de coté tout cet enseignement tuutil nuisible, qui n'a rien de commun avec la science, et dont il faut espérer qu'on ne tardera pas trop à se débarrasser définitivement, je suppose un élève en possession des éléments d'Arithmétique, d'Algèbre et de Géométrie, ayant quelques premières notions de Calcul infinitésimal et une connaissance suHisante de la Géométrie analytique. Comme complément de la Géométrie, il a reçu un enseignement portant sur la Statique et la Géométrie des niasses ; comme complément de la Géométrie analytique, il s'est au moins initié à la Cinématique, s'il n'en a pas poussé jusqu'au bout l'étude classique.

Dans ces conditions, et seuleiuent dans ces conditions, il est apte à entreprendre l'étude de la Mécanique rationnelle, ou si l'on veut de la Dynamique. Le professeur

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EySEIGMEMEyr DE LA MECANIQUE

rhargé de clistriliuer cel enseignenienl n'aura pas tAche très facile à remplir, malgré cette préparation.J aniérieure. On est encore dans la science pure, i aux confins des sciences naturelles; les entités sur lesquelles on va avoir à opérer sont par nature complètement nouvelles ; les principes sur lesquels on s'appuiera sont le résultat de Toliservalion, mais d'une manière J indirecte;et il faut cependant qu'il ne reste aucun doute*! dans les esprits; il faut que ces principes s'y accrochenlfl avec autant de solidité que le feraient de purs axiome»» de Géométrie. De là, pour le professeur, l'obligation de J consacrer, dès le début, un soin extrême aux idée»! générales, aux définitions, à l'exposé des principes i'on«l damentaux. Pour que cet enseignement d'une science 1 pure soit vivant et fécond, il est besoin de recourir à I tout instant à la science appliquée, de montrer par des I exemples tangibles empruntés au monde réel comment I s'i'-tablit le lien entre la théorie pure et la pratique effec- I live. Et il en sera ainsi pendant tout le développement \ de la Mécanique rationnelle; réduite à son rôle pure- I ment philosophique, elle ne pourrait guère apparaître I que sous la forme d'un exercice de l'intelligence, com- I l>jnant les vérités de la Géométrie et du Calcul pour 1 résoudre des problèmes qui concernent des abstractions I n'existant pas réellement. Se jetant au contraire du côté i des applications en faisant trop pencher la balance, elle I perdrait son caractère de science pure, à laquelle est I due sa grande puissance.

On voit combien la question est délicate, combien la ] mesure précise estdillicile à garder pour intéresser tou- | jours l'auditeur, lui laisser entrevoir, lui prouver même I l'utilité pratique de la science, sans permettre jamais à 1 une idée fausse de pénétrer dans son esprit, sans lui laisser cette impression pénible qu'on ne lui a donné que des raisonnements par à peu prés. C'est par une 1 préoccupation constante des origines intellectuelles de | la Mécanique qu'on arrivera à sortir do ce labyrinthe et fl

ïî» LA MATUÉ.^fATIQCE

n iiieltrn un onIr« partait dans cet apparent chaos. Il w faillira pas t'raindre do ri-péter à satiété, à propos de chaque exemple invo(|iié, que l'être de raison et l'^lrr réel ne sont en rien assimilable»; mais que le preniii-r ne résultant que d'al>stra<'tions opérées sur le second, d'hypothèses laites une fois ponr toutes, si ces hypothèses sont presque réalisées, le résultat fourni par la Mécanique rationnelle sera presque exact; et Ton profitera de l'occasion pour rappeler que ce mot u presque ^ renfornie l'expression delà perfection mathématique cii matière d'application au monde réel, parce qu'anrnin' grandeur du monde réel ne nous est connue d'une façon absolue.

C'est à ce prix, et avec beaucoup de patience et de suite, qu'on arrivera à pouvoir développer l'enseignement de la Mécanique rationnelle d'une façon logique et harmonieuse, tout en faisant dans le domaine de la Mécanique appliquée de très fréquentes incursions, qui sont indispensables.

Le développement de cet enseignement peut avoir une étendue assez variable. Il comprendra successivement, suivant l'ordre logique qui consiste à passer successivement des questions simples à celles d'une plus grande complexité, la dynamique du point matériel d'abord, puis celle des systèmes libres, et enfin des systèmes à liaisons. Les mouvements de rotation des solides invariables, soit autour d'un axe, soit autour d'un point fixe, doivent prendre une place importante; nous citerons enfin les problèmes d'équilibre déjà mentionnés plus haut, tels que l'équilibre des cordons par exemple, l'étude des percussions et des chocs, des notions d'Hydrostatique et d'Hydrodynamique.

Mais dans chacune de ces parties, et dans plusieurs autres que nous passons volontairement sous silence, le champ des développements peut être très restreint ou s'étendre pour ainsi dire à l'infini, alors mèoie

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EySEIGMEilEi\T DE LA MÉCANIQLE

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1 les limites de la Méi

Mécanique

rationnelle, et cela se produira d'une façon bien plus complète encore du moment où Ton abordera les appii- 1 cations. Rien que pour les machines, par exemple, il | serait possible d'étendre son enseignement snr de nom- 1 hreiises années, et l'on n'aurait pas encore épuisé le 1 sujet. I

Il est certain que si l'on se bornait exclusivement aux | principes et à des méthodes générales, il ne faudrait J |ias un grand nombre de leçons pour présenter l'en- M seinl)le de la science du mouvement. Seulement, un tel I enseignement serait à la l'ois inutile et dénué d'intérêt. M Si la Mécanique met en œuvre les plus belles théories 1 ilu Calcul infinitésimal et de la Géométrie, c'est sur- 1 tout dans les exemples particuliers qu'on aperçoit les J heureux résultats de cette intervention ; les théories M tout à fait générales ne pourraient donc constituer M qu'un enseignement sans vie, et qui ne donnerait même .1 pas à l'esprit les satisfactions intellectuelles qu'on I attend de la science pure. Il faut ajouter que, d'instinct, M un sent très bien l'impossibilité de concevoir la Méca- I tiiqiie indépendamment des applications en vue des- I «pielles elle a été constituée; et cela entraine la néces- I site de s'orienter vers ces applications futures par des J exercices, des cas particuliers permettant de montrer I le parti qu'on peut tirer de chacune des théories suc- J cessivement exposées. J

D'autre part, la multiplication trop grande des 1 exemples particuliers empêcherait de suivre le déve- J loppement normal de la Dynamique et amènerait à des j idées fausses sur le caractère de la science du mouve- ^ ment. 11 y a donc une mesure à garder, et l'on ne peut •'ssayer de la préciser une fois pour toutes, à l'avance, d'une façon invariable. II faut se rendre compte du (emps total dont on dispose, de la nature de l'auditoire et par conséquent du but à poursuivre. Il est bien clai par exemple, que les notions de Mécanique donn

iU t.l M ITIlÊMAniiCE

do futurs iinil'osseur.s ne saui'uîent être présent Ir iiiênio os]irit que s'il s'agit déjeunes gens appelés a bref délai, coniuie ingt'nieurs, à appliquer pratiquemenl l'enseignement qu'ils re<;oivent. Toutes ces considéraliiniB, je le répète, et je crois l'avoir prouvé, montrenl que la Iflche d'un professeur de Mécanique est l'une des plus délicates qui se puissent présenter dans tout l'enseignement de la Matliéniatique ; plus qu'aucun autre, il doit être conduit, en dépit de son expérience antérieure, & de perpétuels perl'ectionnements, à des siniplillcations, <li;8 additions ou des retranchements, sans parler des cliangeinents que les progrès de la soit lui inipiiscnl.

Il nie semble bon de signaler au passage le grana intérêt que présente en Mécanique l'étude de certaines questions paradoxales. Lorsqu'on s'y trouve conduit, on doit bien se garder de les éviter ; il l'aut au contraire aller très franchement au-devant d'elles, et profiter dil'occasion pour les analyser, pour remonter aux causes et montrer à quelles interprétations concrètes se prêtent de pareils résultats. En principe, on ne doit pas s'étonner qu'ils puissent se produire, si l'on se reporte toujours aux origines mêmes de la science du mouvement; une fois créées les abstractions, une fois qu'elles sont livrées au calcul, ce dernier s'en empare sans cjue les équations puissent faire entrer en ligne les données primitives; il ne s'agit plus que d'un problème de Mathématique pure, dont la solution ne s'adaptera pas nécessairement au problème correspondant que présenterait la nature. Dans cet ordre d'idées qui ine parait être d'une importance spéciale, on peut notamment signaler les questions dans lesquelles viennent s'introduire des vitesses inliuies. M. Léauté, dans son cours de l'École polytechnique, en donne un exemple, dans le cas du mouvement d'un point attiré par un centre fixe suivant In loi de Newton, la vilo-ise initiale passant parce centre,

■ EySEfG.\EM£yT DE LA MECASIQLE iS5 J

et il produit à ce propos des réilexions prot'ondéDient 1 justes, et que je demande au lecteui' la permission de^l rappeler ici, au moins par extraits. Elles éclairent en I eil'et d'une Façon frappante le problème des cas limitesfl en Mécanique rationnelle : ^Ê

" Lorsque le mobile se dirige vers l'origine, it y-fl arrive avec une vitesse inTinie. A partir de cet instant, 4 on ne peut plus rien dire sur le mouvement; non seule- I ment parce que les formules ne sont plus applicables, I mais parce que le mouvement subséquent est en réa- w iilc indéterminé. Le cas de la vitesse infinie est en ell'et >l un cas limite, et pour savoir ce qui se passe au moment fl où les formules ne donnent plus rien, H faut savoir ■ coniHienl l'on est arrivé à la limite. I

« Le problème du mouvement d'tin point M, lancé I suivant MO, et attiré par l'origine fixe U, en raison I inverse du carré de la distance, peut être considéré M comme cas limite des deux problèmes suivants : 1° La ■ loi d'attraction restant la même, la vitesse initiale est ■ dirigée en dehors de ilO et tend ensuite vers MO; I 1° La vitesse initiale étant dirigée suivant MO, il y a I deux centres d'attraction O' et G", symétriques par rap-, I port à MO, et qui tendent ensuite à se confondre avec O. I

« Dans le premier problème, la trajectoire est une I ellipse ayant O jiour foyer; quand la direction de la 1 vitesse initiale vient se confondre avec MO, cette ellipse J s'aplatit indéfiniment; le mouvement est donc oscilla- I toire d'un même côté de O, c'est-â-dire que le mobile 1 arrivé en O rebrousse chemin. J

« Dans le second problème, le mouvement est rocti- f ligne et oscillatoire de part et d'autre de O; à la limite, fl le mobile arrivé en O dépassera ce point. ■

" Chaque fois qu'un rencontre une vitesse infinie I dans un problème, il peut être considéré comme le cas I limite d'autres problèmes où ne se rencontreraient que 1 (les vitesses finies; et pour savoir ce qui se passe après > ï l'instant où la vitesse infinie a été produite, il faut tenir fl

I MATIIK-V